第七章习题解答.docx

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第七章习题解答

习题七

1.判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：

（1）在向量空间V中，（）＝＋，是V中一固定的向量；

（2）在向量空间R3中，（x1,x2,x3）＝

；

（3）在向量空间R3中，（x1,x2,x3）＝

；

（4）把复数域看作复数域上的向量空间，（）＝

.

解

（1）当

时，

是线性变换；

当

时，

不是线性变换；

（2）

不是线性变换；

（3）

是线性变换；

（4）

不是线性变换；

2.设V是数域F上一维向量空间.证明，是V的一个线性变换的充要条件是：

存在F中的一个数a，使得对任意V，都有

（）＝a.

证明：

充分性显然.

必要性:

令

是

的一个线性变换,设

是

的一个基.则

.那么

可由

线性表示,不妨设

.对任意的

有

则

.

3.设是向量空间V的线性变换，如果k－10,但k＝0，求证,,…,k－1（k>0）线性无关.

证明:

令

┄+

┈┈┈┈

（1）

（1）式两端用

作用得:

+

由已知得:

=

所以有

.则

（1）式变为:

+

┈┈┈┈

（2）

（2）式两端用

作用得:

+

同理

.重复上述过程有:

.

4.在向量空间R[x]中，（f（x））＝f（x）,（f（x））＝xf（x）,证明，－＝.

证明:

对任意

有

.所以－＝.

5.在向量空间R3中，线性变换,如下：

（x1,x2,x3）＝（x1,x2,x1＋x2）

（x1,x2,x3）＝（x1＋x2－x3,0,x3－x1－x2）

（1）求,,2；

（2）求＋,－,2.

解:

（1）

0,

.

=

.

.

（2）

=

+

+

.

=

=

.

=

.

6.已知向量空间R3的线性变换为

（x1,x2,x3）＝（x1＋x2＋x3,x2＋x3,－x3）

证明，是可逆变换，并求－1.

证明:

.

关于

的一个基

的矩阵为:

.

显然,

可逆,所以

是可逆变换,而且

所以

.

7.设,,都是向量空间V的线性变换，试证,

（1）如果,都与可交换，则,2也都与可交换（若对任意V，都有（）＝（），就说与可交换）；

（2）如果＋,－都与可交换，则,也都与可交换.

证:

（1）由已知

.那么

=

.

.

（2）同理可证.

8.证明，数域F上的有限维向量空间V的线性变换是可逆变换的充分必要条件是把非零向量变为非零向量.

证明:

不妨设

是n维的.

是它的一个基.

关于这个基的矩阵为

.显然,

可逆当且仅当

可逆.

把非零向量变为非零向量当且仅当

而秩

=秩

的零度=

.且秩

+

的零度=n.所以秩

=n当且仅当

的零度是0,即

可逆当且仅当

.故

可逆当且仅当

把非零向量变为非零向量.

9.证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组.

证明:

令

是向量空间

的可逆线性变换,

是

的一组线性无关的向量,令

+

.

两端用

作用得:

+

.由已知

线性无关,所以:

=

.故

线性无关.

10.设{1,2,3}是F上向量空间V的一个基.已知V的线性变换在{1,2,3}下的矩阵为

A＝

（1）求在{1,3,2}下的矩阵；

（2）求在{1,k2,3}下的矩阵（k0，kF）；

（3）求在{1,1＋2,3}下的矩阵.

解:

（1）

.

（2）

.

（3）

11.在R3中定义线性变换如下

（x1,x2,x3）＝（2x2＋x3,x1－4x2,3x1），（x1,x2,x3）R3.

（1）求在基1＝（1,0,0）,2＝（0,1,0）,3＝（0,0,1）下的矩阵；

（2）利用

（1）中结论，求在基1＝（1,1,1），2＝（1,1,0），3＝（1,0,0）下的矩阵.

解:

（1）

（2）从基

到基

的过渡矩阵为

.

在

下的矩阵为:

=

.

12.已知M2（F）的两个线性变换，如下

（X）＝X

（X）＝

X,XM2（F）.

试求＋,在基E11,E12,E21,E22下的矩阵.又问和是否可逆？

若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵.

证明:

=

.

=

.

=

.

=

.

所以

在基

下的矩阵为

.

同理可证

在基

下的矩阵.

.所以

在此基下的矩阵为：

.

显然,

可逆.所以

可逆.

在同一基下的矩阵为:

.

同理可讨论

的可逆性及求

的矩阵.

13.设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换.W1,W2是V的子空间，并且

V＝W1

W2

证明，是可逆变换的充要条件是

V＝（W1）

（W2）

证明:

令

是

的一个基.令

是

的一个基.

由已知得:

是

的一个基.

必要性:

设可逆,则

也是

的一个基.但

£（

）.

£（

）

所以

故V＝（W1）

（W2）.

充分性:

将必要性的过程倒过去即可.

14.设R3的线性变换定义如下：

（x1,x2,x3）＝（2x1－x2,x2－x3,x2＋x3）

求在基

1＝（1,0,0）,2＝（0,1,0）,3＝（0,0,1）

及基

1＝（1,1,0）,2＝（0,1,1）,3＝（0,0,1）

下的矩阵.

解:

在基{1,3,2}下的矩阵为:

.

在基{

}下的矩阵为:

=

.

15.在M2（F）中定义线性变换为

（X）＝

X，XM2（F）.

求在基{E11,E12,E21,E22}下的矩阵，其中

E11＝

E12＝

E21＝

E22＝

.

解:

在基{

}下的矩阵为

.

16.证明，与n维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.

证明:

由

习题二及第10题的结论易得.

17.给定R3的两个基

1＝（1,0,1）,2＝（2,1,0）,3＝（1,1,1）；

和1＝（1,2,－1）,2＝（2,2,－1）,3＝（2,－1,－1）.

是R3的线性变换，且（i）＝i，i＝1,2,3.求

（1）由基{1,2,3}到基{1,2,3}的过渡矩阵；

（2）关于基{1,2,3}的矩阵；

（3）关于基{1,2,3}的矩阵.

解:

（1）令

.则由{1,2,3}到{1,3,2}的过渡矩阵为:

.由基{1,3,2}到基{1,2,3}的过渡矩阵为:

.

所以由基{1,2,3}到基{1,2,3}的过渡矩阵为:

=

（2）

.所以在

下的矩阵为:

.关于基{1,2,3}的矩阵为:

18.设1＝（－1,0,－2）,2＝（0,1,2）,3＝（1,2,5），1＝（－1,1,0）,2＝（1,0,1）,3＝（0,1,2），＝（0,3,5）是R3中的向量，是R3的线性变换，并且

（1）＝（2,0,－1）,

（2）＝（0,0,1）,（3）＝（0,1,2）.

（1）求关于基{1,2,3}的矩阵；

（2）求（）关于基{1,2,3}的坐标；

（3）求（）关于基{1,2,3}的坐标.

解:

令

.则从基{1,2,3}到基{1,2,3}的过渡矩阵为:

.

又

所以关于

的矩阵为:

.从而关于基{1,2,3}的矩阵为:

=

.

（2）

.所以

的坐标为:

由

（2）可知

=（1,2,3）

所以

{1,2,3}的坐标为:

=

=

.

19.设R3有一个线性变换定义如下：

（x1,x2,x3）＝（x1＋x2，x2＋x3，x3），（x1,x2,x3）R3.

下列R3的子空间哪些在之下不变？

（1）{（0,0,c）|cR};

（2）{（0,b,c）|b,cR};

（3）{（a,0,0）|aR};（4）{（a,b,0）|a,bR};

（5）{（a,0,c）|a,cR};（6）{（a,－a,0）|aR}.

解:

（3）与（4）在之下不变.

20.设是n维向量空间V的一个线性变换，证明下列条件等价:

（1）（V）＝V；

（2）ker＝{0}.

证明:

因为秩

+

的零度=n.所以秩

=n当且仅当

的零度是0,即

当且仅当

因此

当且仅当

.

21.已知R3的线性变换定义如下：

（x1,x2,x3）＝（x1＋2x2－x3,x2＋x3,x1＋x2－2x3），（x1,x2,x3）R3.

求的值域（V）与核Ker的维数和基.

解:

关于基

的矩阵为:

.

.

其中

.

22.设是向量空间V的一个线性变换，W是的一个不变子空间，证明，W是2的不变子空间.

证明:

由不变子空间的定义易证.

23.设是数域F上n（0）维向量空间V的一个线性变换，{1,2,…,r,r＋1,…,n}是V的基.证明，如果{1,2,…,r}是Ker的基，那么{（r＋1）,…,（n）}是Im的基.

证明:

已知{1,2,…,r}是Ker的基,则（i）=0,i=1,2,…,r.

令lr+1（r＋1）+lr+2（r＋2）+…+ln（n）=0,则

（lr+1r＋1+…+lnn）=0,lr+1r＋1+…+lnnKer.

所以lr+1r＋1+…+lnn=l11+…+lrr

但1,2,…,r,r＋1,…,n是V的一个基,故lr+1=…=ln=0.

所以（r＋1）,…,（n）线性无关.

又Im=£（

（1）,

（2）…,（n））=（（r＋1）,…,（n））.

从而结论成立.

24.对任意R4，令（）＝A，其中

A＝

求线性变换的核与象.

解:

1=

2=

Ker=£（1,2）.

（

1）=

（

2）=

.

Im=£（（

1）,（

2））.

25.设，是向量空间V的线性变换，且＋＝，＝＝.这里是V的恒等变换，是V的零变换.证明:

（1）V＝（V）（V）；

（2）（V）＝Ker.

证明:

（1）

V,

=（

）=（＋）（

）=（

）+（

）.所以V＝（V）+（V）.对任意

（V）∩（V）.则

=（

1）+（

2）.由已知条件可得

=（（

1））=（＋）（（