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盐的运输问题
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
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1.
2.
3.
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日期:
2012年8月7日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
盐的储存问题
摘要
本题要求的是在安全状况下盐堆的最大高度,首先我们在假设盐堆内部摩擦系数无限大的情况下(即不考虑盐堆内部的作用力和相对运动)建立了模型一,只考虑在盐堆左侧铲车可以在盐堆上行使而不下滑,在盐堆右侧盐的颗粒不因摩擦力不够而下滑。
在此情况下初步估计盐堆的最大高度为38.63英尺,虽然所得数据比题中专家组给的意见高出了不少,但是模型一为之后的模型优化奠定了基础,使优化有了方向。
在模型一之后,我们考虑到题中所提出的,由于盐堆顶部可能松动,铲车可能撞向拥壁的情况。
因而,我们就假设盐堆的内部摩擦系数是有限的,把盐堆内部的相互作用力和相对运动考虑在范围内,据此建立出优化模型二。
在模型二中,铲车对盐堆的压力会产生相应的正应力和剪应力[1],若产生的力足够大,则会使得盐堆的表面破裂、内部坍塌,造成铲车撞向拥壁。
在考虑盐堆表面破裂和坍塌时也牵涉到了地质构造学中的库伦剪切破裂准则,所以我们用莫尔圆的方法[3]结合剪应力和正应力的条件来解出使铲车安全行使的临界角。
从而求出模型二中的盐堆的最大高度,为16.17英尺。
但是模型二并非完美,这时我们又想到,若按模型二的方法来储存盐,仓库的利用率将会变得非常的低。
所以,我们找出了模型二中的不必要的限制条件,那就是铲车没有必要可以从盐堆的每一个侧面都能安全的上去,只要能从仓库门的一个斜坡能安全上去就能满足要求。
这样一来,盐堆的其他部分就都能多堆一些盐,这样就能使仓库的利用率更高。
所以据此,我们提出了优化模型三。
在安全的前提下,将仓库的利用率最大化。
在模型三中,我们利用了模型二中的求出的盐堆斜坡最大的安全角度,并限制铲车只能在仓库门前的唯一一个斜坡上行驶。
求解的方法与模型一类似,最终得到盐堆最大高度,为21.38英尺。
所以综合分析之后我们发现,虽然这个结果比专家的安全建议高,但是也把专家的顾虑考虑在内,并且顾及了仓库利用率的因素,所以这也是一个安全可行的充分利用了仓库的方法,可以说是比较合理的。
关键字:
内部摩擦系数剪应力库伦剪切破裂准则仓库利用率
一问题的重述
化冰盐的储存问题一直是受各国政府重视的问题,因为它关系到冬天的环境和道路交通安全和人们的日常生活出行问题,尤其是在西方的一些冬天气候严苛的国家更为严重。
大约15年以来,美国中西部的一个州一直把用于冬天洒在马路上的盐储存在球形屋顶的仓库里,该仓库拥壁高为4英尺,底面直径为103英尺,仓库高50英尺,门的余隙为19英尺9英寸。
在用盐铺成的坡道上通过驾驶高10英尺9英寸的平头铲车把盐运进、运出仓库,用平头铲车上的铲斗把盐堆成h英尺高。
但是,随着铲车不断把盐堆堆高,盐堆的斜坡越来越陡,当斜坡的角度达到一定程度时,若铲车在作业时靠近盐堆的顶端,盐堆就有可能滑动,铲车就会撞向为加固仓库而筑的拥壁上去。
但若铲车因为过于保守而未尽量把盐堆堆高,则会浪费仓库的储存空间,两种情况均会产生不合理之处。
所以我们要在其间寻求一个最优的堆盐堆的办法,使得在铲车的安全得到保障的同时,盐堆能达到最大的高度,仓库的利用率也达到最高。
所以我们要对这种情况建立一个数学模型,考虑各方面的限制条件,并求出仓库内盐堆的最大高度h,使其合理性最高。
二符号说明
盐与盐之间的动摩擦因数[2],约为0.725
盐与钢(铲车轮胎保护链)之间的的动摩擦因数[2],约为0.627
盐颗粒的质量
铲车与铲斗中盐的质量
h盐堆的最大高度
H拥壁的高度(4英尺)
D仓库的直径(103英尺)
三模型假设
3.1基本假设
1、假设拥壁足够坚固,能够承受盐堆给它的压力,不会倒塌。
2、假设仓库外壁(除拥壁)不能承重,即盐堆不能超过拥壁的高度。
3、假设盐颗粒均匀,盐与盐,盐与车轮间的动摩擦因数恒定,不受外界因素影响。
4、不考虑空气湿度和其他化学成分对盐的质地的影响。
5、假设盐堆呈侧面为斜面。
6、假设铲车是匀速行驶的,且速度很慢。
7、假设为增大摩擦和保护铲车轮胎,铲车的轮胎外套有钢制保护链。
3.2其它假设
1、在模型一中:
假设盐堆很密实不会坍塌,即不考虑盐堆内部的作用力。
2、在模型二中:
假设要考虑盐堆内部的力,盐堆可能坍塌。
四模型的建立与求解
4.1.1模型一的建立
我们取仓库的截面图如图1-1:
在图一中:
三角形AFE就是盐堆的截面图,图中:
BD为仓库的底面直径,C为盐堆顶点F在底面的正投影,ID和GB为拥壁的截面,均为4英尺长。
盐堆高为FC=h,∠FAE为θ,∠FEA为α,AB距离为Z,BC距离为X,CE距离为Y,DE距离为W。
我们先考虑盐堆的右侧,要使盐不从盐堆上滑落,则对盐的颗粒进行受力分析如图1-2:
盐的颗粒受到重力m1g、支持力F1、和摩擦力F2
为不使盐下滑,则盐受的摩擦力必须大于等于其重力沿斜面的分量所以我们有:
(1)
然后我们对铲车在盐堆左侧斜面的情况做受力分析如图1-3:
受力分析原理同上,为了不使铲车滑落,我们有:
(2)
所以,综合仓库的直径和各边角关系我们可以得出下列方程组:
(3)
4.1.2模型一的求解
由摩擦因数与角度的关系,我们取其临界值则有:
(4)
最终推出英尺。
即盐堆的最大高度可达38.63英尺。
4.1.3模型一的分析
模型一只是一个初步的理想化模型,只考虑了铲车能在左边斜坡上行驶并且不下滑,而并未考虑盐堆内部的力的关系,和随着盐堆的增高,铲车行驶到其顶部时,由于盐堆的顶部较薄,铲车对其压力会导致其表面的破损和局部的坍塌,使得铲车撞向拥壁的这些情况。
但这些情况实际存在且至关重要,与驾驶员的安全和盐堆的高度均有关。
所以,为了增加对这种情况的考虑,我们在模型一的基础上建立优化的模型二。
4.2.1模型二的建立
由于要考虑铲车对盐堆的压力可能导致盐堆表面的破裂和盐堆的坍塌,所以就必须考虑铲车对盐堆的压力会产生相应的正应力和剪应力,进而使盐堆内部发生相对滑动导致盐堆的坍塌。
现取盐堆的斜面中一个微小立方体(如图2-1
(1)),其截面受力情况如图2-1
(2),微元体在斜面上受正应力和剪应力的作用,在临界状态时内部恰好发生破裂,在此条件下,以一个小的三角形ΔABC为研究对象,受力分析如图2-1(3)所示
在截面三角形ABC中,设截面AB的面积是dA则面AC和面BC的面积分别为
dAsinφ和dAcosφ,我们取出图2-1(3)中的三角形作分析
可得下列方程:
(6)
考虑三角形ABC的力的平衡,可以列出:
截面法向n量方向的投影方程:
解得:
(7)
截面切线t方向的投影方程:
解得:
(8)
由[2,P56]我们知道:
库伦认为岩石和土壤抵抗剪切破坏能力与作用在截面上的剪应力和截面上的正应力有关。
在此我们可以将盐堆类比土堆,其内摩擦系数有限,由库伦剪切破裂准则我们有:
其中C为粘聚力,Φ为内摩擦角,τ是破裂面上的剪应力,σ是破裂面上的正应力。
由于盐的粘聚力为C=0,所以上式可以简化为
即(9)
在莫尔应力圆(如图2-2)中,
(8)为两条与盐堆破裂时的极限应力圆相切的两条直线,称为剪切破裂线,两个切点代表了共轭剪切面的方位和应力状态。
由图2-2可知,盐堆发生剪切时破裂面与最大主应力σ的夹角为φ,且有:
(10)
且(11)
有了这些基础,我们便可以通过求解θ来确定盐堆的最大高度h了。
4.2.2模型二的求解
将(6)、(7)代入(8)中并两边同时取倒数得:
(12)
即:
解得最终θ的最大值为13.3°。
从而推出最大高度h=16.17英尺。
即在考虑剪应力的情况下,盐堆最高只能堆到16.17英尺。
4.2.3模型二的分析
由于在模型二中我们为了安全起见铲车可以从盐堆的任意一面行驶上去而盐堆不会坍塌,这样一来仓库的储盐量就大为不足,利用率不高,所以我们考虑在模型二的基础上利用已求出的最大安全角θ,建立第三个优化模型,目的是最大化仓库的储盐量,并求出最大高度。
4.3.1模型三的建立
针对模型二的存储盐量少的不足,可考虑在实际中采用铲车只从盐堆的左边斜坡运输盐,而在另一边储存更多盐的的方式,以便能充分利用仓库空间。
在这个模型中,铲车经过的一边最大角度为θ,另一边的盐斜坡可以达到最大摩擦角Φ,进而可求得盐堆的最大高度。
具体情况如图3-1
上图中x为AD的距离,y为DE的距离,z为EB的距离,∠CAB为θ,CH与AB延长线夹角为Φ。
通过图中的边角关系以及模型2中求出的θ角的值,我们可以求出h的最大值。
4.3.2模型三的求解
根据上图我们有下列方程:
(13)
将已知数据代入公式:
可求得盐堆最大高度h=21.38英尺。
4.3.3模型三的分析
模型三在模型二的基础上又考虑了仓库利用率的因素,总体来说显得更加贴近实际,但是一些不可预见性的因素还是会影响结果。
所以模型三的结果未必完全精准。
但是可以作为参考利用。
五模型的优缺点及改进
5.1模型的评价
在本次模型的建立过程中,经过一步步的假设与优化,我们把实际问题逐渐转化为可求解的数学模型,运用了数学、物理学、材料力学、土力学、地质构造学等相关学科的知识,对问题有了一个很好的分析与优化。
通过三次模型的建立与优化,我们基本上能把实际情况很好地模拟出来。
而且第三个模型已基本上接近实际运盐的过程。
不过仍有一些不可预见性的因素,如冬天的天气环境,空气湿度等条件和状态没有考虑全面,还需要进一步的分析和优化。
5.1.1模型优点
本次模型的建立通过逐步的优化与改进考虑的因素也相应增多,最终的模型三能顾及到在实际过程中的许多因素,涉及的知识面也很广。
在分析的时候先由理想模型切入,接着逐步优化与改进,并把影响盐堆高度的关键因素找出,进行合理的分析,使模型更加符合实际情况。
此外,我们也考虑到实际应用,在合理的前提下,为了有效地利用仓库空间,储存更多的盐,把模型三设计为铲车只从一边上去存盐。
从整体上看这种模型已经能很好地模拟出实际情况,能够得出与实际相吻合的结果,值得参照与运用。
5.1.2模型缺点
在每个模型分析的过程中都有些假设来去掉一些很难考虑的复杂因素,所以仍有一些额外影响盐高度的情况没有考虑进去,如盐的密实不均,盐物理性质受外部因素的变化(如温度和空气湿度的改变)而引起的一系列变化等等。
所以,模型三还是有可改进之处的。
5.2模型的改进
可以再考虑盐堆斜坡两边密实不均的情况。
有铲车经过的一面斜坡上盐与盐之间比较密实,之间的摩擦因数也相对较高,而另外一面的斜坡比较松散,盐容易滑落。
所以由此可建立一个新的模型再对这种情况进行分析,这样会更加的结合实际情况。
此外我们还何以将空气湿度列入考虑范围,我们可以估计出空气湿度对盐的物理性质的影响,并将其作为一个影响盐堆高度的变量来考虑。
这样得出的模型将会更加趋于完美。
六参考文献
[1]马连生、宋曦、赵永刚,材料力学,北京,科学出版社,2010
[2]中国科学院编译出版委员会,固体力学术语,北京,科学出版社,1964
[3]朱志澄,构造地质学,中国地质大学出版社,2003
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