长方体和正方体题解.docx
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长方体和正方体题解.docx
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长方体和正方体题解
1.填空:
(1)一个正方体棱长之和为36厘米,它的体积是(27)立方厘米,表面积是(54)平方厘米。
(2)一个长方体的棱长之和为36厘米,已知它的长为4厘米,宽为3厘米,高为
(2)厘米。
(3)一个长方体的表面积是148平方厘米,已知这个长方体底面长6厘米,宽5厘米,这个长方体的高是(4)厘米。
(4)一个长方体的表面积是320平方厘米,上、下两个面是周长32厘米的正方形,长方体的体积是(384)立方厘米。
提示:
底面正方形的边长是32÷4=8(厘米),面积是8×8=64(平分厘米)
侧面积是320-64×2=192(平方厘米)
长方体的高是192÷32=6(厘米)
长方体体积是64×6=384(平分厘米)
(5)一个长方体的侧面积为72平方分米,高是4分米,底面长是宽的2倍。
这个长方体的体积是(72)立方分米。
提示:
底面周长是72÷4=18(分米)
底面的宽是18÷2÷(2+1)=3(分米),长是3×2=6(分米)
(6)一段方钢长2米,横截面是周长为12厘米的正方形,这块方钢的体积是
(1800)立方厘米。
(7)一只木箱高5分米,底面周长3米,下底面积是54平方分米,它的表面积是(258)平方分米。
(8)一个正方体的棱长缩小2倍,体积缩小到原来的
,体积缩小到原来的(
),表面积缩小到原来的(
)。
(9)两个长方体的高相等,且甲长方体的体积是乙长方体体积的4倍,如果
两个长方体的底面都是正方形,那么,当甲长方体底面边长是4厘米时,乙长方体底面边长是
(2)厘米。
(10)一张边长20厘米的正方形商标纸,正好贴满底面为正方形的食品盒的侧面,这个食品盒的容积是(500)毫升。
提示:
底面正方形边长是20÷4=5(厘米)
(11)棱长为a的正方体,表面积是(6a
),把它切成两个长方体后,表面积的和是(8a
)。
(12)3个棱长为a的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是(14a
)。
(13)有两个相同的正方体拼成一个长方体,这个长方体棱长的总和是48厘米,这个长方体的体积是(54)立方厘米。
(14)把一个正方体分成相等的64个小正方体,表面积增加了(3)倍。
提示:
64=4×4×4
沿着过一个顶点的三条棱分别各切3刀,每切一刀增加2个面,
共增加3×3×2=18(个)面,18÷6=3
(15)要拼成棱长8厘米的正方体,需要(64)个棱长2厘米的正方体。
(16)一个正方体的表面积是54平方分米,如果棱长增加2分米,体积增加(18)立方分米,表面积增加(24)平方分米。
提示:
原正方体一个面的面积是54÷6=9(平方分米)
原正方体的棱长是3分米(9=3×3)
(17)一个长方体,如果高增加2厘米,就变成了一个正方体。
表面积就增加48
平方厘米,原长方体的表面积是(168)平方厘米。
提示:
原长方体的长和宽都是48÷4÷2=6(厘米)
(18)一根长2.5米的长方体木料,把它锯成2段,表面积增加1.26平方分米,这根木料的体积是(15.75)立方分米。
(19)把一个长方体的小木块截成两段后,就变成两个完全相等的正方体,于是这两个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加40厘米,原来长方体的长是(10)厘米。
提示:
增加了8条小正方体的棱长。
(20)b
是b的(b)倍。
b
是b的(b
)倍。
(21)用3个长3厘米,宽2厘米,高1厘米的同样的长方体,拼成一个表面积最小的长方体,这个长方体的表面积是(42)平方厘米。
提示:
把最大的面重合,
拼成一个长3厘米,宽2厘米,高1×3=3(厘米)的长方体。
(22)用3个长4厘米,宽3厘米,高2厘米的同样的长方体,拼成一个表面积最大的长方体,这个大长方体的表面积是(132)平方厘米.
提示:
把最小的面重合,拼成一个长4×3=12(厘米),宽3厘米,高2厘米的长方体。
(23)有36块棱长都为1厘米的正方体,当放成长(4)厘米,宽(3)厘米,高(3)厘米的长方体时,它的表面积最小。
提示:
要考虑有多少种放法。
长
36
18
12
9
6
9
6
4
宽
1
2
3
4
6
2
3
3
高
1
1
1
1
1
2
2
3
表面积
146
112
102
98
96
80
72
66
从表中看出,长、宽、高越接近表面积越小。
(24)把6个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体,它的表面积最大是(104)平方厘米。
(25)把一个长宽高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体,截成两个长方体,使这两个长方体的表面积之和最大,这时表面积之和是(298)平方厘米。
提示:
增加2个7×6=42(平分厘米)的面时表面积之和最大。
2.判断:
(×)
(1)a
>a(√)
(2)长方体相邻两个面如果是正方形,这个长方体就成了正方体。
(√)(3)把棱长是a的正方体切成两个大小不等的长方体,
它的表面积的和是8a
。
(×)(4)正方体的棱长扩大5倍,体积扩大15倍。
(√)(5)长方体的长、宽、高分别都缩小到原来的
,表面积缩小到原来
的(
)。
(×)(6)如果两个长方体的表面积相等,则它们的体积也相等。
(×)(7)一个长方体,底面周长是25厘米,高是5厘米,
它的体积是125平方厘米。
(×)(8)0.3
=0.27(√)(9)正方体的体积是125立方厘米,它的棱长是5厘米。
(×)(10)用4个同样的正方体拼成一个大长方体,大长方体的表面积
是原来一个小正方体表面积的3倍。
(√)(11)如果长方体的表面积缩小到原来的
,它的体积就缩小到原来
的
。
(×)(12)把体积1立方分米的木块放在桌子上,木块占桌面的面积是1平方
分米。
(√)(13)把体积8立方分米的正方体木块放在桌子上,木块占桌面的面积是4平方分米。
(×)(14)棱长之和相等的两个长方体,它们的体积一定相等。
(×)(15)正方体的棱长增加3倍,表面积就增加9倍。
3.选择:
①把一块长10厘米,宽8厘米,高5厘米的长方体木块,分割成棱长1厘米的小正方体木块排成一排,这个长方体的长是(D)厘米。
A40B50C80D400
②一个长方体木块,底面是边长1厘米的正方形,高7厘米,把它截成1立方厘米的小正方体,这7个小正方体的表面积之和比原来的长方体增加了(C)平方厘米。
A49B42C12D7
③一个底面为正方形的长方体,如果切下一个正方体就剩下一个高4厘米的长方体,表面积减少了36平方厘米。
原长方体的表面积是(B)平方厘米。
A40B102C66D96
提示:
表面积减少了4个正方形的面,每个面的面积是
36÷4=9(平分厘米),9=3×3,所以切下的正方体的棱长是3厘米。
④一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米,如果高增加3米后,新的长方体体积比原来增加(D)立方米。
A.3abhB.ab(h+3)C.abh+3D.3ab
又新的长方体的表面积比原来增加(D)平方米。
A.3abB.3(a+b)C.6abD.6(a+b)
⑤长方体(不含正方体)最多有(C)条棱长度相等,最少有(B)条棱长度相等。
A.2B.4C.8D.12
4.解法1:
食品盒的底面周长是288÷12=24(厘米),
底面正方形的边长是24÷4=6(厘米),
做这个食品盒至少需要6×6×2+288=360(平方厘米)铁皮,
它的容积是6×6×12=432(立方厘米)
解法2:
食品盒侧面中一个面的面积是288÷4=72(平方厘米)
底面边长是72÷12=6(厘米)(以下同解法1)
5.底面正方形的边长是12÷4=3(分米)
最多容水3×3×12=108(立方分米)=108(升)
6.解法1:
长方体的体积=长×宽×高,底面是正方形的长方体,长和宽相等,侧面积是四个完全一样的长方形的面积之和。
每个长方形的面积是500÷4=125(平方厘米),
即长×高=125平方厘米,长方体的体积是125×7=875(立方厘米)。
解法2:
长方体的侧面积=底面周长×高=7×4×高=500,
长方体的高=500÷(7×4),
长方体的体积=7×7×[500÷(7×4)]
=7×7×500÷7÷4=875(立方厘米)。
7.20×15×6÷(20×10)=9(厘米)
8.宽×高=48÷2=24(平方厘米),长×高=99÷3=33(平方厘米),
长×宽=352÷4=88(平方厘米),
原长方体的表面积是(24+33+88)×2=290(平方厘米)。
9.水的体积是40×30×24=288400(立方厘米),
两容器底面积之和是40×30+30×20=1800(平方厘米),
倒后水深28800÷1800=16(厘米)。
10.两容器水的总体积是40×30×5+30×20×23=19800(立方厘米),
两容器底面积之和是40×30+30×20=1800(平方厘米),
倒后水深19800÷1800=11(厘米)。
11.侧面积是184-20×2=144(平方厘米),高为144÷18=8(厘米)
长方体的体积是20×8=160(立方厘米)。
※12.解法1:
原正方体一个面的面积是54÷6=9(平方厘米),9=3×3,
新正方体的一个面的面积是3×3÷2×4=18(平方厘米)
新正方体的表面积是18×6=108(平方厘米)解法2:
新正方体一个面的面积等于原正方体一个面面积的2倍,
新正方体的表面积等于54÷6×2×6=108(平方厘米)
13.新的立方体中有15条棱,10个顶点,7个面。
※14.
(1)①最大的正三角形②最大的长方形
(2)A、C、F、H四点中任意三个点都可以组成一个等边三角形,
这样的四个点有两组,分别是ACFH、和BEDG。
15.锯下一个最大的正方体后,表面积减少了正方体侧面的4个面,所以正方体每个面的面积为(114-54)÷4=15(平方厘米)。
锯下的正方体的表面积是15×6=90(平方厘米)
16.从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体等于截去一个高为
3+2=5(厘米)的长方体,
原长方体底面正方形的边长是120÷4÷5=6(厘米)
原来长方体的体积是6×6×(6+5)=396(立方厘米)
17.①10×10×10÷(50×40)=1000÷2000=0.5(厘米)
②30×25×(18-15)=750×3=2250(立方厘米)
18.①小长方体入水部分的体积是20×10×0.6=120(立方厘米)
水面的高是120÷(5×4)=6(厘米)
小长方体露出水面部分的高是10-6=4(厘米)
小长方体露出水面部分的表面积是
5×4+5×4×2+4×4×2=92(平方厘米)
②铁块露出水面部分的体积4×4×8=128(立方厘米),
容器底面积128÷4=32(平方厘米)
铁块体积32×10=320(立方厘米),
铁块的高320÷(4×4)=20(厘米)。
※19.①选择:
从底面提起2厘米时,则露出水面的棒的浸湿部分的长,(C)。
A比2厘米短;B正好2厘米;C比2厘米长。
提示:
当把棒从底面提起2厘米时,容器下面2厘米的水中已不包括原来长2厘米棒的体积,这个体积大于容器上面插棒时水深2厘米的的体积(因还包括长2厘米棒的体积),所以水面下降2厘米后还要下降,露出水面的棒的浸湿部分的长就比2厘米长。
②从底面提起24厘米时,下面留下的空间将被上面的水填充,上面水的底面面积为60×60-20×20=3200(平方厘米),所以水面下降24厘米后,还要下降的高度为
(20×20×24)÷(60×60-20×20)=9600÷3200=3(厘米),
露出水面的棒的浸湿部分的长为24+3=27(厘米)。
20.每切一刀增加两个面,如图所示,切3刀共增加了
4个6×3的面和2个8×3的面,所以表面积增加了
6×3×4+8×3×2=120(平方厘米)
21.底面正方形的边长是80÷4=20(厘米)
由上往下切时增加了两个面,每个面的面积是48÷2=24(平方厘米)
这个长方体的高是24÷20=1.2(厘米)
原长方体的体积是20×20×1.2=480(立方厘米)。
22.解法1:
锯成8个相等的小正方体后,原大正方体的
每个面平均分成4等分(如图),所以小正
方体的表面积是
80÷6÷4×6=20(平方分米)
解法2:
锯成8个相等的小正方体后,表面积增加6个面的面积。
这时8个小正方体表面积的和是80×2=160(平方分米)
每个小正方体的表面积是160÷8=20(平方分米)
23.①27=3×3×3,至少要切(3-1)×3=6(刀)
②10÷2.5=4(段),共切3+3+3=9(刀),增加9×2=18(个)面
表面积增加10×10×18=1800(平方分米)
24.解法1:
(5×5×2+5÷2×5×4=100(平方厘米)
解法2:
(5×5×6+5×5×2)÷2=100(平方厘米)
解法3:
5×5×(6+2)÷2=100(平方厘米)
25.共切2+3+4=9(刀),增加2×9=18(个)面
这60个小长方体的表面积的总和是1×1×(6+18)=24(平方米)
26.设大长方体的左、右面的面积为"1",则它的表面积是1×2+2×4=10。
切成12个小长方体后,新增加的面积为3×2+2×2×2=14,
可得到左、右面的面积都是600÷(10+14)=25(平方分米)
25=5×5,可知原长方体的宽和高都等于5分米,长为5×2=10(分米),
这个大长方体的体积是10×5×5=250(立方分米)。
27.横切增加上、下两个面的面积,一个面是48÷2=24(平方厘米);
竖切增加左、右两个面的面积,一个面是40÷2=20(平方厘米)。
依题意,长、宽、高是三个连续的自然数,又长×宽=24,宽×高=20,
所以长、宽、高只能分别是6厘米、4厘米、5厘米。
原长方体的表面积是(6×5+6×4+5×4)×2=148(平方厘米)。
28.有三种可能:
(1)3×9×4=108(平方厘米)
(2)3×6×4=72(平方厘米)
(3)9×6×4=216(平方厘米)
※29.体积为8立方分米,且棱长都是整数分米的长方体有三种。
(一)当长、宽、高分别为2、2、2分米时,体积为8立方分米,是一个特殊的长方体,把它截成形状大小相同,长、宽、高分别为2分米、
2分米、1分米的两个长方体;
(二)当长、宽、高分别为8分米、1分米、1分米时,把它截成形状大小相同的两个长方体又有两种截法:
(1)横截成两个长8分米,宽为1,高为1÷2=0.5(分米)的长方体;
(2)竖截成两个长8÷2=4(分米),宽和高都为1分米的长方体;
(三)当长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米时,把它截成形状大小相同的两个长方体又有三种截法:
(1)横截成两个长、宽、高分别为4分米、2分米、1÷2=0.5(分米)的长方体;
(2)前后竖截成两个长、宽、高分别为4÷2=2(分米)、2分米、1分米的长方体;(重复)
(3)左右截成两个长、宽、高分别为4分米、2÷2=1(分米)、1分米的长方体。
(重复)
所以共有4种截法。
30.原正方体棱长为112÷(5×4+4×2)=4(厘米)
长方体的长是4×5=20(厘米),体积是20×4×4=320(立方厘米)。
31.30÷6=5(平方厘米)
改拼成一个大长方体后表面积是
5×2×2+5×2+5=35(平方厘米)
└↓┘└↓┘↓
上下面前后面左右面
32.有两种拼法,所以有两种答案。
图①拼成后减少14个面。
图②拼成后减少10个面。
70÷14×6=30(平方厘米)70÷10×6=42(平方厘米)
33.用这些正方体可以拼成的长方体有6种,如下表:
长
24
12
8
6
6
4
宽
1
2
3
4
2
3
高
1
1
1
1
2
2
34.小正方体木块一个面的面积是6÷6=1(平方厘米),棱长是1厘米。
1000=10×10×10,所以大正方体的棱长是10厘米,组成的大正方体的表面积是10×10×6=600(平方厘米)
35.铁盒子的长为32-4×2=24(厘米),宽为768÷4÷24=8(厘米)
原长方形铁皮面积为32×(8+4×2)=512(平方厘米)
36.底面为正方形时容积最大。
如图,将两块切割下的
部分分别焊接在阴影处,底面边长20厘米,深5厘米,
容积为20×20×5=2000(立方厘米)。
※37.焊成的长方体越接近正方体容积越大。
6.4米=64分米,64÷4=16(分米)(长、宽、高的和)
16=6+5+5,当长、宽、高分别为6分米、5分米、5分米时容积最大。
焊这个长方体至少需要5×5×2+6×5×4=170(平方分米)铁皮。
38.正方体展开图:
练习1、图中(每个小四边形皆为全等的正方形),可以是一个正方体表面展开图的是(A、E、G、H)。
小结:
符合(1、4、1);(2、3、1);(3、3);(2、2、2)的,且不能出现“凹”字形(J)、“田”字形(B、C、D)或五连方,才是正方体的展开图。
下面是无盖正方体盒子的展开图:
练习2、下面哪一些图形折叠起来能做成一只开口的盒子?
(a、b、e、f)
练习3、分别在各图中写出正方体的每面各是哪一面(写后、左、右、上、下)。
第一类,中间四连方,两侧各有一个,共6种,如下图:
第二类,中间三连方,两侧各有一、二个,共3种,如下图:
第三类,中间二连方,两侧各有二个,只有1种,如下图:
第四类,两排各有3个,也只有1种,如右图:
练习4、下图是一个正方体包装盒的表面展开图,若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数,使得这个表面展开图沿虚线折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则填在A、B、C内的三个数依次是(A)。
A.0,2,-1B.0,-1,2
C.-1,0,2D.2,0,-1
练习5、下面的四个图形中,(C)是由左边的盒子展开而成的。
练习6、右图是一个正方体的展开图,每个面内
都标注了字母,请根据要求回答问题。
①如果A是底面,那么哪一面在上面?
(F)
②如果F是前面,从左看是B面,那么
哪一面在上面?
(E)
③从右看是C面,面D在后面,那么哪一面在上面?
(A)
练习7、将右图折叠成一个正方体,相对两个
面上的数字之和最大是几?
(9)
2+4=61+5=63+6=9
练习8、先写出下面每一个无盖正方体纸盒展开图的底面,再写出其他面。
练习9、5×2=10(平方厘米)
练习10、先把右侧面展开,连接AB
(如图),与棱EF交于C点,蚂
蚁沿其表面从顶点A爬向顶点B的最短路线是AB,然后画线,再把右侧面折回。
(如不能展开,可贴一张纸,画好后折回描线。
)
这样的最短线段共可以画六条:
分别在右、前面,右、下面,后、下面,后、左面,上、前面,上、左面,画法相同。
※39.①
②在下面的正方体展开图中找出相对面上的数的和都为7的图,这个图形是(②)。
40.下面四个展开图中和已知正方体一致的图是[
(1)]。
41.下面三个正方体中,第(3)个正方体展开后,可以得到下面的展开图。
42.1和3、4和6、2和5分别是相对的面。
※43.能折成完整的正方体的展开图有
(2)、(5)、(6)、
(10)、(11)、(14)、(16)、(18)、(19)、(21)、(22)共11个。
※44.在所示的12个展开图中,能做成没有顶盖的小方盒的展开图有:
⑵、⑶、⑸、⑹、⑺、⑻、⑾、⑿共8个。
※45.如图,三个正方体朝左那一面
的数字之积是(5×1×4=20)。
※46.解法1:
(18+24)是正方体侧面四个面与2个上面数字的和,
所以上面的数为:
(18+24-13×2)÷2=8,
贴着桌面上的数是13-8=5
解法2:
上面+侧面1+侧面2=18原六个面数字和为13×3=39,
+丿上面+侧面3+侧面4=24下面的数比上面少42-39=3,
2个上面+全部侧面=42贴着桌面的数是(13-3)÷2=5
※47.能单独看见一个面上的数有6种情况;
能同时看见同一条棱的两个面上的数有12种不同的情况;
能同时看见具有同一个公共顶点的三个面上的数有8种不同情况。
最多可能得到6+12+8=26(个)不同的数。
染色问题
48.三个面有油漆的在8个顶点处,共8块;
两个面有油漆的在12条棱的中间(每条棱各去掉两端的一个),
共有[(5-2)+(4-2)+(3-2)]×4=24(块);
一个面有油漆的在各个面的中央,共有
[(5-2)×(4-2)+(4-2)×(3-2)+(5-2)×(3-2)]×2=22(块)。
六个面都没有油漆的有5×4×3-(8+24+22)=6(块)
或(5-2)×(4-2)×(3-2)=6(块)。
※49.
(1)需要锯(30÷10-1)×3=6(次),能截成3×3×3=27(个)小正方体。
(2)没有四面都有红漆的小正方体。
(3)三面都有红漆的小正方体有8个,它们是正方体8个顶点的8个小正方体,(固定不变)。
(4)两面有红漆的小正方体在原大正方体各条棱的中间,每条棱上有一个,
(3-2)×12=12(个),共有12个。
[每条棱两端各减去1个,再乘12,即(棱长-2)×12]
(5)一面有红漆的小正方体只有在原大正方体每个面的中心,
(3-2)×(3-2)×6=6(个),所以有6个。
[(棱长-2)
×6]
(6)没有红漆的小正方体只有原大正方体的正中心的1个。
3×3×3-(8+12+6)=1(个)或(3-2)
=1(个)。
[(棱长-2)
]
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- 长方体 正方体 题解