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概率统计复习练习题
概率统计复习练习题
概率统计复习练习题 一、填空题:
1、设A、B、C为三个事件,则事件“A、B至少一个不发生,而C发生”可表示为 2、从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中至少有2只配成双的概率为 3、设随机事件A与B满足P(AB)4、设随机变量 ?
P(AB),且P(A)=p,则P(B)= ?
1)(X?
2)]?
1,则?
?
5、设随机变量X1,X2,?
Xn相互独立且同分布,E(Xi)?
?
D(Xi)?
8,(i?
1,2,?
?
n)则概 X服从参数为?
的泊松分布,且已知E[(X率P?
?
?
4?
X?
?
?
4?
?
, 6、设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p)则P{X?
1}?
5,P{Y?
1}?
92 2 7、设(X,Y)服从二维正态分布,X,Y的数学期望分别是0,1,且E(X)=1,E(Y)=4,X与Y的相关系数?
XY=0,则D(X-Y)= 。
8、设随机变量X、Y相互独立,X~N(1,2),Y~N(2,3),则随机变量函数Z=X-Y~ 9、设总体X,均值E(X)=?
存在,样本,则样本均值X= 是总体均值E(X)=?
的 估计。
10、设来自正态总体X~N(?
1)的容量为100的样本,其样本均值为5,则?
的置信度为的一个置信区间是 11、设样本来自于总体X~N, 2 X是样本均值,S2是样本方差,则 X?
?
?
/n~ , (n?
1)s2?
22~ 1 2 n 12、正态总体X~N(?
?
,X,X,?
,X为来自总体X的简单随机样本,对假设检验) H0:
?
=?
0,H1:
?
?
?
0,?
0为已知常数,当?
已知时应选取检验统计量是 ;则当?
未 知时应选取检验统计量是 。
13.设P=,P=,那么若A与B互不相容,则P= 。
14.设连续型随机变量X的概率密度为 ?
k?
?
?
x?
?
?
1?
x2?
?
0,0?
x?
其它212 则常数k= 。
nX215.设X~N,Y~?
?
n?
,且X与Y相互独立,则~ 。
Y16.已知连续型随机变量X服从区间[3,8]上的均匀分布,则概率P{4≤X≤6}= 。
二、选择题:
1、设随机变量X,Y相互独立,其概率分布律分别为 Xpi01 1/32/3 Y01pi1/32/3则下列各式中成立的是 P(XX=Y P(X=Y)=1 P(X2、设 ?
Y)?
59?
Y)?
49222则统计量Y?
X1?
X2?
?
?
X10X1,X2,?
X10是来自正态总体N(0,1)的简单随机样本, 服从(A)?
2(9) (B)?
2(10) (C)N(0,1) (D)N(0,10) 1 3、事件 A,B满足P(A)?
P(B)?
1,则A,B一定 (A)不相互独立(B)相互独立 (C)互不相容 (D)不互不相容4、D(X(A) ?
Y)?
D(X)?
D(Y)可断定 X与Y不相关 (B)X与Y相互独立 (C)相关系数为1 (D)相关系数为?
1 ?
=?
?
的数学期望存在,且对任意的?
5、若估计量?
?
为?
的( )所有可能取值的范围),则称?
有效估计量 一致估计量 无偏估计量 稳定估计量 6、设二维随机变量(X,Y)满足E(XY)=E(X)E(Y),则X与Y相关不相关独立 不独立7、设 ?
?
,有E?
?
=?
?
(n) 1~2Xt(n)F(1,n) F(n,1) 28、设随机变量X~N(?
4 Y?
?
?
5?
,则),Y~N(?
52),记p1?
P?
X?
?
?
4?
p2?
P?
p1?
p2p1?
p2p1?
p2无法估计 11?
x29、下列函数中可以作为随机变量的分布函数的是 31?
arctanx42n?
1?
1?
x2,x?
0?
xF(x)?
exp(?
e)F(x)?
?
x?
x?
01?
x?
F(x)?
F(x)?
10、设随机变量X与Y相互独立且同分布,P?
X?
1?
?
P?
Y?
1?
?
1,2P?
X?
?
1?
?
P?
Y?
?
1?
?
PP1,则下列各式中成立的是2?
X?
Y?
?
12P?
X?
Y?
?
1 ?
X?
Y?
0?
?
11P?
XY?
1?
?
4411、设A,B是二事件,而且P(A)=,P(B)=,则P(AB)的最小值和最大值分别是( )和和和和 12.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是8 16 28 44 13.设X1,X2,X3是来自正态总体N的样本,а未知,则哪个是统计量X1+аX2+X3 3X1X2X3 2 2 1 14.如果离散型随机变量X1,X2,?
?
Xn相互独立且皆服从参数为λ的泊松分布,则当n充分大 2 时,离散型随机变量Y=近似服从标准正态分布。
i?
1n?
Xi?
?
n?
i?
1?
Xi?
?
n?
i?
1?
Xi?
n?
n?
i?
1?
Xi?
n?
n?
n15.抛一枚均匀硬币100次,则根据契比雪夫不等式可知,出现正面的次数在40至60次之间的概率≤ ≤ ≥ ≥三、计算叙述题:
1、一个班男女生人数比例为6:
4,而男生考试成绩及格的概率为89%,女生考试成绩及格的概率为93%,现从其考试成绩中任取一份成绩,求此份成绩及格的概率;若取到一份不及格成绩,此成绩是男生成绩的概率。
2、大学毕业生的就业问题受各种因素的影响,其中学生的在校学习成绩是一重要因素。
假设学生在校学习成绩优秀者占24﹪,中等良好者占58﹪,一般及格者占18﹪,而其就业率分别为98﹪、95﹪、85﹪。
求:
学生的就业率;一名未就业学生,学习成绩优秀的可能性。
3、将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收为B的概率为,而B被误收为A的概率为,信息A与信息B传送的频繁程度为2:
1,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?
4、设二维随机变量的概率密度为 ?
ce?
3x?
4y,x?
0,y?
0 f(x,y)?
?
0,其它?
?
x/8,0?
x?
4f(x)?
?
其它?
0,求:
确定c值;X的边缘概率密度;判断X,Y的相互独立性。
5、设随机变量X具有概率密度 求随机变量函数Y=2X+8的概率密度 2 6、设随机变量X,Y,E(X)=?
D(X)=?
Y=2X-1,试求相关系数?
XY7、已知(X,Y)~N,令Z= 22XY?
,求EZ,DZ,23
(2)Cov,问X与Z是否独立?
请说明理。
2 8、某台包装机包装糖果,包得的袋装糖果重量是一个随机变量X~N,长期实践表明方差比较稳定:
2 ?
=公斤。
某天开工后,随机地抽取4袋糖果称得净重为:
,,,,试求总体均值?
的置信度为95%的置信区间。
10、一船舶在某海域航行,已知每遭受一次波浪冲击,纵摇角大于3°的概率为波浪冲击,问其中有29500~30500次纵摇角大于3°的概率是多少?
11、一个食品店有三种蛋糕出售,于售哪种蛋糕是随机的,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1元,元,元各个值的概率分别为,,。
若售出300只蛋糕,求:
收入至少400元的概率;求售出价格为元蛋糕多于60只的概率。
12、设总体X的概率密度为 ?
(?
?
1)x?
0?
x?
1f(x,?
)?
?
0其他?
其中?
?
?
1是未知参数,利用总体X的容量为n的一个样本,求?
的矩估计值和最大似然估计值。
13.对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%,每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%,试求:
3 某日早上第一件产品是合格的概率是多少?
若已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少?
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?
1,0?
x?
1fx?
x?
?
?
, ?
0,其它?
e?
y,y?
0,其随机变量Z=X+Y的概率密度。
fY?
y?
?
?
?
0,其它15.已知随机变量X,Y分别服从N,N,?
XY2 2 ?
?
1XY?
,设Z?
322 求Z的数学期望和方差求X与Z的相关系数 16.某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元。
若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元。
设老年人的死亡率为,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率。
≈)17.设X服从参数为λ的泊松公布,X1,X2,?
?
,Xn是来自X的一个样本,求λ的最大似然估计量。
18.有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量如下:
506508499503504510497512514505493496506502509496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值μ的置信水平为的置信区间。
19、高校毕业生的就业问题受各种因素的影响,其中学生的在校学习成绩是一重要因素。
假设某校学生的在校学习成绩优秀者占18﹪,良好者占36﹪,中等者占32﹪,一般及格者占14﹪,而不同格次学习成绩的就业率分别为98﹪、95﹪、92﹪、88﹪。
求:
学生的就业率;一名未就业学生,学习成绩优秀的可能性。
20、设二维随机变量(X,Y),其概率密度为 ?
1?
(x?
y)e?
(x?
y)f(x,y)?
?
2?
0?
2x?
0,y?
0其他2求随机变量Z=X+Y的概率密度 21、已知~N(1,0;3,4;–1/2),令Z= XY?
,求:
E(Z),D(Z);23
(2)Cov(X,Z);问X与Z是否独立?
请说明理。
1.,若船舶遭受90000次35)=)波浪冲击,求纵摇角大于3°的次数在29500~30500次范围内的概率(注:
?
(。
223、设总体X的概率密度为 ?
(?
?
1)x?
0?
x?
1f(x,?
)?
?
0其他?
其中?
?
?
1是未知参数,利用总体X的容量为n的一个样本,求?
的矩估计值和最大似然估计值。
22、一船舶在某海域航行,已知每遭受一次波浪冲击,纵摇角大于3°的概率为徐雅静主编《概率论与数理统计》第一章习题 1、设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件ABC?
?
,P(A)?
P(B)?
P(C)?
1,且已知2P(A?
B?
C)?
9,求P(A)。
164 解:
因为 P(A?
B?
C)?
P(A)?
P(B)?
P(C)?
P(AB)?
P(BC)?
P(AC)?
P(ABC) ?
916而事件A,B和C两两相互独立,且 ABC?
?
,则 916P(A)?
P(B)?
P(C)?
P(A)P(B)?
P(B)P(C)?
P(A)P(C)?
又因P(A)?
P(B)?
P(C),记p?
P(A)?
P(B)?
P(C),则上式有 3p?
3p2?
932?
0,即p?
p?
16161?
1?
解之,得 p?
23114?
2?
1,而p?
P(A)?
P(B)?
P(C)?
,所以P(A)?
p?
。
24412,且P(ABC)2、设事件A,B,C的概率都是 ?
P(ABC),证明:
1。
22P(ABC)?
P(AB)?
P(AC)?
P(BC)?
证:
因 P(A)?
P(B)?
P(C)?
1,加法公式,有2P(A?
B?
C)?
P(A)?
P(B)?
P(C)?
P(AB)?
P(BC)?
P(AC)?
P(ABC) ?
又因 3?
P(AB)?
P(BC)?
P(AC)?
P(ABC)2P(ABC)?
P(ABC),而ABC?
A?
B?
C,有 P(A?
B?
C)?
1?
P(A?
B?
C)?
1?
P(ABC)?
1?
P(ABC) 所以 3?
P(AB)?
P(BC)?
P(AC)?
P(ABC)?
1?
P(ABC),即22P(ABC)?
P(AB)?
P(AC)?
P(BC)?
123、设0?
P(A)?
1,0?
P(B)?
1,P(AB)?
P(AB)?
1,试证A与B独立。
P(AB)?
1,而P(AB)?
P(AB)?
1,?
P(AB)?
P(AB) 证:
因P(AB)?
而P(AB)?
P(AB)P(AB),P(AB)?
,?
P(AB)P(B)?
P(AB)P(B), P(B)P(B)而P(AB)?
P(A)?
P(AB),P(B)?
1?
P(B),?
P(AB)[1?
P(B)]?
[P(A)?
P(AB)]P(B) 5
?
P(AB)?
P(A)P(B),即A与B独立。
4、设A,B是任意两事件,其中A的概率不等于0和1,证明P(B充分必要条件。
证:
P(BA)?
P(BA)是事件A与B独立的 A)?
P(BA)?
?
P(AB)P(AB)P(B)?
P(AB)?
?
P(A)P(A)1?
P(A)?
?
P(AB)[1?
P(A)]?
P(A)[P(B)?
P(AB)]?
?
P(AB)?
P(A)P(B),即A与B独立。
注:
3、4题本质相同。
5、一学生接连参加同一门课程的两次考试,第一次及格的概率为p;若第一次及格而第二次及格的概率也为p,第一次不及格而第二次及格的概率为 p2。
求 若至少有一次及格则他能取得某种资格,他取得该资格的概率;若已知他第二次及格了,他第一次及格的概率。
解:
记 ,A2?
“第二次及格”,则A1?
“第一次及格” P(A1?
A2)?
P(A1)?
P(A2)?
P(A1A2)?
p?
[P(A1A2)?
P(A1A2)]?
P(A1A2) ?
p?
P(A1A2)?
p?
P(A1)P(A2A1)?
p?
(1?
p)?
p1?
(3p?
p2)22P(A1)P(A2A1)P(A1A2)p2?
?
P(A1A2)?
P(A2)P(A1A2)?
P(A1A2)P(A1)P(A2A1)?
P(A1)P(A2A1)?
p2p2?
(1?
p)p2?
2pp?
16、每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的。
开箱检验时,从中任取一件,如果检验为次品,则认为该箱产品为不合格而拒收。
于检验误差,一件正品被误判为次品的概率为2﹪,一件次品被误判为正品的概率为10﹪。
求检验一箱产品能通过验收的概率。
解:
记 ,k?
0,1,2,Ak?
“一箱10件产品中,次品件数为k” B?
“开箱检验时,从中任取一件为正品”, C?
“检验一箱产品,通过验收”,则有 P(B)?
P(A0)P(BA0)?
P(A1)P(BA1)?
P(A2)P(BA2) ?
11019189?
?
?
?
?
?
3103103101091?
98%?
?
10%?
%10106 P(C)?
P(B)P(CB)?
P(B)P(CB)?
7、用某种检验法检验产品中是否含有某种杂质的检验效果如下:
若产品真含有杂质,检验结果为含有的概率为;若真不含有杂质,检验结果为不含有的概率为。
据以往的资料知产品真含有杂质和真不含有杂质的概率分别为和。
求 一次检验,检验结果是含有杂质的概率; 若一次检验结果是含有杂质,此产品真含有杂质的概率; 独立地对一产品进行三次检验,结果是两次检验认为含有杂质,而一次认为不含有杂质的概率;若独立地对一产品进行三次检验,结果是两次检验认为含有杂质,而一次认为不含有杂质,此产品真含有杂质的概率。
解:
记 A?
“产品真含有杂质”, B?
“一次检验,结果认为含有杂质”, C?
“三次独立检验,结果是两次检验认为含有杂质,而一次认为不含有杂质”, 则有P(B)?
P(A)P(BA)?
P(A)P(BA)?
?
?
?
?
; P(AB)?
P(AB)?
?
?
; P(B)(C)22?
C3p(1?
p)?
3?
?
?
; P(AC)?
P(A)P(CA)P(C)?
?
?
?
。
概率论与数理统计基本题目 一、填空题:
1、设A、B、C为三个事件,则事件“A发生,而B、C至少一个不发生”可表示为 2、设A、B、C为三个事件,则事件“A发生,而B、C至少一个发生”可表示为 3、随机试验E:
将一枚硬币连抛三次,观察出现正面H,反面T情况。
写出E的样本空间 4、在11张卡片上分别写上Probability这11个字母,从中任意连取7张,其排列结果恰好是ability的概率为 5、从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中至少有2只配成双的概率为 6、设10把钥匙中有3把能打开某把锁,今从中任取2把钥匙,则能打开此锁的概率为 7、把6本中文书和4本英文书任意地放成一排,则4本英文书放在一起的概率为 .8、袋中有10球,7个白球,3个红球,10个人依次从袋中取一球,取后不放回,问第3个人取得红球的概率是_____________. 9、10把钥匙中有3把能打开门,今任取2把,能将门打开的概率P(A)=。
10、袋中有10球,7个白球,3个红球,10个人依次从袋中取一球,取后不放回,问第3个人取得红球的 概率是_____________ 11、把6本中文书和4本英文书任意地放成一排,则4本英文书放在一起的概率为 .12、设A,B是两事件而且P=,P=,则P(AB)的最小值是___________.13.、设A,B为随机事件,P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,则P(A?
B)=______.14、设P(A)=,P(A∪B)=,那么若A与B互不相容,则P=__________15、设P(A)=,P(A∪B)=,那么若A与B相互独立,则P=___________16、设随机变量X服从泊松分布,E(X)=2,则P(X?
1)= 17、设随机变量X在区间[1,5]上服从均匀分布,a ?
1?
b?
5.则P{a?
X?
b}?
7 18、设随机变量X、Y相互独立,X~N(1,1),Y~N(-1,4),则随机变量函数Z=X-Y~ 19、对于随机变量 X,仅知其数学期望为3,标准差为,则切比雪夫不等式知 P{|X?
3|?
2} . 20、设随机变量X服从二项分布B(n,p),E(X)?
6,D(X)?
则n?
. 21、设随机变量X、Y相互独立,且X~N(-1,4),Y~N(1,1),则随机变量 Z=X-Y的均值E(Z)= ,方差D(Z)=。
22、设(X,Y)服从二维正态分布,X,Y的数学期望分别是0,1,且E(X2)=1,E(Y2)=4,X与Y的相关系数?
XY=0,则D(X-Y)= 。
23、设EX=-2,EY=2,DX=1,DY=4,X与Y的相关系数是P ?
|X+Y|?
6 ?
?
______________ 2?
XY?
—,则根据切比雪夫不等式 24、设(X,Y)服从二维正态分布,X,Y的数学期望分别是0,1,且E(X2)=1,E(Y2)=4,X与Y的相关系数?
XY=0,则D(X-Y)= 。
25、设X~t,Y=1/X则Y~_____________ 26、设EX=-2,EY=2,DX=1,DY=4,X与Y的相关系数是P ?
|X+Y|?
6 ?
?
______________ ?
XY?
—,则根据切比雪夫不等式 27、设随机变量X的方差为2,则根据且比雪夫不等式有P{|X-E(X)|?
2}?
_____。
28、设X~N,Y~N,且X与Y相互独立,若Z=X-2Y+7,则Z~____________。
29、设随机变量X~B,则D=_____________。
?
a?
be?
x,x?
030、若函数F(x)?
?
是某连续型随机变量的分布函数,则常数 ?
0, x?
0a= ,b= 。
31、设X~N(2,a),且P(2?
X?
4)=,则 2 P(X?
0)=___________。
32、设X~t,Y=1/X,则Y~_____________。
33、对于随机变量 2X,仅知其数学期望为3,标准差为,则切比雪夫不等式知 P{|X?
3|?
2} .34、设随机变量X服从二项分布B(n,35、正态总体N(?
?
2p),E(X)?
6,D(X)?
则n?
. 的置信度为95%的双侧置信区间是 . )的均值?
36、设随机变量X、Y相互独立,X~N(1,2),Y~N(2,3),则随机变量函数Z=X-Y 37、设总体X,均值E(X)=?
存在,样本,则样本均值X= 是总体均值E(X)=?
的 估计。
38、设样本来自于总体X~N, X是样本均值,S2是样本方差,则 X?
?
?
/n ~ ,2(n?
1)s2?
2~ 1 2 n 39、正态总体X~N(?
?
,X,X,?
,X为来自总体X的简单随机样本,对假设检验) H0:
?
=?
0,H1:
?
?
?
0,?
0为已知常数,当?
已知时应选取检验统计量是 ;则当?
未知时应选取检验统计量是 。
8 40、设X1,X2,?
Xn为取自正态总体N(μ,σ2)的一个样本,X为样本均值,S2为样本方差,则从 分布,(n-1)S2/σ2服从 2X-?
?
/n服 分布。
41、正态总体N(?
?
)的均值?
2的置信度为95%的双侧置信区间是 .1n42、设总体X?
N,X1,X2,?
,Xn是来自于总体X的简单随机样本,令X=?
Xi, ni?
1则X?
__________,X-?
?
?
____________。
?
P(AB),且P(A)=p,则P(B)= ?
1)(X?
2)]?
1,则?
?
n1假设随机事件A与B满足P(AB)2设随机变量X服从参数为?
的泊松分布,且已知E[(X3设随机变量 X1,X2,?
Xn相互独立且同分布,E(Xi)?
?
D(Xi)?
8,(i?
1,2,?
?
n)则概率 P?
?
4?
X?
?
?
4?
, 4设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p)则P{X?
?
5?
1}?
P{Y?
1}?
95设来自正态总体X~N(?
1)的容量为100的样本,其样本均值为5,则?
的置信度为的一个置信区间是 二、选择题 1、设n个编号分别为1,2,?
,n的球分别放入编号也分别为1,2,?
,n的n个盒子中,则1号球恰好放入1号盒子的概率为 1n 1n!
n?
1n 1n?
12、设随机变量X的所有可能值为1,2,?
,k,?
,其分布律为值c= 2 1 pK?
c,k=1,2,?
,则常数 k(k?
1)12-1 4、设随机变量X~B(n,p),E(X)=,D(X)=,则n,p的值是 n=5,p=n=1,p= n=10,p=n=5,p= 5、设随机变量X~N,则p(0?
X?
)= ?
()+?
()1-?
()+?
() 6、设 ?
()+?
()-1 1+?
()-?
() 22X1,X2,?
X10是来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,则统计量Y?
X12?
X2?
?
?
X102从 [ ](A)?
(9) (B)?
2(10) (C) N(0,1) (D)N(0,10) 9 7、事件 A,B满足P(A)?
P(B)?
1,则A,B一定 [ ] (A)不相互独立(B)相互独立 (C)互不相容 (D)不互不相容8、D(X(A) ?
Y)?
D(X)?
D(Y)可断定 [ ] X与Y相互独立 X与Y不相关 (B) (C)相关系数为1 (D)相关系数为9、已知E(X)?
1 ?
?
1,D(X)?
3.则E[3(X2?
2)]?
[ ] (A)9 (B)6 (C)30 (D)36 10、设X1,X2,X3是来自正态总体N(a,9)的样本,a未知.则哪个是统计量[ ](A)(C) 2X1?
aX2?
X3 (B)3X1X2X3 (X1?
a)2 (D) 1(X1?
X2?
X3?
a) 311、事件A,B为对立事件,则成立。
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