实验二 春 数学实验报告.docx
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实验二春数学实验报告
1.编写一个函数实现Lagrangian插值。
function[y0]=lagrangian(x,y,x0)
symsm;
n=length(x);
y0=0;
fori=1:
n
t=1;
forj=1:
n
ifj~=i
t=t*(m-x(j))/(x(i)-x(j));
end
end
y0=y0+y(i)*t;
if(i==n)
if(nargin==3)
y0=subs(y0,'m',x0);
end
end
end
x=[0.10.20.150.0-0.20.3];
y=[0.950.840.861.061.500.72];
>>p=polyfit(x,y,5)
p=
1.0e+003*
-1.85240.75600.0079-0.02750.00100.0011
xi=-0.2:
0.01:
0.3;
yi=polyval(p,xi);
yii=lagrangian(x,y,xi);
plot(x,y,'o',xi,yi,'k*',xi,yii,'r-')
legend('点','polifit','lagrangian')
2.在下面的函数中选择两个,在n个结点上(n不要太大,如5~11)分别用Lagrangian、分段线性、三次样条插值三种插值方法,计算m个插值点的函数值(m要适中,如50~100)。
通过数值和图形输出,将三种插值结果与精确值进行比较。
适当增加n,再做比较,由此做初步分析。
(1)
(2)
(3)
(4)
2
(1).
clear;
n=5;
x=linspace(0,2*pi,n);
y=sin(x);
xi=linspace(0,2*pi,100);
y1=lagrangian(x,y,xi);
y2=interp1(x,y,xi);
y3=interp1(x,y,xi,'spline');
subplot(2,2,1)
plot(x,y,'o',xi,y1,'k')
title('lagrangian');
subplot(2,2,2)
plot(x,y,'o',xi,y2,'k')
title('linear');
subplot(2,2,3)
plot(x,y,'o',xi,y3,'k')
title('spline');
n=7;
n=9;
n=11;
2
(2).
n=5;
x=linspace(-1,1,n);
y=sqrt(1-x.*x);
xi=linspace(-1,1,100);
y1=lagrangian(x,y,xi);
y2=interp1(x,y,xi);
y3=interp1(x,y,xi,'spline');
subplot(2,2,1)
plot(x,y,'o',xi,y1,'k')
title('lagrangian');
subplot(2,2,2)
plot(x,y,'o',xi,y2,'k')
title('linear');
subplot(2,2,3)
plot(x,y,'o',xi,y3,'k')
title('spline');
n=7;
n=9;
n=11;
3.某天的气温变化如第3题数据表,试用最小二乘法找出这一天的气温变化规律。
第3题数据表(工作表:
气温变化)
时刻t(h)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
温度T(℃)
15
14
14
14
14
15
16
18
20
22
23
25
28
时刻t(h)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
温度T(℃)
31
32
31
29
27
25
24
22
20
18
17
16
y=[15141414141516182022232528313231292725242220181716];
x=y;
fori=1:
25
x(i)=i;
end
c=lsqcurvefit(inline('c
(1)+c
(2).*x+c(3).*x.*x+c(4).*x.*x.*x+c(5).*x.*x.*x.*x','c','x'),[1,1,1,1,1]',x,y);
xi=linspace(0,24,300);
yi=c
(1)+c
(2).*xi+c(3).*xi.*xi+c(4).*xi.*xi.*xi+c(5).*xi.*xi.*xi.*xi;
plot(x,y,'o',xi,yi,'k')
4.用电压V=10v的电池给电容器充电,电容器上t时刻的电压为
,其中
是电容器的初始电压,
是充电常数。
试由第4题数据表中的一组t,V数据确定
和
。
第4题数据表(工作表:
电容器)
t(s)
0.5
1
2
3
4
5
7
9
V(v)
6.4
6.5
7.3
8.2
8.7
9
9.4
9.6
t=[0.51234579];
u=[6.46.57.38.28.799.49.6];
c=lsqcurvefit(inline('10-(10-c
(1)).*exp(-t./c
(2))','c','t'),[1,1]',t,u);
ti=linspace(0,9,200);
ui=10-(10-c
(1)).*exp(-ti./c
(2));
plot(t,u,'o',ti,ui,'k')
5.给定数据见第5题数据表:
第5题数据表(工作表:
三次样条)
x
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
y
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
分别就下列边界条件求三次样条函数
并作图。
(1)
(2)
5
(1).
x=[0.250.300.390.450.53];
y=[0.50000.54770.62450.67080.7280];
pp=csape(x,y,'complete',[1,0.6868]);
pp.coefs
plot(x,y,'o')
holdon;
fnplt(pp)
holdoff
ans=
1.8863-1.01431.00000.5000
0.7952-0.73140.91270.5477
0.6320-0.51670.80040.6245
0.3151-0.40290.74520.6708
5
(2).
pp=csape(x,y,'second',[0,0]);
pp.coefs
plot(x,y,'o')
holdon;
fnplt(pp)
holdoff
ans=
-6.26520.00000.96970.5000
1.8813-0.93980.92270.5477
-0.4600-0.43180.79920.6245
2.1442-0.51460.74240.6708
6.某商品的需求量与消费者的平均收入及商品价格的统计数据见第6题数据表:
第6题数据表(工作表:
需求量收入价格)
需求量
100
75
80
70
50
65
90
100
110
60
收入
1000
600
1200
500
300
400
1300
1100
1300
300
价格
5
7
6
6
8
7
5
4
3
9
(1)建立回归模型并进行检验;
(2)预测平均收入为1000,价格为6时的商品需求量。
设收入为x1,价格为x2,需求量为y。
建立模型:
y=c
(1)+c
(2)*x1+c(3)*x2。
x=[10006001200500300400130011001300300;5766875439];
y=[10075807050659010011060];
c=lsqcurvefit(inline('c
(1)+c
(2).*x(1,:
)+c(3).*x(2,:
)','c','x'),[1,1,1]',x,y);
xi(1,:
)=linspace(300,1300,100000);
xi(2,:
)=linspace(3,9,100000);
[Xi,Yi]=meshgrid(x(1,:
),x(2,:
));
Zi=c
(1)+c
(2).*Xi+c(3).*Yi;
subplot(2,2,1)
mesh(Xi,Yi,Zi)
title('mesh')
subplot(2,2,2)
contour(Xi,Yi,Zi)
title('contour')
subplot(2,2,3)
surf(Xi,Yi,Zi)
title('surf')
>c
c=
111.6918
0.0143
-7.1882
模型的回归分析:
xii=[1300*rand(10,1),9*rand(10,1)];
xii=[ones(10,1),xii];
yii=xii*[c
(1);c
(2);c(3)]+0.1*rand(10,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(yii,xii);
rcoplot(r,rint)
b
stats
b=
111.7223
0.0143
-7.1850
stats=
1.0e+06*
0.00002.19740.00000.0000
7.(选做题)工作表:
山区海拔是一山区海拔高度每400m的网格数据(单位:
10m)。
为了作修建道路的成本预算,需要给出每100m的网格数据。
已知山区有一山峰,一条山谷和一条溪流(其源头约1350m),画出它们的位置。
实验总结:
关于数据建模的一些内部函数的调用,我们需要灵活运用扩展,比如一元的可以通过矩阵的形式变为多元,另外,除了建立模型及插值确定参数外,回归分析也很重要,可以用来检验模型是否成立。
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