子空间与子空间的分解.docx
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子空间与子空间的分解
§线性子空间与子空间的分解
在通常的三维几何空间中,考虑一个通过原点的平面。
不难看出,这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间,这就是说,它一方面是三维几何空间的一个部分,同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。
一般地,我们不仅要研究整个线性空间的结构,而且要研究它的线性子空间,一方面线性子空间本身有它的应用,另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。
一、线性子空间的定义
定义7设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一非空子集。
如果W对于V中所定义的加法和数乘运算也构成数域F上的一个线性空间,则称W为V的一个线性子空间,简称子空间。
验证W是否为V的子空间,实际上只需考察W对于V中加法和数乘运算是否封闭就行了。
因为线性空间定义中的规则
(1)~(8)在W对线性运算是封闭的情况下必是满足的。
例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间;一个是它
自身V^V,另一个是称为零元素空间(零子空间)。
除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。
下面举几个常见的例子。
例2给定A=(ai,a2,IH,an)•Rmn,集合
N(A)」.x|Ax=0,xRn/
R(A)二」(A)=L(ai,a2,|||,an)二span{ai,a2川)4}」y|y二Ax,xRn?
分别是Rn和Rm上的子空间,依次称为A的零空间(核)和列空间
(值域),零空间的维数称为零度
A的零空间是齐次线性方程组Ax二0的全部解向量构成的
n维线性空间Rn的一个子空间。
因为解空间的基就是齐次线性
方程组的基础解系。
所以,dim(N(A))二n-rank(A)。
A的左零空间和行空间
N(AT)二(x|ATx=0,xRm?
R(At)=」(At)「.y|y二Atx,xRm?
,
dim(N(AT))=m-rank(AT)。
A一表示Amn的广义逆,满足AXA二A,则有
N(A)7ln-A^)
且In-A_A,A_A幕等。
所以rank(In—A~A)二tr(In-A入)二n-tr(A^A)二n-rank(A~A)二n-rank(A)
例3设〉1」2,…,〉m(m1)是v的m个向量,它们所有可能的线
性组合所成的集合
是V的一个子空间,称为由r「2,i,〉m生成的子空间若记A=(n,…,5),Rnm,则
丄(A)=Span:
:
2,:
m』
由子空间的定义可知,如果V的一个子空间包含向量〉1,〉2「「m,那么就一定包含它们所有的线性组合。
也就是说Span;_可,:
2,:
m[是V的一个子空间。
注:
容易证明
⑴dim」(A)二rank(A)。
(2)和A)「(AR,B二b「bi,特别若bj,j=1,2,,l可表示
为r,〉2「,〉m的线性组合,则'(A)7AB)。
定理2设W是Vn的一个m维子空间,r「2,…/m是W的一个基,则这m个向量必定可扩充为Vn的基。
证明
若m二n,则定理已成立。
若m":
n,则Vn中必存在一个向量:
m1不能由m「m线性表出,从而:
'i/'2/'/m/m-1线性无关。
如果mT二n,则定理已成立。
否则继续上述步骤。
经过n-m次,则可得到Vn内n-m个线性无关的向量,使〉1「2,…,〉m「m1,…「n为V的基。
二、子空间的分解
子空间作为子集,有子集的交(W1W2),和(W|W2)等运算,对它们有如下定理。
定理3设W|,W2是线性空间V的子空间,则有
⑴W1与W2的交集W1W2I:
W1且:
W2:
是V的子空
间,称为W与W2的交空间。
(2)W与W2的和W1W2==-^---2^-^WV2W21是
V的子空间,称为W与W2的和空间。
证明
⑴由0,W1,0W2,可知0,W1%,因而W1W2是非空的.其次,如果\■WiW2,即:
/W|而且:
/W2,因此:
.;亠1:
-W|,雹亠三W2,因此:
工亠『■-WiW2.同样,由k—w,k:
;三%,知恣訓%.因此WW2是V的子空间.
(2)由定义WiW2^V,而且非空.「WiW2,则有:
i,1W,iJ2.
由
a=%+o(2,0=亠+P2,
a+P=旳+a2+h+P2=(5+帖)+&2+P2),
k:
=k-k:
2,
因W是子空间,则:
1iWi,:
2:
2W2,k:
1Wi,k:
2W2,所以用'eWiW2,k—WiW2,即WiW2是V的子空间.
子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。
定理4(维数定理)设Wi和W2是线性空间V的两个子空间,则
dimW1+dimW2=dim(W1W2)+dim(W1W2)
(1)
证明
设dim(W1W2)=r,dim®=引,dimW2=s2,W|W2基为
〉1,〉2厂,九,由定理2知,它们可分别扩充为:
W的基:
j,〉2,…「1,…,飞,
W2的基〉1,〉2厂,:
”r1厂,s2,
则
W=Spa*1,:
2,,:
r,r1,,「‘
W2=Span'j,:
2,,:
r,r1,,s2\
W1W2=Span":
1,:
2,/■r,■r1,,飞,r1,,s2:
?
.
下面证明〉1,〉2「,:
d「1,…,飞,r1,…,S2为线性无关组。
任取数ki,
Pi,q,使
r
、kr'i
i=1
si
'P
i=r1
s2
Jqi
i”
i-0.
(2)
因为
s1
r
q
一Pi'i
kQj
'qi
Y.
i>
i=f1
id
i=r1
所以
-、Pi[wWi斗1
从而有
色-r
—为PiR=送n^i,
i=f1i=1
即
rSi
'm「亠-Pi「=o.
iAi=r1
由是W的基,线性无关,故
p=0,i=r代入⑵式,得
rS2
、k「i亠二qii7
i=1i=r1
而〉1「2,〉r,r1,…,s2是W2的基,于是
ki=0(i=1,2/,r),qj=0(i=r1,^),
故
〉1,〉2,_八,「1厂,、,r1,…,S2线性无关,
dim(W|%)=r(q-r)(S2-r)=3s2-r,
定理得证.
从
(1)式知,若W10,贝U有
dim(W,+W2) WW,^-x1x2,Xj•W,i=1,2其表达式中x1与x2不是唯一的。 0=[100220]T-32 0T. 求WlW2及WlW2的基和维数。 解 W1W2=Spanl: *,: 2,r, 由于: 1=〉1比2■: 2且二1,二2,: 2线性无关,故WW2的一个基为〉1,〉2「2,其维数dim(W她)=3。 由维数定理知 dim(WW2)=dim(W)dim(W4)-dim(WW2)=2+2-3=1 根据 〔亠-: : 2亠.■■■2, 得到 一: 2: 2二(0,2,1)T=0WW2, 从而(0,2,1)t为W,W2的一个基,其维数dim(WW2)=1。 三、直和子空间 子空间的和W]W2的定义仅表明,其中的任一向量: 可表示 为: 2,^W1,W2。 但这种表示法不一定唯一。 定义8设Wi,W2是线性空间V的两个子空间,如果WW2中每个向量? 的分解式 : =: r—: 辺,: jW,aW2 是唯一的,则WlW2称为W1,W2的直和,记为Wl二W2。 定理5设W1,W2是线性空间V的两个子空间,则下面几条等 价 (1)W1W2是直和; ⑵0向量表示法唯一,即由0*2(: tW1,aW2)得 >1==0; ⑶WiW2=;0/; (4)dim(W^)dim(W4)=dim(WW2)证明 采用轮转方式证明这些命题。 (1)= (2) 按定义,WW2内任一向量表示法唯一,因而0的表示法当然唯一。 (2)二(3) 用反证法。 若W|W20,则有—WiW2^-0,于是-W|,-一: W2。 而0-J,这与零向量的表示是唯一 的假设矛盾。 (3)二(4) 利用维数定理即得。 (4)二 (1) 由维数疋理知dim(WW2)=0,即WW2=0.对任一 =W^W2,如果 a+o(2=af+c(2(ai,afwW;a,a^W2) 则有 : •[-打=: -2-】2 于是 -'-1--'1=2--2~WZ|I—*0! 即 J-1-1=0,-^2-';2=0。 这说明 %=otf,0(2=°2 因而〉表示法唯一。 定理证毕。 定理6设W|是V的一个子空间,则必存在V的子空间W2,使W^.W2=Vn。 证明: 设dim(W)=m,且'■-1^2^'/m是W的一个基,根据定理2它可扩充为V的基: r「2,…Fm,: miUn,令W2二Span;: 卄,,*,显然W2就满足要求。 子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。 四、内积空间 前文中,我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加 法和数量乘法进行的。 与几何空间相比,向量的度量性质如长度、 夹角等在实际应用中更重要。 因此,我们在一般线性空间中定义内积,导出内积空间的概念。 定义9设V是实数域R上的实线性空间。 如果对于任意的 : JV,都有一个实数(: •「)与之对应,且满足 (1)G,■)=(■<); (2)(: 1)=(■,)(-,); (3)(k「)=k(「); (4)(〉,〉)-0,当且仅当〉=0时(>「)=0. 则称C)为〉与-的内积。 定义了内积的实线性空间V称为内 积空间,又称欧几里得空间或Euclid空间(简称为欧氏空间)。 n 例如,在Rn中,定义内积(x,y)=xTy=為xiyi。 这时Rn成 iT 为内积空间。 在内积空间Rn中,如果(x,y)=0,则称x与y正交,记为x—y。 1"2,-n 设欧氏空间Rn中的基为〉1」2,…,欧氏空间中有两个向 nn 量十二'■: x「j,7=為yr-j,下面我们来计算-J的内积。 iTjn1nnn C,■)=CxiT c,J=XTG(: 1,: 2,,: n)y 注: (1)方阵GC": ? ,,: n)称为向量组r,〉2,i〉n的Gram矩阵,或度量矩阵。 (2)。 1,0(2,…5线性无关的充要条件是G(%02,…,5)式0。 (3)G(r,>2,…/n)对称正定。 因为方阵 -X=0,: =(: r,: 2,,: n)x=0,XTG(: 「: 2,,: n)x=(: : )0 2 ⑷若n=1,则G([J-「表示长度的平方;n=2时,则 2 GQs)=冋汇对,表示面积的平方;n=3,…呢? ⑸若〉1,〉2「〉n是规范正交基,则G(: 1,: 2,,: n)=ln,内积 (〉,: )=xTy。 即向量内积等于坐标的内积,计算简单,所以内积空间的基常采用规范正交基。 另外,在规范正交基r「2,n下向量 设w是内积空间v的一个子空间。 显然w也是一个内积空 间。 如果V的一个向量〉与w的每一个向量正交,则称〉与w正交,记为: -W。 对于V中的两个子空间W1,W2,如果任取 : •Wi,-W2,都有c「)=o,即-.1,则称Wi与W2是互相 正交的。 记为Wi_W2。 定义10设S为V中的子空间,记 S-=: x|x_S,xV? 容易证明s-也是线性空间,称为S的正交补空间。 定理7设A为nk矩阵。 记A-为满足条件AA-=0且具有最大秩的矩阵,则 R(A-)=R-(A) 证明 设xR(A-): x=AV,t=Ax二AAV=0 =zAx=0,-z=(Az)x=0=x_Az二xR-(A); 反之, xR-(A)=x_Az,~z=(Az)x=0 二zAx=0,-z=Ax=0二x二AV,t二xR(A-).推论: R—(A)=R(A—)二N(At);R—(AT)二N(A). 证明: 只证第一式,因为把第一式中的A看成A'即得第二式•由xR—(A)=x_R(A)=x_At,t任意二(At)'x=0,t任意 =t'A'x=0,t任意=A'x=0=xN(A'). 和 xR(A-)=x=A龙t=A'x=A'Ar=0=xN(A'),证毕. 对于一个线性空间S,如果存在k个子空间0,…,Sk,使得对任意—: S,可唯一地分解为〔亠•亠": : k,二i: =Sj,i=1,2,…,k,则称S为$,…,Sk的直和,记为S=3二S2二…二Sk,若进一步假设,对任意的-: ^■&,-: 打Sj,i=j,有一: 打_〉j,则称S为0,…,Sk的正交直和,记为^SiS^Sk,特别, R“二S•S-,对于Rn中子空间S都成立。 设A=(A"A),叫Ai)叫Aj)」o[i=j,则 叫A)=d(Ai)二…二叫AQ;若进一步假设AjAj-0,^j,则容易证明%a)=%A)+…+%Ak)。 容易证明对于内积空间Rn的子空间S有下面的性质 ⑴S卡-)-; ⑵S1s2=s厂St; ⑶(SiS2)-=Sts厂 ⑷(SiS2)-=Srs厂 定理8对任意矩阵A,恒有R(A)二R(AA)。 证明 显然R(AA)R(A),故只需证R(A)R(AA),事实上,对任给 x一R(AA),有xAA=0。 右乘x,得 2 xAAx=(Ax)(AX)=|a"X=0,故Ax=0,g卩x丄R(A).证毕. 定理9设Anm,Hkm,则 ⑴S」Ax: Hx=0? 是R(A)的子空间; (2)dim(S)二rankA-rank(H).lH丿 证明 第一结论的证明是简单的,现证 (2)。 不妨设R(H)二k,则存在k阶可逆矩阵Q,使得HQ=(Ik0),于是 =dim丿 dim(S)=dim((A^x: Hx=0(=dimQU2x: (l「0)X=0,其中U1U2二AQ, x(i) =dimU2x (2): x (2)任意*,其中x= <_X (2)丿(m_k)>1 -rank(IJ =rank(U2)=rank];1打2 =rankA-rank(H).证毕. kH丿 推论设R(A)Dr(B)—0,则R(AB-)=R(A). 证明 因rank(Ap)二dimR(A^B)二dim(R(A)R(B)) ^dimR(A)dimR(B)-dim(R(A)ClR(B))=dimR(A)dimR(B) =rank(A)rank(B) 又因为R(AB—)二〈Ax,x二B戈t任意''Ax,Bx=0: 依定理9及假设条件,有 rank(A"B・=rankA-rank(B)=rank(AB)-rank(B) lB丿 -Rank(A)二dim(和A)) 但R(AB-)R(A),于是R(AB-)=R(A)。 证毕。
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