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地图四色问题
地图四色问题
《人民日报》发表了一篇中国著名科学家钱学森所撰写的文章:
《现代科学技术》。
这是一篇出色的文稿,对于了解中国科学技术现代化会往什么方向前进,该文作了不少的披露。
数学爱好者都会注意到钱学森在文章中所提的一件事:
“去年数学界哄动一时的一件事,是用电子计算机证明了数学上的四色定理。
画地图要求相邻两国不用同一色,一幅地图只需要四种颜色。
要证明这个定理很难,数学家经过上百年的努力,证明不了。
去年美国数学家用电子计算机证明了。
他们看到这个问题要证明并不是不可能,而是证明的步骤、程序很复杂,人一辈子的时间也证不完。
他们把程序编好,交给高速的电子计算机去干。
高速电子计算机也用了一千多个小时才证出来。
美国数学家认为,他们的主要贡献不是在证明了四色定理,而在运用电子计算机完成了这件人没有能够完成的事。
”
“地图四色问题”在钱学森的文章里已经清楚地解释了。
你大概会很惊奇,这甚至连懂得拿起彩笔涂鸦的小孩都会发觉到的问题,确是一个数学问题吗?
是的,这是一个数学上著名的难题,许多大数学家曾经尝试想去解决它而不成功,可是这个问题看来又是那么容易明白,好像谁都可以很快解决它似的。
我在这里要介绍这个问题的来源,以及美国数学家解决它的经过。
害怕数学的读者不必顾虑,我的解释都很浅白,相信你是会看懂的。
问题的来源
在1852年,英国有一个年青人叫法兰西斯·古特里,他在画英国地图涂颜色时发现:
如果相邻两国用不同颜色涂上,地图只需要四种颜色就够了。
他把这发现告诉他念数学的哥哥费特里,并且画了一个图给他看。
这个图最少要四种颜色,才能把相邻的两部分分辨,颜色的数目再不能减少。
他的哥哥相信弟弟的发现是对的,但是却不能用数学方法加以证明,也解释不出其中的道理。
这年10月23日,费特里拿这个问题向伦敦大学的数学教授奥古斯都·德·摩根请教。
德·摩根是当时英国著名的数学家,他也不能马上解释。
他于当天写一封信给在三一学院的好朋友威廉·哈密尔顿。
他相信像哈密尔顿这样聪明的人——少时就已经会讲八种以上外语,而且数学和物理都很好——是可以帮助他解决这问题的。
在信中,他曾这样写道:
“今天我的一个学生要我告诉他一个事实的理由,而我却对于这个是否是事实,现在还是不知道。
他说如果在面上画一个图,使两个有共同边缘的区域涂上不同颜色,那么或许四种颜色而不需要更多就足够了。
请问难道不能够造出一个需要五种或更多颜色的图形出来吗?
”
很可惜哈密尔顿或许以为这个问题是太浅显了,而不去注意它。
过了8年了。
1860年4月14日,德·摩根在一本杂志评价一部叫《发现的哲学》的书时写了这样的话:
“当一个人画地图——一个国家的地区图,很明显的他需要许多彩色笔使到每对相邻区域涂上不同颜色。
但涂颜色图的工人却很早便知道只用四种颜色就足够了。
……在一个邻域我们不需要四个颜色,除非有四个区域,这四个区域每一个都和其他三个区域交界,而其中的一个区域一定会完全被其他的区域包围起来。
可是这个原理:
四个区域不可能在没有一个被其他区域包围的情况下,使到每一个区域都和其他的三个区域交界。
我们深信是不足以证明这样明显这样简单的事实:
这事实应该像一个公理那样……。
”
直到1878年英国数学家凯利在英国数学学会以及皇家地理学会提出这个“地图四色问题”,这问题才受人注意。
第二年有一个律师肯泊自称发现了证明的方法。
可是在1890年一位才29岁的年青人希渥特发现他的证法存有漏洞。
希渥特在牛津大学受教育,他主要的研究是这个“地图四色问题”,在以后60年漫长时间,他先后发表这方面七篇重要的论文。
他78岁才退休,而在85岁时还向伦敦数学学会提呈他最后一篇关于这问题的研究论文。
希渥特在世时没有解决这问题,但他证明了“地图五色问题”是对的。
他那种老弥而坚,孜孜不倦,顽强攻关的精神是值得我们学习的。
转化成数学问题
我们现在把这地图着色问题转化成数学问题来考虑。
在特定的地图上,每一个区域当中画一个小圈圈,我们称为顶点。
如果一对区域相邻,我们就用一条弧,把其中的顶点连起来。
这样我们就得到数学上称为图的东西。
例如由图一我们得到底下的图:
一个图G称为k可染,如果它的每个顶点可以用k种不同的颜色之一来涂,使得相邻顶点具有不同颜色。
如果一个图是k可染而不是可染,我们就说它的染色数是k。
例如图三中的图的染色数是4。
读者试试验证底下的图分别具有染色数:
2,3,2,5。
从地图转变出来的数学图,在数学上称为平面图,它是指那些顶点能画在平面上,使到没有两条弧会相交。
图三及图四的,,都是平面图,但图四的不是平面图。
比方说下面图五是不是平面图呢?
你会说不是!
因为弧AC和弧BD是相交。
可是如果我不要将BD弧那样画,稍微移动一点,使它像图五那样,这时你得到的是平面图了!
怎么样判断一个图是不是平面图呢?
在1930年波兰数学家库拉托斯基发现一个简单的判别法则,那就是:
如果一个图不包含底下两种图为子图,那么这图就是平面图。
在图六的两个图事实上是一样的东西,你只要把一些顶点适当安排,这两个图就可以互相变来变去。
就像《西游记》里的孙悟空摇身变成土地庙,但本质还是不变,只是外形不一样,在数学上就称这样的东西为同构。
现在地图四色问题,就转化为底下的问题:
是否地图包含的所有子图平面图都是4可染?
如果答案是肯定的话,那么地图四色问题也就解决了。
反过来说,如果你能构造出一个平面图,它不是4可染,而是具有染色数大于或等于五,那么“地图四色问题”就被否定了。
容易解决五色问题
英国数学家希渥特很早就证明了地图六色及五色问题。
现在介绍一个比较简单而且有技巧的“地图五色问题”的证法。
在这个证明中关键的东西是:
在平面图里找一个顶点,它最多只能和其他五个顶点相邻。
如果利用著名瑞士数学家欧拉在1752年发现的平面图的欧拉公式,是可以证明这样的顶点的存在。
如果我们用V表示平面图顶点的个数,E表示这图的弧数,以及F表示由顶点及弧所包围的区域的个数,那么欧拉发现这三个数一定有底下的关系式:
V-E+F=2
例如在图五里,我们有V=4,E=6,而这图所划分平面的区域共有4个,所以4-6+4=2!
如果我们只考虑连通图即任意二顶点,可以找到一序列的弧把它们串联起来),就会发现到E≤3V-6。
这是因为每一个区域最少有三条弧包围,因此我们计算每一区域的弧,可以得到不等式3F≤2E。
现在在欧拉公式两边乘上3,我们得到:
3V-3E+3F=6
由于3F≤2E,因此我们得到不等式:
3V-3E+2E≥6
即3V-E≥6
所以3V-6≥E
现在我们利用这个不等式证明每个平面图有一顶点最多只能和五个顶点相邻。
我们用反证法,假定每一个顶点有最少六个顶点和它相邻,那么我们就会有6V≤2E,因此3V≤E。
可是我们上面已经证明3V-6≥E,因而就有3V-6≥3V。
这是不合理的事,错误所以会产生是因为我们假设是不对的。
因此平面图里一定是一个顶点最多只能和其五个顶点相邻。
现在我们开始证明任何平面图是5可染。
证法是用归纳法去证明平面图的顶点数。
对于少于六个顶点的平面图,显然它们都是5可染。
现在假设我们有一个n个顶点的平面图G,而我们已经知道所有顶点是n-1个的平面图是5可染。
由上面的证明,我们可以在这个特定的平面图上找出一个顶点V最多只和五个其他顶点相邻。
如果我们现在把这个点从图中去掉,并且把这顶点和其他点连结的弧也去掉,那么我们得到一个只剩下n-1个顶点的平面图,它是5可染的。
因此我们的目的是怎么样对这个顶点V涂上适当的五种颜色之一,使到整个图G是5可染。
如果顶点V是和少过五个顶点相邻,我们只要用还没在这些相邻顶点用过的颜色来涂V,那么整个问题就解决了。
现在顶点V是恰好和五个顶点相邻,就像图七所示那样:
如果原来的图里V1,V2,V3,V4,V5有两个顶点是相同颜色,那么我们只要把没有在以上诸顶点涂过的颜色涂在顶点V问题就解决了。
现在考虑最后可能的情形,那就是五个顶点都涂上不同的颜色就像图七所示那样。
现在我们定义一些集合叫“青红帮”、“黄红帮”、“紫红帮”等等。
两种颜色,比方说红、黄组成一个“帮”——“红黄帮”,那是取出图G所有具有红、黄色的顶点,以及所有那些弧它的一端是红色顶点,另外一端是黄色顶点。
这样的“红黄帮”是图G的子图。
现在考虑两种可能出现的情形:
第一种顶点V1和V3落在“红黄帮”不同的两部分,就像图七所示那样。
这样的情形我们就能把包含V1的“红黄帮”那部分里面的点重新涂颜,原来是黄的涂成红色,原来是红色的涂成黄色。
这样一来V1和V3就同时是黄色,我们可以拿红色来涂V了。
第二种顶点V1和V3落在“红黄帮”里相同的部分,就像图七所示那样。
这样我们可以找到一个回路C:
V→V1→…→V3→V整个落在“红黄帮”里面。
现在我们注意到顶点V2是在回路C里面,而顶点V4是在回路C外面。
由于我们这个图是平面的,因此我们不可在“青蓝帮”里找到一串顶点把V2和V4串联起来;因此“青蓝帮”有一部分是包含V2而不包含V4,就在这部分里我们把原来是青色的顶点改涂成蓝色,而蓝色的顶点改成青色。
这样V2和V4同样是蓝色,我们就可以将V涂上青色了。
用这样的方法,我们只用五种颜色就把图G涂得使到没有相邻顶点具有相同颜色。
我们用归纳法证明了所有的平面图是5可染。
从失败到成功
怎样证明所有的平面图是4色可染变成非常困难的问题。
在外国有许多不是数学家的人也对这问题产生兴趣而展开研究,例如近年法国南部一间大学的一个文学教授詹·梅耶,他沉迷于这个问题而对自己的本行法国文学不再去注意,而他在这方面的数学贡献不逊色于一流的数学家。
1976年9月“美国数学学会通告”公布了一个令数学界震动的消息,就是在伊利诺大学执教的阿贝勒及哈根两教授已经利用高速电子计算机的协助证明了“地图四色问题”是对的。
同一年10月21日英国科学杂志“新科学人”登了一篇阿贝勒亲自写解决这个问题的经过的文章。
那一期的杂志封面全版登了用红、黄、蓝、绿涂彩顶点的图。
阿贝勒在那篇文章大约叙述“地图四色问题”的历史,并提到差不多一百年前肯泊的证明关键想法是正确的:
就是找出一个包含特别图的集合。
这些特别图具有这样的性质:
任何平面图一定会包含其中一个特别图为子图,而且如果这个图是需要用五种颜色来涂,那么顶点更少的图也是需用五种颜色来涂的。
50年来美国、英国、德国及法国数学家找到一些特别图。
可是随着顶点数增加,要判断一个图是否特别图就很不容易。
自从高速电子计算机出现后,德国数学家亨利·希斯就设计一些程序,然后藉助电子计算机来找及验证特别图。
1960年美国数学家哈根也开始这方面的工作,1972年阿贝勒和哈根合作一起改进电子计算机方面的程序,到了1974年工作是有一些眉目,这时参加他们工作还有一些人。
在1976年1月他们找到一个很好的程序,能构造出特别图,并且能很快就验证,这时他们是有信心能解决“四色问题”了。
整个1976年的6月,他们用超过1000多小时的电子计算机应用时间,对于一万个图检验,总算最后找到2000个特别图。
由这些图就能证明“地图四色问题”是对的。
而这困扰许多数学家一百多年的数学难题总算解决了。
动脑筋想想看
1.利用欧拉公式,证明图六的K5和K3,3不会是平面图。
2.你在平面上画n个相交的圆,证明得到的这个图具有的染色数是2。
3.你把乒乓球染上红、黄、白、蓝四种颜色,然后放进一个玻璃罐里,你会发觉不管怎么放一定有两粒同颜色的乒乓球碰在一起。
研究是什么原因?
4.计算中国地图各省区域所得到的图的染色数,如果是3则意味着我们可以用三种颜色来涂中国地图,而使得每相邻的省份有不同样颜色。
5.1940年一个匈牙利数学家杜兰在德国的集中营里被拘禁,他自己以数学来自娱,发现了底下现在称为“杜兰的定理”!
有2n个顶点及n2+1个边的图,一定包含一个三角形为子图。
在匈牙利有一个11岁的小孩名叫路易·博萨,他听到一个数学家讲这个定理就在很短时间找出证明。
你能不能也尝试找出一个证明来呢?
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