第二讲 中考圈题课程应用题莫亚男.docx
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第二讲中考圈题课程应用题莫亚男
前言
在中考中,有一类题目说难不难,说不难又难,有的时候三两下就有了思路,有的时候苦思冥想很久也没有想法,这就是列方程或方程组解应用题。
方程可以说是初中数学当中最重要的部分,所以也是中考中必考内容。
从近年来的中考来看,结合时事热点考的比较多,所以还需要考生有一些生活经验。
实际考试中,这类题目几乎要么得全分,要么一分不得,但是也就那么几种题型,所以考生只需多练多掌握各个题类,总结出一些定式,就可以从容应对了。
本节圈题课程内容主要由以下几方面组成:
一、考纲解读
二、考点梳理
三、长沙中考真题评析
四、解题策略和典型方法
五、针对训练
六、复习建议
一、考纲解读
2015年长沙中考题型结构:
题型
题目数
分值
百分比
选择题
12
36
30%
填空题
6
18
15%
解答题
8
66
55%
合计
26
120
100%
选择题与填空题,解答题的前4道题为基础或中等难度的题型,共82分,第23题(9分):
为方程应用问题,第24题(9分):
一般为三角形,四边形或者圆的几何证明和计算题。
第25题(10分):
一般为函数知识综合题或者新定义题;第26题(10分):
函数与几何综合题。
板块结构规律
数与代数
空间与图形
统计与概率
知识板块
数与式
方程与不等式
函数
三角形
四边形
圆
统计
概率
2014年
分值
18
14
24
17
17
16
7
7
百分比
46%
42%
12%
2013年
分值
21
18
19
18
19
11
9
5
百分比
48%
40%
12%
2012年
分值
12
18
26
15
18
17
9
5
百分比
47%
41%
12%
复习重点,在数与代数(应用问题),空间与图形。
二、考点梳理
《数学课程标准》阐述的教学要求具体分以下几个层次
知识技能要求:
(1)了解:
从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征;根据对象的特征,从具体情境中辨认或者举例说明对象。
(2)理解:
描述对象特征和由来,阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。
(3)掌握:
在理解的基础上,把对象用于新的情境。
(4)运用:
综合使用已掌握的对象,选择或创造适当的方法解决问题。
过程性要求:
(5)经历:
在特定的数学活动中,获得一些感性认识。
(6)体验:
参与特定的数学活动,主动认识或验证对象的特征,获得一些经验。
(7)探索:
独立或与他人合作参与特定的数学活动,理解或提出问题,寻求解决问题的思路,发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系,获得一定的理性认识。
具体内容
知识技能要求
过程性要求
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
一元一次方程及解法
√
二元一次方程组及解法
√
可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式不超过2个)及解法
√
一元二次方程(数字系数)的解法(配方法、公式法、因式分解法)
√
一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等
√
根据具体问题中的数量关系列方程(组)并解决实际问题
√
√
根据具体问题的实际意义,检验方程(组)的解是否合理
√
根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式并解决简单实际问题
√
不等式的基本性质
√
√
解一元一次不等式
√
解由两个一元一次不等式(组)组成的不等式组
√
用数轴表示一元一次不等式(组)的解集
√
三、长沙中考真题评析
例1:
(2014年长沙)为建设“秀美幸福之市”,长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行,某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵,对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造,已知甲种树苗每棵200元,乙种树苗每棵300元。
(1)若购买两种树苗的总金额为90000元,求需购买甲乙两种树苗各多少棵?
(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额,至少应购买甲种树苗多少棵?
【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】
(1)设购买甲种树苗x棵,则购买乙种树苗(400-x)棵,根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可;
(2)设应购买甲种树苗a棵,则购买乙种树苗(400-a)棵,根据购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额建立不等式求出其解即可.
【解答】解:
(1)设购买甲种树苗x棵,则购买乙种树苗(400-x)棵,由题意,得200x+300(400-x)=90000,
解得:
x=300,
∴购买乙种树苗400-300=100棵,
答:
购买甲种树苗300棵,则购买乙种树苗100棵;
(2)设应购买甲种树苗a棵,则购买乙种树苗(400-a)棵,由题意,得200a≥300(400-a),
解得:
a≥240.
答:
至少应购买甲种树苗240棵.
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,一元一次不等式的解法
的运用,解答时建立方程和不等式是关键.
例2:
(2013年长沙)为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线.已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元;若1号线每千米的平均造价比2号线每千
米的平均造价多0.
5亿元.
(1)求1号线,2号线每千米的平均造价分别是多少亿元?
(2)除1,2号线外,长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网.据预算,这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍,则还需投资多少亿元?
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】
(1)假设1号线,2号线每千米的平均造价分别是x亿元,y亿元,根据“修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元;若1号线每千米的平均造价比2号线的平均造价多0.5亿元”分别得出等式求出即可;
(2)根据
(1)中所求得出建91.8千米的地铁线网,每千米的造价,进而求出即可.
【解答】解:
(1)设1号线,2号线每千米的平均造价分别是x亿元,y亿元,由题意得出:
24x+22y=265
x-y=0.5
解得:
x=6
y=5.5
答:
1号线,2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元;
(2)由
(1)得出:
91.8×6×1.2=660.96(亿元)
答:
还需投资660.96亿元.
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用,关键是弄清题意,找出合适的等量关系,列出方程组.
例3:
(2012年长沙)以“开放崛起,绿色发展”为主题的第七届“中博会”己于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕.作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个,其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目个数多51个?
(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个?
(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元,7.5亿元,求在这次“中博会”中,东道主湖南省共引进资金多少亿元?
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】
(1)利用境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个,得出等式方程求出即可;
(2)根据
(1)中数据以及境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元,7.5亿元,得出即可.
【解答】解:
(1)设境外投资合作项目个数为x个,根据题意得出:
2x-(348-x)=51,
解得:
x=133,
故省外境内投资合作项目为:
348-133=215个.
答:
境外投资合作项目为133个,省外境内投资合作项目为215个.
(2)∵境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元,7.5亿元,
∴湖南省共引进资金:
133×6+215×7.5=2410.5亿元.
答:
东道主湖南省共引进资金2410.5亿元.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,关键是弄清题意,找到等量关系:
境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个列出方程是解题关键.
例4:
(2011年长沙)某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务,甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米,经过5天施工,两组共掘进了45米.
(1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?
(2)为加快工程进度,通过改进施工技术,在剩余的工程中,甲组平均每天能比原来多掘进0.2米,乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此旄工进度,能够比原来少用多少天完成任务?
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】
(1)设甲、乙班组平均每天掘进x米,y米,根据已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米,经过5天施工,两组共掘进了45米两个关系列方程组求解.
(2)由
(1)和在剩余的工程中,甲组平均每天能比原来多掘进0.2米,乙组平均每天能比原来多掘进0.3米分别求出按原来进度和现在进度的天数,即求出少用天数.
【解答】解:
(1)设甲、乙班组平均每天掘进x米,y米,得
x-y=0.6
5(x+y)=45
解得:
x=4.8
y=4.2
∴甲班组平均每天掘进4.8米,乙班组平均每天掘进4.2米.
(2)设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天,b天完成任务,则
a=(1755-45)÷(4.8+4.2)=190(天)
b=(1755-45)÷(4.8+0.2+4.2+0.3)=180(天)
∴a-b=10(天)
∴少用10天完成任务.
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组的应用,解题的关键是根据已知找出相等关系列方程组求解,然后由已知和所求原来进度求出少用天数
例5:
(2010年长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:
①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元.请问哪种方案更优惠?
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】
(1)此题可以通过设出平均每次下调的百分率为x,根据等量关系“起初每平米的均价×(1-下调百分率)×(1-下调百分率)=两次下调后的均价”,列出一元二次方程求出.
(2)对于方案的确定,可以通过比较两种方案得出的费用:
①方案:
下调后的均价×100×0.98;②方案:
下调后的均价×100-两年的物业管理费,比较确定出更优惠的方案.
【解答】解:
(1)设平均每次降价的百分率是x,依题意得
5000(1-x)2=4050,
19
10
解得:
x1=10%,x2=(不合题意,舍去).
答:
平均每次降价的百分率为10%.
(2)方案①的房款是:
4050×100×0.98=396900(元);
方案②的房款是:
4050×100-1.5×100×12×2=401400(元)
∵396900元<401400元.
∴选方案①更优惠.
【点评】同学们应注重培养应用题的分析理解能力,通过列出方程求出未知解.
四、解题策略和典型方法
解应用题的一般步骤可以归结为:
“审、设、列、解、验、答” .
1、“审”是指读懂题目,弄清题意,明确题目中的已知量,未知量,以及它们之间的关系,审题时也可以利用图示法,列表法来帮助理解题意.
2、“设”是指设元,也就是未知数.包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目).
3、“列”就是列方程,这是非常重要的关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程.
4、“解”就是解方程,求出未知数的值.
5、“验”就是验解,即检验方程的解能否保证实际问题有意义.
6、“答”就是写出答案(包括单位名称).
五、针对训练
1、电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式,网购已悄然进入千家万户.章女士在某网店花220元买了1只茶壶和10只茶杯,已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元.
(1)求茶壶和茶杯的单价分别是多少元?
(2)中秋将至,该网店决定推出优惠酬宾活动:
买一只茶壶送一只茶杯,茶杯单价打八折.请你计算此时买1只茶壶和10只茶杯共需多少元?
2、为丰富学生的学习生活,某校九年级1班组织学生参加春游活动,所联系的旅行社收费标准如下:
如果人数超过25人,每增加1人,人均活动费用降低2元,但人均活动费用不得低于75元.如果人数不超过25人,人均活动费用为100元.春游活动结束后,该班共支付给该旅行社活动费用2800元,请问该班共有多少人参加这次春游活动?
3、小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤.
妈妈:
“今天买这两样菜共花了45元,上月买同重量的这两样菜只要36元”;
爸爸:
“报纸上说了萝卜的单价上涨50%,排骨单价上涨20%”;
小明:
“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?
”
请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:
元/斤).
上个月某超市购进了两批相同品种的水果,第一批用了2000元,第二批用了5500元,第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍,且进价比第一批每千克多1元.
(1)求两批水果共购进了多少千克?
(2)在这两批水果总重量正常损耗10%,其余全部售完的情况下,如果这两批水果的售价相同,且总利润率不低于26%,那么售价至少定为每千克多少元?
4、某公司在A、B两地分别库存挖掘机16台和12台,现在运往甲、乙两地支援建设,其中甲地需要15台,乙地需要13台.从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元;从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元.设从A地运往甲地x台挖掘机,运这批挖掘机的总费用为y元.
(1)请填写下表,并写出y与x之间的函数关系式;
(2)公司应设计怎样的方案,能使运这批挖掘机的总费用最省?
5、在长株潭建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工。
已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元至35元之间较为合理,并且该产品的年销售量
(万件)与销售单价
(元)之间的函数关系式为:
(年获利=年销售收入一生产成本一投资成本)
(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?
(2)求该公司笫一年的年获利
(万元)与销售单价
(元)之间的函数关系式,并说明投资的笫一年,该公司是盈利还是亏损?
若盈利,最大利润是多少?
若亏损,最小亏损是多少?
(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款
万元,该项捐款山两部分组成:
一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大盈利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于67.5万元,请你确定此时销售单价的范围.
六、复习建议
列方程解应用题作为必考内容,难度一般都不会很大。
但是这类问题的特点是冗余信息多,干扰思考。
例如动辄来个知识背景介绍,或者模拟情景对话,简单说就是废话非常多。
所以作为考生来说,碰到此类问题,第一步就是要从废话中提取有用信息,然后设元,将废话转化为数学元素。
第二步就是提取题目中的等量信息。
一般来讲,等量信息无非分两种,一个是个体的关系;另一部分就是总体的关系,例如总收入,总支出之类的。
顺风逆风问题似乎近年来很少考到,大多是和钱有关的事情。
所以需要考生关注“总和”“比…少”“比…的几倍多”这种字眼,分析出等量关系去列出方程。
具体操作来看,笔者比较倾向于非函数问题列二元方程去算,这样的好处是比较直观,在较为复杂的等式中如果一直用某个未知数的关系去表示另一个未知数容易造成等式过于冗长,容易出错。
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