4静定结构的位移计算习题解答.docx

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4静定结构的位移计算习题解答

第4章静定结构的位移计算习题解答

习题4.1是非判断题

（1变形体虚功原理仅适用于弹性体系,不适用于非弹性体系。

（（2虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。

（

（3功的互等定理仅适用于线弹性体系,不适用于非线弹性体系。

（（4反力互等定理仅适用于超静定结构,不适用于静定结构。

（（5对于静定结构,有变形就一定有内力。

（（6对于静定结构,有位移就一定有变形。

（

（7习题4.1（7图所示体系中各杆EA相同,则两图中C点的水平位移相等。

（（8MP图,M图如习题4.1（8图所示,EI=常数。

下列图乘结果是正确的:

4

832（12l

lqlEI⨯⨯⨯（

（9MP图、M图如习题4.1（9图所示,下列图乘结果是正确的:

0332

02201111（1yAEIyAyAEI++（

（10习题4.1（10图所示结构的两个平衡状态中,有一个为温度变化,此时功的互等

定理不成立。

（

FC

C

Fl

（aP

l

l（b

P

l

习题4.1（7图

图

（bMl/4

1

图

（aMPl

8

1ql2q

M图

（bPM图

（a1

02

yA3A2

1A2

EIEI

1

01

y03

y

习题4.1（8图习题4.1（9图

（a（b

FP

t12

t

习题4.1（10图

【解】（1错误。

变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。

（2错误。

只有一个状态是虚设的。

（3正确。

（4错误。

反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。

（5错误。

譬如静定结构在温度变化作用下,有变形但没有内力。

（6错误。

譬如静定结构在支座移动作用下,有位移但没有变形。

（7正确。

由桁架的位移计算公式可知。

（8错误。

由于取0y的M图为折线图,应分段图乘。

（9正确。

（10正确。

习题4.2填空题

（1习题4.2（1图所示刚架,由于支座B下沉∆所引起D点的水平位移∆DH=______。

（2虚功原理有两种不同的应用形式,即_______原理和_______原理。

其中,用于求位移的是_______原理。

（3用单位荷载法计算位移时,虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。

（4图乘法的应用条件是:

__________且MP与M图中至少有一个为直线图形。

（5已知刚架在荷载作用下的MP图如习题4.2（5图所示,曲线为二次抛物线,横梁的

抗弯刚度为2EI,竖杆为EI,则横梁中点K的竖向位移为________。

（6习题4.2（6图所示拱中拉杆AB比原设计长度短了1.5cm,由此引起C点的竖向位移为________;引起支座A的水平反力为________。

（7习题4.2（7图所示结构,当C点有FP=1（↓作用时,D点竖向位移等于∆（↑,当E点有图示荷载作用时,C点的竖向位移为________。

（8习题4.2（8图（a所示连续梁支座B的反力为（16

11R↑=BF,则该连续梁在支座B

下沉∆B=1时（如图（b所示,D点的竖向位移Dδ=________。

A

BC

D

a3a2a

a

B1

3m

3m9

K246m

24

习题4.2（1图习题4.2（5图

A

C

B

3m

6m

6m

AC

M=1

BDE

a

a

a

a

习题4.2（6图习题4.2（7图

BRFD

l

l/2/2l（a

C

B

A

P=1

FD

（b

=1

BD

B

A

C

习题4.2（8图

【解】（1

（3

∆

→。

根据公式RΔFc=-∑计算。

（2虚位移、虚力;虚力。

（3广义单位力。

（4EI为常数的直线杆。

（5

48.875

（EI

↓。

先在K点加单位力并绘M图,然后利用图乘法公式计算。

（61.5cm↑;0。

C点的竖向位移用公式NΔFl=∆∑计算;制造误差不会引起静定结构产生反力和内力。

（7

（a

∆

↑。

由位移互等定理可知,C点作用单位力时,E点沿M方向的位移为

21a

∆

δ=-

。

则E点作用单位力M=1时,C点产生的位移为12a

∆

δ=-

。

（8

11

（16

↓。

对（a、（b两个图示状态,应用功的互等定理可得结果。

习题4.3分别用积分法和图乘法求习题4.3图所示各指定位移∆CV。

EI为常数。

【解】1求∆CV

/2

lA

EI

l/2

A

B

P

x

P

14FlMP（b图

CB

（c图A

41l

M

Cx

=1PFB

（a

FC

习题4.3（1图

（1积分法

绘MP图,如习题4.3（1（b图所示。

在C点加竖向单位力FP=1,并绘M图如习题4.3（1（c图所示。

由于该两个弯矩图对称,可计算一半,再将结果乘以2。

AC段弯矩为

12Mx=

PP1

2

MFx=则

3/2

PVP0

111

2d（2248lCFlxFxxEIEI

∆=⨯⨯⨯=↓⎰

（2图乘法

3PPV

1122（2423448CFlFlll

EIEI

∆=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=↓

2求∆CV

2m

2m

（a

（b图（kN·

mPM（c图M

10

20kN/m

A

C

B

EIA

160

B

A

2

xC

40B

xC

1

习题4.3（2图

（1积分法

绘MP图,如习题4.3（2（b图所示。

在C点加竖向单位力并绘M图,如习题4.3（2（c图所示。

以C点为坐标原点,x轴向左为正,求得AC段（0≤x≤2弯矩为

Mx=,2P10（2Mx=⨯+

则

2

2V0

168010（2d（3CxxxEIEI

∆=⨯⨯+=↓⎰

（2图乘法

由计算位移的图乘法公式,得

V1

12112680

1602240221021（232333CEI

EI

∆⎡⎤=

⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=↓⎢⎥⎣⎦3求∆CV

4l

l/2

2

1A

x

（a

M

（c图（b图

1xB

C

l2

MPC

A

q

EIEIB

8

PF/2ql=A

ql

x

2

ql1x

B

C

21ql4

习题4.3（3图

（1积分法

绘MP图,如习题4.3（3（b图所示。

在C点加竖向单位力并绘M图,如习题4.3（3（c图所示。

根据图中的坐标系,两杆的弯矩（按下侧受拉求分别为AB杆

12Mx=-,2P1

42

qlMxqx=-

CB杆

Mx=,P2

ql

Mx=

则

4

/2

2V

00

1111dd（242224l

lCqlqlqlxxqxxxxxEI

EIEI

∆⎛⎫=-⨯-+⨯=↓⎪⎝⎭

⎰⎰

（2图乘法

2224

V

1122112（243238222423224CqllqllqlllqlllEIEI

∆⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=↓⎪⎝⎭4求ϕA

A

EIBl

l

2EI2q

（a

（b图

MP（c图M

ql2/8

ql2

/22

ql1/3

1

1

习题4.3（4图

（1积分法

绘MP图,如习题4.3（4（b图所示。

在A点加单位力偶并绘M图,如习题4.3（4（c图所示。

以A为坐标原点,x轴向右为正,弯矩表达式（以下侧受拉为正为

113Mxl=-

2P3122

Mqlxqx=-则

23PP

V02232202dd2113111311d1d2322322l

lCllllMMMMxx

EIEIxqlxqxxxqlxqxx

EIlEIl

∆=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-⨯-+-⨯-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎰⎰⎰⎰

35

8qlEI

=

（（2图乘法

由计算位移的图乘法公式,得

2

22

21121121112121223333232112121112333832AqlllqlEI

qlllqlEIϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=

⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥

⎣

⎦35

8qlEI

=

（习题4.4分别用积分法和图乘法求习题4.4（a图所示刚架C点的水平位移∆CH。

已知EI=常数。

习题4.4图

【解】1积分法

D

q

ll

B

A

C

l

A

B

l

D

C

A

B

D

C

22ql2

ql2

81ql2（b图MPM图

（c（a

x

x

1l

l

PM、M图分别如习题4.4（b、（c图所示,建立坐标系如（c图所示。

各杆的弯矩用x表示,分别为

CD杆

Mx=,P12

Mqlx=

AB杆

Mx=,2P1

2

Mqlxqx=-

代入公式计算,得

2H001111

d（d22l

lCxqlxxxqlxqxxEIEI∆=⨯⨯+⨯⨯-⎰

⎰43（8qlEI=

→2图乘法

224H

112232（2233828CqlqlllllqlEIEI

∆⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=→⎪⎝⎭习题4.5习题4.5（a图所示桁架各杆截面均为A=2×10-3m2,E=2.1×108kN/m2,FP=30kN,d=2m。

试求C点的竖向位移VC∆。

d

d

2×A

2×dCB

P

2FPFD

FP

E

2CA

FP

B

DEP

FPF2P

F2

√-2P

F2

√-2PF2√

-3（a

（b图

NPFAD

CEB1

0.5

0.5

1--/2

√2

-/

2√

22/2

√0

1NF（c图d

1d2√1

-d2√1d

2√1-d2√（d图

FN1d

2√√2

FP

d

2×A

2×d

C

BP

2FPFDFPE

2C

AFP

B

D

EP

FPF2P

F2

√-2

P

F2

√-2P

F

2√-3（a

（b图

NPFAD

CEB

10.5

0.5

1

--/2√2-/2√

2

2/2√0

1

NF（c图d

1d2√1

-d

2√1d

2√1-d

2√（d图

FN1d2√√2

FP

习题4.5图

【解】绘NPF图,如习题4.5（b图所示。

在C点加竖向单位力,并绘NF图,如习题4.5（c图所示。

由桁架的位移计算公式NNP

FFΔlEA=

∑,求得

VP1062

2.64mm（CFdEA

∆+=

=↓习题4.6分别用图乘法计算习题4.3和习题4.4中各位移。

（见以上各题习题4.7用图乘法求习题4.7（1、（2、（3、（4图所示各结构的指定位移。

EI为常

数。

【解】

1求VC∆

q

=4m

EI

l3m

A

B

EI

l=4m

C

ql12q

3416q

7

4

1

（a

PM（b图M

（c图

习题4.7（1图

绘PM图,如习题4.7（1（b图所示;在C点加竖向单位力,并绘M图,如习题4.7（1（c图所示。

由计算位移的图乘法公式,得

V22112111234574165742332331112113442233242354（

3CABBC

qqEI

qllqllEIqEI∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫=

⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣

⎦⎡⎤+

⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦=↓

2求ϕD

D

2EIA

l/2

lq

EI

EI

2CB

2

ql/2

l1

1

1

1

/8

ql2ql2/8

/8

2

qlql2/81317（a

（b图

MP（c图M

习题4.7（2图

绘PM和M图,分别如习题4.7（2（b、（c图所示。

由计算位移的图乘法公式,得

222

2111317111111122888382DlqlqlqllqlEIEIϕ⎛⎫⎡⎤=

⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦313

12qlEI

=

（

3求A、B两截面的相对转角ϕAB

qlEI

C

lB

A

2EI

q

2l

2

C

/8

2

ql2

2ql1

1

（a

（b图

MP（c图M

1

习题4.7（3图

绘PM和M图,分别如习题4.7（3（b、（c图所示。

由计算位移的图乘法公式,得

221121212238ABqllqllEIϕ⎛⎫

=

⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎪⎝⎭311

24qlEI

=

（4求C、D两点间的相对线位移CD∆及铰C左右两侧截面C1、C2之间的相对转角12CCϕ

l

P

FD

EI

l

l

l

lB

Al

FP

C2

C1CC

CC

/2

lPFAB

F/2

PlF/2

PlF/2

Pll

FPlFPA

BD11

12

√A

B

D

1

1

1

11

（b图

（a

PM（c图M

（c图M

习题4.7（4图

绘PM图,如习题4.7（4（b图所示。

分别加一对单位力和单位力偶,并绘M图,如习题4.7（4（c、（d图所示。

由计算位移的图乘法公式,得

P1111223

2CDl

FllEI∆⎛⎫=

⨯⨯⨯⨯⨯

⎪⎝⎭3P2（24FlEI

=→←12

P111112232CClFlEIϕ⎡⎤=

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦2P1

6FlEI

=

（习题4.8求习题4.8（a图所示刚架A、B两点间水平相对位移,并勾绘变形曲线。

已知EI=常数。

B

A

qq

lq

l/2

/2

l/8

2

ql/242ql/24

ql2/2l/2l/2

l1

1

AB

（a

（b图

MP（c图

M（d变形曲线

A

BA

B

习题4.8图

【解】绘PM和M图,分别如习题4.8（b、（c图所示。

则

222411141212424252242382（

60ABll

llqlqllqllEI

ql

EI

∆⎡⎤=

⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦

=-→←

变形曲线如习题4.8（d图所示,需注意图中A、B两点以上为直线。

习题4.9习题4.9（a图所示梁的EI=常数,在荷载FP作用下,已测得截面B的角位移为0.001rad（顺时针,试求C点的竖向位移。

FPAC3m3m6m（a1B（cM图13m3mBCFP3FPBA（bMP图习题4.9图【解】绘MP图，在B点加单位力偶并绘M图，分别如习题4.9（b、（c图所示。

图乘得jB=令jB=0.001，得FP=3FPEI0.001EI。

3下面求DCV（在MP图中令FP=1即为对应之M图）：

DCV=1EI212ù27FPé1ê2´3FP´3´3´3+2´3FP´6´3´3ú=EI=9mm（¯ëû习题4.10习题4.10（a图所示结构中，EA=4×105kN，EI=2.4×104kN·2。

为使D点竖m向位移不超过1cm，所受荷载q最大能为多少？

A3mEAEAqEI4m（a）C2mD7.5q1.5q2q2q-0.52.521BFM（b）P图、NP图（c）图、N图FM习题4.10图【解】绘梁杆的MP图、桁杆的FNP图，如习题4.10（b图所示。

在D点加竖向单位力，绘梁杆的M图、桁杆的FN图，如习题4.10（c图所示。

由组合结构的位移计算公式，求得DDV为DDV=2213ùé1ê2´2q´4´3´2-3´4´2q´1+3´2´2q´4´2úëû1+[1.5q´（-0.5´3+7.5q´2.5´5]EA2q183=+qEI2EA1EI

令DDV=0.01，解得q=32.04kN/m即q不超过32.04kN/m时，D点竖向位移不超过1cm。

习题4.11试计算由于习题4.11（a图所示支座移动所引起C点的竖向位移DCV及铰B两侧截面间的相对转角jB1B2。

BB1B22aFR2=3aA0.02rad2a（a）B110.01aCaAFR1=1（b）C1FR2=0FR1=0（c）习题4.11图【解】在C点加一竖向单位力，求出支座移动处的反力，如习题4.11（b图所示。

则DCV=-åFRc=-（-1´0.01a-3a´0.02=0.07a（¯在铰B两侧截面加一对单位力偶，求出支座移动处的反力，如习题4.11（c图所示。

则jBB=012习题4.12习题4.12（a、（b图所示刚架各杆为等截面，截面高度h=0.5m，a=10-5，刚架内侧温度升高了40℃，外侧升高了10℃。

试求：

图（a）中A、B间的水平相对线位移DAB。

图（b）中的B点的水平位移DBH。

+10℃4m+10℃B+10℃+10℃+10℃AB+40℃4m+40℃A+10℃4m4m（a4FN=1CDFN=1414144FN=144m（bFN=11ABFN=-14（c）图、N图FM4（d）图、N图FM习题4.12图【解】1）求图（a）中DAB在A、B两点加一对单位力，绘M图和FN图，如习题4.12（c图所示。

按如下公式计算DABDAB=å互抵消，故DAB=0。

2）求图（b）中的DBHaDthòMdx+åatFl0N因AC，BD杆两侧温度均升高了40℃，对上式无影响。

其他四边代入上式计算结果相在B点加一水平单位力，绘M图和FN图，如习题4.12（d图所示。

DBH=a´（40-101h´´4´4´2+a´210+40´1´4´2=0.0116m（®2习题4.13由于制造误差，习题4.13（a图所示桁架中HI杆长了0.8cm，杆短了0.6cm，CG试求装配后中间结点G的水平偏离值DGH。

CGD6mFN=-0.51GFN=1EHA4×6m（aIF6mB（b习题4.13图【解】在G点加一水平单位力，解出HI，CG杆的轴力FN，如习题4.13（b图所示。

则4m

DGH=åFNDl=（0.8´1+0.5´0.6=1.1cm（®习题4.14求习题4.14（a图所示结构中B点的水平位移DBH。

已知弹性支座的刚度系数k1=EI/l，k2=2EI/l3。

qqlCEIAk1l（a）FR1=ql2M（b）P图EIk2Bql2/8FR2=ql/2B1FR2=0lql2lFR1=l（c）图M习题4.14图【解】

（1）绘MP图，并求支反力FR，如习题4.14（b图所示。

（2）在B点加一水平单位力，绘M图，并求支反力FR，如习题4.14（c图所示。

（3）由公式Δ=åòMMPFFds+åRR，得EIkDBH=1122l4ql4´ql´l´l+´l´ql2=（®EI23EI3EI