11结构的稳定计算习题解答.docx
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11结构的稳定计算习题解答
第11章结构的稳定计算习题解答
习题11.1是非判断题
(1)要提高用能量法计算临界荷载的精确度,不在于提高假设的失稳曲线的近似程度,而在于改进计算工具。
()
(2)对称结构承受对称荷载时总是按对称形式失稳。
()
(3)刚架的稳定问题总是可以简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
()
(4)结构稳定计算时,叠加原理已不再适用。
()
(5)有限自由度体系用能量法求出的临界荷载是精确解。
()
(6)当结构处于不稳定平衡状态时,可以在原结构位置维持平衡,也可以在新的形式下维持平衡。
()
【解】
(1)错误。
能量法计算临界荷载的精确度,直接取决于所假设的失稳曲线的近似程度。
(2)错误。
既可按对称形式失稳也可按反对称形式失稳。
(3)错误。
在能求出刚度系数的情况下,才可简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。
(4)正确。
一般情况下,结构的稳定计算中,既要考虑几何非线性也要考虑材料非线性,因此,不能采用适用于线性弹性理论的叠加原理。
(5)正确。
(6)错误。
习题12.2填空题
(1)结构由稳定平衡到不稳定平衡,其临界状态的静力特征是平衡形式的。
(2)临界荷载与压杆的支承情况有关,支承的刚度越大,则临界荷载越。
(3)用能量法求无限自由度体系的临界荷载时,所假设的失稳曲线y(x)必须满足条
件,并尽量满足_条件。
(4)利用对称性,求习题11.2(4)图所示结构的临界荷载FPCr=。
ElElFP
^-I-l-I
习题11.2(4)图
11.2(5)图(b)所示单根压杆计
(5)习题11.2(5)图(a)所示结构可简化为习题算,则弹簧抗转动刚度系数k=。
EI
B
(b)
11.2(6)图(b)计算,则抗移动
(6)习题11.2(6)图(a)所示结构可简化为习题
弹簧刚度系数k1=,抗转动弹簧刚度系数k2=。
k2
(b)
习题11.2(6)图
【解】
(1)二重性。
(2)
(3)
大。
位移边界;力的边界。
(4)
2
二EI
""2
I
。
该对称结构的临界荷载,可按反对称失稳形式(即两端简支压杆)
确定。
(5)
(6)
EI
。
I
3EI
;
习题
I3
11.3
3EI
。
I
用静力法计算习题11.3图所示体系的临界荷载。
FP
【解】
(1)
(3Fp
∞
E0
—
(a)
给出失稳形式,
Ma=0得
1
∙∙∙FPerkI
3
如习题解
(b)
习题11.3图
11.3(a)图所示。
(C)
(2)
(3)
习题
F
y/l
Φ1≡Mi
FP(!
)
给出失稳形式,如习题解
由aMa=0得
(k丨一2F)y0
1
FPCrkl
2
给出失稳形式,如习题解
先求得支反力:
FR
由aMA=0得
FP
A1
/
∖Λ
ky
-IA
FP
(b)
习题解11.3图
11.3(b)图所示。
11.3(C)图所示。
J2l4J
(C)
5
kl
6
11.4用静力法计算习题
FPCr
数(发生单位相对转角所需的力矩)
【解】给出失稳形式,如习题解
分析AC,由'MC=O得
~_FR
夏一-1
2
_13
T
ky
ky
11.4图所示体系的临界荷载。
k为弹性铰的抗转动刚度系
∞
=0
习题11.4图
11.4图所示。
2k
T-FP
二FPCr
2k
习题解11.4图
习题11.5用静力法计算习题
11.5图所示体系的临界荷载。
斥
A
(b)
习题
C
h
【解】
(1)原体系可简化为习题解
11.5
11.5图
(a)图所示。
弹性支承刚度系数为
FP
∞
E0
可求得
(a)
∞
E
(b)
习题解11.5图
3EI6EI
2二
i3
I3
FP
3EI
(2)原体系可简化为习题解
11.3
1Crkl
2
(b)图所示。
弹性支承刚度系数为
4EI
k=
I
I2
可求得
FP
习题11.6用能量法重做习题
11.3
r—
h
(C)。
【解】变形能
U
1
1X—
1ky—y
1亡-X
22ky-
一25ky
2
2
2
2
33
72
何载势能UP=
:
-F^-:
其中
Δ
1
y2
1
y2
52
=—
-31(
2l(
)二
y
2
3l
2
2l
12l
总势能EP=U
UP
IdEPE
得•
25
5
由P0及
y=0
k
——
FP二0
dy72121
5
•••FPCrkl
6
11・7图所示各结构的稳定方程。
习题11.7用静力法求习题
FP
EI
EI
EI
习题11.7图
【解】
(1)失稳曲线如习题解11.7
(1)图所示。
微分方程为
1
Ely=_M=_(FPy-F^X)
2
或
212y.亠展y=•X
2
其中
2FP
Ot=
EI
该微分方程的通解为
1
y=Acosx亠BSin.空X--TlX
2
代入边界条件:
X=0,
y二0;x=l,y二0;x二I,y:
-一二
所得齐次方程中,由A,B=不全为零的条件(即系数行列式等于零)整理后得
tan:
丨亠‘:
.丨=O
Ely=-M=-(FPy「k寸
通解为y=ACoS-XBSin
FP
由A,B^不全为零的条件,整理后得
1
tanJlI=0
4
习题解11.7
(2)图
(3)原结构可等效为习题解11.7(3)(a)图所示具有弹性支承的压杆,失稳曲线如习
题解11.7(3)(b)图所示。
微分方程为
习题解11.7(3)图
Ely--M--(FPy—k、:
x)
(4)原结构可等效为习题解11.7(4)(a)图所示具有弹性支承的压杆,失稳曲线如习
题解11.7(4)(b)图所示。
微分方程为
该方程的通解为
由边界条件
得稳定方程为
(a)
k=罕
FP
EIy
(b)
习题解11.7(4)图
I-2y亠很y=0,
=-FPy
.2FP
Ot=—
EI
^=ACOSX
x=l,y=':
■
(5)原结构可等效为习题解11.7度系数可由子结构ACD求出。
FP
Bsin:
X
XIyT
:
ltan^.l=4
(5)(a)图所示具有弹性支承的压杆,弹性支承的刚
I13EIk=于可
(a)
分析ACD,如习题解11.7(5)(b)
图所示。
在A点加单位力偶并作M图,图乘得柔
度系数为
则弹性支承的刚度系数为
该题的稳定方程为
3EI
13EIk=—=—
41
:
ltan_:
:
l
kl3
EI4
11.8图所示结构的临界荷载,已知弹簧刚度系数
习题11.8用能量法计算习题k莘,设失稳曲线为y-.(I
习题11.8图
【解】根据所假设的失稳曲线,
可求得应变能及荷载势能如下
πδ
y=—SiM
2l2l
l
11
UkEI(y)
0
2、.COS
4l
21
2
dx
3EI
3
2l
4
2二El2
A1
UP=-FPL=-
2
由d(UUPJ及―。
得
d、.
PCr
4.9EI
l2
习题
11.9求习题11.9图所示结构的临界荷载。
已知各杆长为l,El=常数。
【解】
(1)对称失稳
FP
习题11.9图
2
二EI
PC对*称
l2
(2)
反对称失稳
FP
El
El
(a)
Λ-,.-τ5>y.-
(C)M图
习题解11.9图
取半结构分析,如习题解11.9(a)图所示,可等效为习题解11.9(b)图进行分析。
其
中,弹性支承的刚度系数k,可先由习题解11.9(C)图所示弯矩图自乘求得柔度系数后,
取倒数而得,为
3
11222122I
IlII
El23EI23EI
1EI
kZ
I3
在习题解11.9(b)图中,由aMA=O得
(Fp-kIP=0
由此,反对称失稳时的临界荷载为
PCr反对称
=E
I2
经比较,原结构的临界荷载为
FPCr=FPCr反对称
EI
习题11.10试分别按对称失稳和反对称失稳求习题11.10图所示结构的稳定方程。
【解】
(1)对称失稳
习题解11.10图
对称失稳时,可取半结构如习题解11.10(a)图所示。
将其等效为习题解11.10(b)图
分析,求得稳定方程为
1■G'∣)
(2)反对称失稳
反对称失稳时,可取半结构如习题解11.10(C)图所示。
将其等效为习题解11.10(d)
图分析,求得稳定方程为
kl
:
■Itan:
■I=——=3
El
习题11.11试导出习题11.11图所示桥墩的稳定方程。
设失稳时基础绕D点转动,地
基的抗转刚度系数为k。
EI
习题11.11图
【解】计算简图如习题解11.11(a)图所示,失稳形式如习题解11.11(b)图所示。
FP
习题解11.11图
由aMD=O即
FPG■a^)
k
求得、;=(一-ap。
微分方程为
EIy=-M
y“•:
:
Vy=0,
一FPy
EI
代入边界条件:
求得稳定方程为
x=0,y=0;X=ly、;
2『tanala、i
kl
El
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