小学奥数解题方法.docx
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小学奥数解题方法.docx
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小学奥数解题方法
小学奥数解题方法1——分类
分类是一种很重要的数学思考方法,特别是在计数、数个数的问题中,分类的方法是很常用的。
可分为这样几类:
(1)以A为左端点的线段共4条,分别是:
AB,AC,AD,AE;
(2)以B为左端点的线段共3条,分别是:
BC,BD,BE;
(3)以C为左端点的线段共2条,分别是:
CD,CE;
(4)以D为左端点的线段有1条,即DE。
一共有线段4+3+2+1=10(条)。
还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。
(1)只含1条基本线段的,共4条:
AB,BC,CD,DE;
(2)含有2条基本线段的,共3条:
AC,BD,CE;
(3)含有3条基本线段的,共2条:
AD,BE;
(4)含有4条基本线段的,有1条,即AE。
有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(单位:
厘米)的木棒足够多,选其中三根作为三条边围成三角形。
如果所围成的三角形的一条边长为11厘米,那么,共可围成多少个不同的三角形?
提示:
要围成的三角形已经有一条边长度确定了,只需确定另外两条边的长度。
设这两条边长度分别为a,b,那么a,b的取值必须受到两条限制:
①a、b只能取1~11的自然数;
②三角形任意两边之和大于第三边。
1、11一种
2、112、10二种
3、113、103、9三种
4、114、104、94、8四种
5、115、105、95、85、7五种
6、116、106、96、86、76、6六种
7、117、107、97、87、7五种
8、118、108、98、8四种
9、119、109、9三种
10、1110、10二种
11、11一种
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种
小学奥数解题方法2——化大为小找规律
对于一些较复杂或数目较大的问题,如果一时感到无从下手,我们不妨把问题尽量简单化,在不改变问题性质的前提下,考虑问题最简单的情况(化大为小),从中分析探寻出问题的规律,以获得问题的答案。
这就是解数学题常用的一种方法,叫做归纳,我们也可以叫做“化大为小找规律”。
10条直线最多可把一个长方形分成多少块?
提示:
先不考虑10条直线,而是先看1条、2条、3条
直线能把一个长方形分成几块?
10条直线最多可把一个长方形分成多少块?
第一条直线:
分成2块
第二条直线:
分成2+2=4块
第三条直线:
分成2+2+3=7块
10条直线最多可把一个长方形分成多少块?
我们发现这样的规律:
=2+(2+3+4+5+6+7+8+9+10)
=2+54
=56(块)
这就是说,10条直线可把长方形分为56块。
小学奥数解题方法3——把未知量具体化
一般情况下,题目中的未知量不可以随便假设。
有时,问题中所求的未知量与其它相关的未知量具体是多少并没有关系。
在这种情况下,可以把这些没有关系的未知量设为具体数。
”
幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友,每个小朋友可分得6个。
如果全部分给大班小朋友,那么平均每人可分10个。
如果全部分给小班的小朋友,平均每人可分几个?
全部分给小班的小朋友,每人可分几个,与苹果的总个数有关系,而与人数(无论是两班人数,还是大班人数)都没有关系。
苹果总数=两班总人数×6
苹果总数=大班人数×10
所以,大班人数×10=两班总人数×6
设两班100人大班100×6÷10=60人
小班100-60=40人600÷40=15个
小学奥数解题方法4——试?
验
将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。
问剩余部分的管子最少是多少厘米?
提示:
从题目的问句看,应抓住“最少”二字来思考,先考虑没有剩余,再考虑剩余1厘米、2厘米……
(1)如果把这根长管截成若干根两种不同规格的短管后没有剩余,那么374应该是4的倍数,因为两种短管的长度36厘米、24厘米都是4的倍数,但374不能被4整除,所以没有剩余不可能。
(2)如果截成若干根两种不同规格的短管后只剩下1厘米,根据36、24都是偶数,“偶数的倍数是偶数”、“偶数与偶数的和是偶数”可推知,原来铝合金管长应为奇数,这与管长374(偶数)的条件矛盾,所以,剩1厘米也不可能。
(3)如果最后剩下2厘米。
这种情况有可能。
374÷(36+24)=6……14。
这说明两种都截6根余14厘米,这时需要调整:
少截一根24厘米长的,加上14,24+14=36+2,正好合一根36厘米长的,还剩2厘米。
小学奥数解题方法5——移多补少
在“平均”二字中,“平”就是“拉平”,也就是移多补少,“均”就是相等。
“平均”二字的意思,通俗地说,就是用“移多补少”的办法,使每份数量都相等。
因此,移多补少是我们解答求平均数应用题的重要思考方法。
新光机器厂装配拖拉机,第一天装配50台,第二天比第一天多装配5台,第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台,平均每天装配多少台?
用四天装配总台数除以4,综合算式为:
[50+(50+5)+(50×2+3)]÷4=52(台)
采用移多补少的方法,假设每天都装配50台,那么四天一共多装配5+3=8(台),把这8台平均分成四份,8÷4=2(台),
因此,平均每天装配50+2=52(台)
综合算式为:
50+(5+3)÷4=52(台)
甲、乙、丙三人一起买了8个面包,平均分着吃,甲拿出5个面包的钱,乙付了3个面包的钱,丙没带钱,等吃完后一算,丙应该拿出4角钱,问甲应收回多少钱?
(以分为单位)
4角=40分
40×3=120(分)
120÷8=15(分)
15×5-40=35(分)
小学奥数解题方法6——等量代换
“曹冲称象”是运用了“等量代换”的思考方法:
两个完全相等的量,可以互相代换。
解数学题,经常会用到这种思考方法。
百货商店运来300双球鞋,分别装在2个木箱、6个纸箱里。
如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多,每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?
提示:
我们根据“2个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多”,把木箱换成纸箱,也就是说,把300双球鞋全部用纸箱装,不用木箱装。
根据已知条件,2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱,再加上原来已装好的6个纸箱,一共是10个纸箱。
这样,题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里,平均每个纸箱装多少双球鞋?
”可以求出每个纸箱装多少双球鞋。
也就能求出一个木箱装多少双球鞋。
用两台水泵抽水,小水泵抽6小时,大水泵抽8小时,一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量,两种水泵每小时各抽水多少立方米?
5小=2大大换小:
8÷2×5=20(时)小:
312÷(20+6)=12(立方米)大:
12×5÷2=30(立方米)
小学奥数解题方法7——画图
在数学中,“数”与“形”就像一对形影不离的亲兄弟。
几乎所有的数量关系或数学规律都可以用生动形象的示意图来反映。
A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘。
到现在为止,A已经赛了4盘,B赛了3盘,C赛了2盘,D赛了1盘。
问小青已经赛了几盘?
两堆煤,第一堆16吨,第二堆10吨,5天内两堆煤烧掉同样多吨数,这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍。
问5天中两堆煤被烧掉了多少吨?
小学奥数解题方法8——反过来想
当你按习惯思路解决问题困难时,不妨也反过来想想。
反过来想,是我们解数学题的一种很好的方法。
用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军,问应进行多少场比赛?
淘汰199人需要比赛199场
1至100的自然数中,不能被9整除的自然数的和是多少?
从1至100的和中去掉9的倍数,就是不能被9整除的数的和了
1+2+3+。
。
。
+100=5050
9×(1+2+3+…+11)=594
5050-594=4456
小学奥数解题方法9——分析因果关系
分析,也就是抓住结果找原因。
我们解数学题,也应当学会这种顺藤摸瓜,分析因果关系的本领。
用一个杯子向一个空瓶里倒水。
如果倒进3杯水,连瓶共重440克。
如果倒进5杯水,连瓶共重600克。
一杯水和一个空瓶各重多少?
我们先把两次倒水的情况作一次比较。
从连瓶重量来看,第二次比第一次重了
“600-440=160(克)”,
怎么会多160克的呢?
因为第二次比第一次多倒了“5-3=2(杯)”水。
这样,我们就容易求出每杯水的重量为:
160÷2=80(克)。
空瓶重量600-80×5=200(克)
这类应用题的一般思路:
(1)先比较两种情形,从数量上看出差别;
(2)分析造成这种数量差别的原因;
(3)利用这种因果关系来沟通题目中已知量与未知量的关系,并求出正确答案。
兴旺养猪场,如果每间猪圈养猪8头,就还有4头猪没有猪圈养;如果每间猪圈养猪10头,将空出2间猪圈。
问这个养猪场有多少间猪圈?
共养了多少头猪?
(10×2+4)÷(10-8)=12(间)
8×12+4=100(头)
或10×12-10×2=100(头)
小学奥数解题方法10——假?
设
小华解答数学判断题,答对一题给4分,答错一题扣4分,她答了20道判断题,结果只得 56分。
小华答对了几题?
假设小华全部答对:
该得4×20=80(分),
现在实际只得了56分,相差80-56=24(分),
因为答对一题得4分,答错一题扣4分,这样,一对一错相比,一题就差8分(4+4=8),
根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数,就可以求出做错的题数:
24÷8=3(题),
一共做20题,答错3题,答对的应该是:
20-3=17(题)
4×17=68(分)(答对的应得分)
4×3=12(分)(答错的应扣分)
68-12=56(分)(实际得分)
某校有100名学生参加数学竞赛,平均得63分,其中男生平均得60分,女生平均得70分,那么,男生比女生多多少名?
假设100名同学都是男生,那么应得分
60×100=6000(分)
比实际少得
63×100-6000=300(分)
原因是男生平均分比女生少
70-60=10(分)
求出女生人数为
300÷10=30(名)
小学奥数解题方法11——转?
化
数学题常用的也是十分重要的一种方法——转化。
这种转化通常是指转化条件或问题,特别是转化题中的数量关系。
一个两位小数,去掉小数点后比原来的数大53.46。
这个两位小数是多少?
一个数的99倍是53.46,求这个数。
两个数相除的商是21,余数是3。
如果把被除数、除数、商和余数相加,它们的和是225。
被除数、除数各是多少?
题目中前一句话换个说法就是:
被除数比除数的21倍还多3。
再换个说法就是:
被除数与除数的和比除数的“21+1”倍还多3。
题目中第二句话换个说法是:
被除数与除数的和是225-(21+3)=201。
整个题目的意思换个说法就是:
201比除数的22倍多3。
从而可以先求出除数是:
(201-3)÷22=9
可求出被除数是:
21×9+3=192
小学奥数解题方法12——抓不变量
数学题中,常常会出现数量的增减变化,但这些量变化时,与它们相关的另外一些量却没有改变。
这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。
例一今年小明8岁,小强14岁。
几年后小明和小强岁数的和是40岁?
从年龄上不变来找解题的“突破口”
小明和小强的年龄差是:
14-8=6(岁)
小明那一年是:
(40-6)÷2=17(岁)
是在几年之后呢?
17-8=9(年)
例二王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。
王进把甲数的个位数字看错了,计算结果为91,张明却把甲数的十位数字看错了,计算的结果为175。
两个数的积究竟是多少?
91=7×13=1×91,所以175和91的公约数是1或7,因为乙数比1大,所以乙数一定是7。
抓住:
一个因数(乙数)没有变,乙是91和175的公约数
91÷7=13……王进看错了的甲数
175÷7=25……张明看错了的甲数。
15×7=105
小学奥数解题方法13——找隐蔽条件
应用题中的隐蔽条件,往往是分析问题的突破口或者是最关键的一步。
所以,审题时如果感到缺少条件,你不妨提醒自己:
有没有什么隐蔽条件?
一个家庭由丈夫、妻子、女儿和儿子组成,他们的年龄和是73岁。
丈夫比妻子大3岁,女儿比儿子大2岁。
4年前这个家庭成员的年龄和是58岁。
请问:
这个家庭成员现在的年龄各是多少岁?
隐蔽条件,可以推知:
儿子今年才3岁。
由“女儿比儿子大2岁”可以算出女儿今年是:
3+2=5(岁)
从而可知,丈夫与妻子现在的年龄和是:
73-(5+3)=65(岁)
由他们的年龄差是3岁,容易算出丈夫今年是:
(65+3)÷2=34(岁)
妻子今年是:
65-34=31(岁)
一个等腰三角形的周长是24厘米,其中有一条边长是6厘米,求另外两条边的长。
等腰三角形的腰不能是6厘米,所以只能底是6厘米另两条边:
(24-6)÷2=9(厘米)
小学奥数解题方法14——整体看问题
从整体上观察思考,全面地审题。
例一有甲、乙、丙三种货物。
如果买甲3件,乙7件,丙1件,共花去3.15元;如果买甲4件,乙10件,丙1件,共花去4.20元。
现在买甲、乙、丙各1件,需要花多少钱?
买甲3件,乙7件,丙1件,花3.15元①
买甲4件,乙10件,丙1件,花4.20元②
要想求出买甲1件,乙1件,丙1件,共需花多少钱,必须使上述①与②中对应的“件数”相差1。
为此,可转化已知条件:
将条件①中的每个量都扩大3倍,得:
买甲9件,乙21件,丙3件,花9.45元③
将条件②中的每个量都扩大2倍,得:
买甲8件,乙20件,丙2件,花8.40元④
所以,买甲、乙、丙各一件,共需要花的钱数为
9.45-8.40=1.05(元)
例二一条马路长2000米,老张在马路的一端,老李在马路的另一端。
他们分别从这条马路的两端同时出发,相对而行。
老张每分钟走60米,老李每分钟走40米。
老张带着一条狗,狗每分钟跑120米。
这条狗与老张一同出发,碰到老李时就向老张跑,碰到老张又向老李跑,……直到老张与老李相遇。
问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米?
提示:
不需要把狗每趟所跑的路分别算出来,只要用它的速度乘一共所跑的时间就可以了。
小学奥数解题方法15——分情况讨论
对于那些缺少条件,看上去无法回答的问题,经过全面深入的思考,分几种情况来讨论,是可以
找到问题的完整(全部)答案的。
例一甲地到乙地的公路长400千米,两辆汽车从两地同时出发对开,甲车每小时行38千米,乙车每小时行42千米。
出发几小时后两车相距80千米?
例二在连续的49年中,最多可以有多少个闰年?
最少应该有多少个闰年?
49年中有几个4年,一般就有几个闰年
在通常情况下,连续49年中有12个闰年。
49年必须是连续的。
但它没有规定这49年的起止时间。
但,当第一年是闰年时,最后一年也正好是闰年
例三把一根竹竿垂直插入水中,在竹竿上刻上一个记号表示水深;再把这根竹竿掉过头来插入水中,也刻上一个记号表示水深。
已知两个记号相距10厘米,是水深的十分之一。
求竹竿的长。
一种:
水深:
10×10=100(厘米)
竿长:
100+100+10=210(厘米)
另一种:
水深:
10×10=100(厘米)
竿长:
100+100-10=190(厘米)
例四一根铁丝可以弯成长、宽分别是4厘米、3厘米的长方形。
如果用这根铁丝弯成两个相同的正方形,每个正方形面积是多少?
(4+3)×2=14(厘米)
14÷8=1.75(厘米)1.75×1.75=3.0625(平方厘米)
(4+3)×2=14(厘米)
14÷7=2(厘米)2×2=4(平方厘米)
小学奥数解题方法16——逐步调整
你可以根据题中的部分条件,找到一个与正确答案比较接近的“准答案”,然后再对它进行修改或调整。
这样一步一步地逼近,最后一定会得到符合题中所有条件的正确答案的。
小学奥数解题方法17——合理变形
把算式合理变形,是我们进行简便计算最常用的方法。
99×99+199
=(100-1)x(100-1)+200-1=100x100-100-100+1+200-1=10000
合理的变形可以使解题过程变得简捷而灵活。
怎样的变形才是“合理”的呢?
(1)题目变形之后,要使隐蔽的简算特点暴露出来;
(2)只能变“形”,而不能改变数的大小。
小学奥数解题方法18——用字母表示数
方方、圆圆、丁丁、宁宁四个小朋友共有45本书,但是不知道每人各有几本书。
如果变动一下:
方方的减少2本,圆圆的增加2本,丁丁的增加一倍,宁宁的减少一半,那么四个小朋友的书就一样多。
问:
每个小朋友原来各有几本书?
解:
设一样多是x本。
X+2+X-2+X÷2+2X=45
X=10
小学奥数解题方法19——借来还去
我国民间流传着这样一个故事,一位老人临终时决定把家里的17头牛全部分给三个儿子。
其中大儿子分得二分之一,二儿子分得三分之一,小儿子分得九分之一,但不能把牛杀掉或卖掉。
三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。
后来一位邻居用“借来还去”法顺利地把17头牛分完了。
某汽水厂规定:
用3个空汽水瓶可换一瓶汽水,某人买了10瓶汽水,问他总共可喝到几瓶汽水?
如果3个空瓶可换1瓶汽水,那么有2个空瓶就可喝到1瓶汽水。
这是因为:
有了2个空瓶,再到别人那里“借来”1个空瓶,就可换来1瓶汽水,喝完把空瓶给别人“还去”,这时不欠不余。
10瓶汽水喝完后得10个空瓶,10个空瓶又可换来5瓶汽水,总共可喝到“10+5=15”瓶汽水。
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