1718版 第1章 第1课 集合的概念与运算.docx
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1718版第1章第1课集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
第1课集合的概念与运算
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
集合及其表示
√
子集
√
交集、并集、补集
√
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、Venn图法.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
若对∀x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:
若A⊆B,但∃x∈B,且x∉A,则AB或BA.
(3)相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:
∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何集合都有两个子集.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
[解析]
(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
(3)错误.当x=1时,不满足互异性.
(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
[答案]
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2 {x|x≤2,或x≥10} [∵A∪B={x|2 ∴∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.] 3.(2016·江苏高考)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2 {-1,2} [在集合A中满足集合B中条件的元素有-1,2两个,故A∩B={-1,2}.] 4.集合{-1,0,1}共有________个子集. 8 [由于集合中有3个元素,故该集合有23=8(个)子集.] 5.(2017·盐城期中模拟)若集合A={x|x≤m},B={x|-2 [2,+∞) [∵A={x|x≤m},B={x|-2 ∴2≤m,即实数m的取值范围是[2,+∞).] 集合的基本概念 (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素有________个. (2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________. 【导学号: 62172000】 (1)5 (2)0或 [ (1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2; 当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1; 当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个. (2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根. 当a=0时,x= ,符合题意; 当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a= , 所以a的取值为0或 .] [规律方法] 1.研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性;特别地,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性,如题 (1). 2.由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想,如题 (2). [变式训练1] (1)(2017·启东中学高三第一次月考)已知x2∈{0,1,x},则实数x的值是________. (2)已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________. (1)-1 (2) [ (1)由集合中元素的互异性可知x≠0且x≠1. 又x2∈{0,1,x},所以只能x2=1,解得x=-1或x=1(舍去). (2)∵A=∅,∴方程ax2+3x-2=0无实根, 当a=0时,x= 不合题意; 当a≠0时,Δ=9+8a<0,∴a<- .] 集合间的基本关系 (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________. (1)4 (2)(-∞,4] [ (1)∵A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2}, B={x|0 ∴由A⊆C⊆B可知C中至少含有1,2两个元素, 故满足条件的集合C有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. (2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则 解得2<m≤4. 综上,m的取值范围为m≤4.] [规律方法] 1.空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解,如题 (2). 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解. [变式训练2] (1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=________. (2)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是________. (1)2 (2)(-∞,-1]∪{1} [ (1)由题意可知a,b≠0,由集合相等的定义可知,a+b=0,∴a=-b,即 =-1, ∴b=1,故b-a=2b=2. (2)因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1.] 集合的基本运算 角度1 求集合的交集或并集 (1)(2017·南京二模)设集合A={x|-2 (2)(2017·如皋市高三调研一)设集合P={1,2,3,4},Q={x|-2≤x≤2,x∈R},则P∩Q=________. (1){x|-2 (2){1,2} [ (1)∵A={x|-2 (2)∵P={1,2,3,4},Q={x|-2≤x≤2,x∈R}, ∴P∩Q={1,2}.] 角度2 交、并、补的混合运算 (1)(2017·苏锡常镇二调)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则A∪(∁UB)=________. (2)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则阴影部分表示的集合是________. 图11 (1){1,2,5} (2)(-3,-1) [ (1)由题意可知∁UB={1,5},又A={1,2},∴A∪(∁UB)={1,2,5}. (2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)=(-3,-1).] 角度3 利用集合的运算求参数 (1)(2017·南通二调)设集合A={-1,0,1},B= ,A∩B={0},则实数a的值为________.【导学号: 62172001】 (2)已知集合A={1,3, },B={1,m},A∪B=A,则m=________. (3)设集合A={0,1},集合B={x|x>a},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是________. (1)1 (2)0或3 (3)[1,+∞) [ (1)∵A={-1,0,1},B= ,A∩B={0}, ∴a-1=0或a+ =0(舍去), ∴a=1. (2)由A∪B=A可知B⊆A, 又A={1,3, },B={1,m}, 所以m=3或m= ,解得m=0或m=3或m=1(舍去). (3)由A∩B=∅可知,a≥1.] [规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性,然后利用交集和并集的定义求解. 2.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 易错警示: 在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽视空集的情况,一定要先考虑∅是否成立,以防漏解. [思想与方法] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,对求出的字母的值,应检验是否满足集合元素的互异性,以确保答案正确. 2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是: 首先,过好转化关,即把图形语言转化为符号语言;其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决. 3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解. (1)对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围,关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系. (2)对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图,这是数形结合思想的又一体现. [易错与防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,以防漏解. 3.解题时注意区分两大关系: 一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心. 课时分层训练 (一) A组 基础达标 (建议用时: 30分钟) 一、填空题 1.(2017·苏州期中)已知集合A={0,1},B={-1,0},则A∪B=________. {-1,0,1} [A∪B={0,1}∪{-1,0}={-1,0,1}.] 2.(2017·南京模拟)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=________.【导学号: 62172002】 {x|0≤x≤2} [A∩B={x|-1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4} ={x|0≤x≤2}.] 3.(2017·南通第一次学情检测)已知集合A={x|0 {x|-1≤x≤3,x∈R} [∵A={x|0 ∴A∪B={x|-1≤x≤3,x∈R}.] 4.(2017·如皋中学高三第一次月考)已知集合A={1,cosθ},B= ,若A=B,则锐角θ=________. [由A=B可知cosθ= ,又θ为锐角,∴θ= .] 5.(2017·盐城三模)已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9},C=A∩B,则集合C的子集的个数为________. 8 [由题意可知A∩B={1,3,5}, ∴C={1,3,5}, ∴集合C的子集共有23=8个.] 6.(2017·南京三模)已知全集U={-1,2,3,a},集合M={-1,3}.若∁UM={2,5},则实数a的值为________. 5 [∵M∪∁UM=U,∴U={-1,2,3,5},∴a=5.] 7.(2017·泰州中学高三摸底考试)已知集合A={x|x>0},B={-1,0,1,2},则A∩B=________. {1,2} [A∩B={x|x>0}∩{-1,0,1,2}={1,2}.] 8.设全集U={1,2,3,4},集合A={1,3},B={2,3},则B∩(∁UA)=________. 【导学号: 62172003】 {2} [∵A={1,3},∴∁UA={2,4},∴B∩(∁UA)={2,3}∩{2,4}={2}.] 9.设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为________. 6 [∵A={1,2,4},B={2,3,4,5,6,8}, ∴集合B中共有6个元素.] 10.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为________. 2 [集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.] 11.(2017·无锡模拟)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则实数a=________.【导学号: 62172004】 0 [∵1∈{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}, ∴1=a+2,或(a+1)2=1,或a2+3a+3=1. ①当a+2=1,即a=-1时,此时a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性; ②当(a+1)2=1时,a=0或a=-2,又当a=-2时,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性; ③当a2+3a+3=1时,a=-1或-2,由①②可知,均不满足题意. 综上可知,a=0.] 12.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)=________. {3} [∵U={1,2,3,4},∁U(A∪B)={4}, ∴A∪B={1,2,3}. 又∵B={1,2},∴{3}⊆A⊆{1,2,3}, 又∁UB={3,4},∴A∩(∁UB)={3}.] B组 能力提升 (建议用时: 15分钟) 1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=________. {0,1,2,3} [B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1}.又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.] 2.(2016·天津高考改编)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=________. {1,4} [因为集合B中,x∈A,所以当x=1时,y=3-2=1; 当x=2时,y=3×2-2=4; 当x=3时,y=3×3-2=7; 当x=4时,y=3×4-2=10. 即B={1,4,7,10}. 又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}.] 3.(2017·盐城模拟)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(x-1)},集合B={y|y= },则A∩B=________. [2,+∞) [∵A={x|y=lg(x-1)}={x|x-1>0}={x|x>1}, B={y|y= }={y|y≥2}, ∴A∩B={x|x≥2}.] 4.(2017·南通中学月考)已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x∉M}的子集的个数为________. 4 [由题意可知P={3,4},故集合P的子集共有22=4个.] 5.已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∩B=B,则实数a的值为________.【导学号: 62172005】 0,1,2 [∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2}. 由A∩B=B可知B⊆A. ①当a=0时,B=∅,满足A∩B=B; ②当a≠0时,B= , 由B⊆A可知, =1或 =2,即a=1或a=2. 综上可知a的值为0,1,2.] 6.若x∈A,且 ∈A,就称A是伙伴关系集合,则集合M= 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为________. 3 [具有伙伴关系的元素组是-1, ,2,所以具有伙伴关系的集合有3个: {-1}, , .]
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