一元二次方程全章教学设计.docx
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一元二次方程全章教学设计
一元二次方程全章教学设计
第1教时
教学内容:
用公式解一元二次方程教学目标:
知识与技能目标:
1.使学生了解一元二次方程及整式方程的意义;2.掌握一元二次方程的一般形式,正确识别二次项
系数、一次项系数及常数项.
过程与方法目标:
1.通过一元二次方程的引入,培养学生分析问题和解决问题的能力;2.通过一元二次方程概念的
学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
情感与态度目标:
知识实际,树立转化的思想,设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法,此培养学生
用数学的意识.。
教学重、难点与关键:
重点:
一元二次方程的意义及一般形式.难点:
正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教辅工具:
教学程序设计:
程序教师活动1.用电脑演示下面的操作:
一块长方形的薄钢片,在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形,然后把四边折起来,就成为一个无盖的长方体盒子,演示完毕,让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀,实际操作一下刚才演示的过程.学生的实际操作,为解决下面的问题奠定基础,同时培养学生手、脑、眼并用的能力.2.现有一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在每个角学生活动学生看投影并思考问题备注通过章前引例和节前引例,使学生真正认识到知识实际,并且又为实际服务,学习了一元二次方程的知识,可以解决许多实际问题,真正体会学习数学的意义;产生用数学的意识,调动学生积极主动参与数学活动中.同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位.创设问题情景上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子,那么应该怎样求出截去的小正方形的边长?
教师启发学生设未知数、列方程,经整理得到方程x2-70x+825=0,此方程不会解,说明所学知识不够用,需要学习新的知识,学了本章的知识,就可以解这个方程,从而解决上述问题.板书:
“第十二章一元二次方程”.教师恰当的语言,激发学生的求知欲和学习兴趣.
1.复习提问什么叫做方程?
曾学过哪些方程?
什么叫做一元一次方程?
“元”和“次”的含义?
什么叫做分式方程?
2.引例:
剪一块面积为150cm的长方形铁片使它的长比宽多5cm,这块铁片应怎样剪?
引导,启发学生设未知数列方程,并整理得方程x2+5x-150=0,此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以观察、比较,得到整式方程和一元二次方程的概念.整式方程:
方程的两边都是关于未知数的整式,这样的方程称为整式方程.2讨论后回答 学生设未知数列方程,并整理得方程x2+5x-150=0,此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以观察、比较, 独立完成 加深理解学生试解问题的提出及解决,为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫探究新知1一元二次方程:
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程.3.练习:
指出下列方程,哪些是一元二次方程?
x=x+4x2;7x2+6=2x;12x222?
76x=x;2x=5y;-x2=04.任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式,这个形式就是一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0.ax2称二次项,bx称一次项,c称常数项,a称二次项系数,b称一次项系数.一般式中的“a≠0”为什么?
如果a=0,则ax2+bx+c=0就不是一元二次方程,此加深对一元二次方程的概念的理解.5.例1把方程3x=2+8化成一般形式,并写出二次项系数,一次项系数及常数项?
教师边提问边引导,板书并规范步骤,深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.练习1:
教材P.5中1,2.练习2:
下列关于x的方程是否是一元二次方程?
为什么?
若是一元二次方程,请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项:
.
(1)ax2要求多数学生在练习本上笔答,部分学生板书,师生评价.题目答案不唯一,最好二次项系数化为正数.反馈训练应用提高?
2x?
23?
0
(2)3x?
2mx?
02(3)(m?
1)x?
8mx?
2m?
1?
0x2-bx+b=2;2tx=7-4tx.教师提问及恰当的引导,对学生回答给出评价,通过此组练习,加强对概念的理解和深化.1
总结、扩展引导学生从下面三方面进行小结.从方法上学到了什么方法?
从知识内容上学到了什么内容?
分清楚概念的区别和联系?
1.将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题,学生讨论回答小结提高体会知识实际以及转化为方程的思想方法.2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式,二次项系数、一次项系数及常数项.归纳所学过的整式方程.3.一元二次方程的意义与一般形式ax2+bx+c=0的区别和联系.强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义.1.教材P.6练习2.布置作业2.思考题:
1)能不能说“关于x的整式方程中,含有x2项的方程叫做一元二次方程?
”2)试说出一元三次方程,一元四次方程的定义及一般形式.反思
第2教时
教学内容:
用公式解一元二次方程教学目标:
知识与技能目标:
认识形如x2=a或2=c类型的方程,并会用直接开
平方法解.
过程与方法目标:
培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.
情感与态度目标:
通过两边同时开平方,将2次方程转化为一次方程,向学生渗透数学新知识的学习往往未知向已知转化,这是研究数学问题常用的方法,化未知为已知.
教学重、难点与关键:
重点:
用直接开平方法解一元二次方程..
难点:
认清具有2=c这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法.
一元二次方程可能有两个不相等的实数解,也可能有两个相等的实数解,也可能无实数解.如:
2=c,当c>0时,有两个不等的实数解,c=0时,有两个相等的实数解,c<0时无实数解.
教辅工具:
教学程序设计:
程序教师活动在初二代数“数的开方”这一章中,学习了平方根和开平方运算.“如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.”学生活动举一些生活中平移的实例。
备注创设问题情景“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”.正确理解这个概念,在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2=a的解法,在此基础上,就可以解符合形如2=c结构特点的一元二次方程,从而达到本节课的目的.1.复习提问什么叫整式方程?
举两例,一元一次方程及一元二次方程的异同?
平方根的概念及开平方运算?
2.引例:
解方程x2-4=0.解:
移项,得x2=4.两边开平方,得x=±2.∴x1=2,x2=-2. 练习:
教材P.7中1.举例 按照要求完成后,相互检查讨论完成。
学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念.例1解方程9x2-16=0. 探究新知1反馈训练应用提高探究新知2反馈训练应用提高探究新知2反馈训练应用
练习:
解下列方程:
2-18=0;2=4;例2解方程2=2.例3解方程2-81=0.解法解法练习:
教材P.7中2.此题解法教师板书,学生回答,再次强化解题按照要求完成后,相互检查讨论完成。
学生试解按照要求完成后,相互检查讨论完成。
3
提高1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,另一边是一个非负常数,便可用直接开平方法来解.如2=c.2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础,学生讨论回答体会小结提高同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用.两边开平方实际上是实现方程2次转化为一次,实现了未知向已知的转化.高次向低次的转化,是高次方程解法的一种根本途径.3.一元二次方程可能有两个不同的实数解,也可能有两个相同的实数解,也可能无实数解.布置作业反思教材P.15中A1、2、 P.16中B1、. 第3教时
教学内容:
用公式解一元二次方程教学目标:
知识与技能目标:
1.正确理解并会运用配方法将形如x2+px+q=0方程变形为2=n类型.2.会用
配方法解形如ax2+bx+c=0中的数字系数的一元二次方程.3.了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用.
过程与方法目标:
培养学生准确、快速的计算能力,严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问题的能力.情感与态度目标:
通过本节课,继续体会未知向已知转化的思想方法,渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要
的方法
教学重、难点:
重点:
用配方法解一元二次方程.
难点:
正确理解把x2+ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2+ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式.教辅工具:
教学程序设计:
4
知识与技能目标:
31.正确理解因式分解法的实质.2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程.
过程与方法目标:
通过新方法的学习,培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神..情感与态度目标:
通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想.教学重、难点:
重点:
用因式分解法解一元二次方程.难点:
正确理解AB?
0?
A?
0或B?
0教辅工具:
教学程序设计:
程序创设问题情景1、类比:
AB?
0?
A?
0或B?
0 =0,2、例1解方程x2+2x=0.解:
原方程可变形x=0?
?
第一步讨论这个方程该怎么解?
教师提问、板书,学生回答.体会这种思想方法。
学生试解讨论总结因式分解的步骤:
练习:
P.22中1、2.体会步骤及每一步的依据.练习P.22中3.2=42.学生练习、板演、评价教师活动解方程:
=0,你有其它的解法没有?
独立作。
观察、讨论学生活动备注探究新知1∴x=0或x+2=0?
?
第二步∴x1=0,x2=-2.注意:
“转化”,达到了“降次”的目的,解高次方程常用转化的思想方法例2、因式分解法解方程x2+2x-15=0.教师板演。
总结因式分解的步骤:
方程化为一般形式;方程左边因式分解;至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程;两个一元一次方程的解就是原方程的解.例3、方程3-x=0.教师引导,强化.此方程不需去括号将方程变成一般形式.对于总结的步骤要具体情况具体分析.10
练习:
1。
解下列关于x的方程学生练习、板演.教师强化,引导,训练其运算的速度.反馈训练巩固提高6.2=x.练习P.22中4.1.谈谈你对这种解法的体会讨论、体会。
小结提高布置作业反思
2.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
3.因式分解的方法,突出了转化的思想方法,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.教材P.21中A1、2.教材P.23中B1、2.第7教时
教学内容:
12.2用因式分解法解一元二次方程教学目标:
知识与技能目标:
3能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二
次方程的结构特点,灵活择其简单的方法.
过程与方法目标:
通过比较、分析、综合,培养学生分析问题解决问题的能力.
情感与态度目标:
通过知识之间的相互联系,培养学生用联系和发展的眼光分析问题,解决问题,树立转化的思
想方法.
教学重、难点:
重点:
熟练掌握用公式法解一元二次方程.难点:
用配方法解一元二次方程.
关键:
对“选择恰当的方法解一元二次方程”中“恰当”二字的理解.
11
教辅工具:
教学程序设计:
程序创设问题情景回顾:
将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数,一次项系数及常数项.3x2=x+4;=2+2;=-6;2-2=6x-5.解一元二次方程都学过哪些方法?
说明这几种方法的联系及其特点.教师活动学生活动备注此组练习尽量让学生眼看、心算、口答,使学生练习眼、心、口的配合. 回顾四种方法,小组议论与交流。
巩固训练练习1.用直接开平方法解方程.2=36;2=2;此组练习,学生板演、笔答、评价. 此2题学生板演、练习、评价,教师引导,渗透.练习2.用配方法解方程.x2-10x-11=0;ax2+bx+c=0练习3.用公式法解一元二次方程x2?
4x?
3?
0(x?
3)2?
43x此2题学生板演、练习、评价,此2题学生板演、练习、评价, 自主选择方法。
学生笔答、板演、老师渗透,点拨.讨论、体会。
练习4.用因式分解法解一元二次方程
(1)x2-3x+2=0;3x+2x=2;练习5.x取什么数时,3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等.练习6.选择恰当的方法解下列方程
(1)25(x?
7)2?
16(x?
4)
(2)x?
2212x?
712?
0小结提高在一元二次方程的解法中,公式法是最主要的,最通用的方法.因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法.在解一元二次方程时,应据方程的结构特点,选择恰当的方法去解.直接开平方法与因式分解法中都蕴含着二次方程向一次方程转化的思想方法.高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法.布置作业1.教材P.21中B1、2.2.解关于x的方程.x2-2ax+a2-b2=0,12
x2+2x-4pq=0.3.解方程①=3;24.方程x+x+7=0,m为何值时①是一元二次方程;②是一元一次方程.22反思
第8教时
教学内容:
一元二次方程的根的判别式教学目标:
知识与技能目标:
1.了解根的判别式的概念.2.能用判别式判别根的情况.过程与方法目标:
1.培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力.
2.进一步考察学生思维的全面性.
情感与态度目标:
1.通过了解知识之间的内在联系,培养学生的探索精神.
2.进一步渗透转化和分类的思想方法.
教学重、难点与关键:
重点:
会用判别式判定根的情况。
难点:
正确理解“当b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0无实数根.”。
关键:
如何理解一元二次方程ax2+bx+c=0在实数范围内,当b2-4ac<0时,无解.在高中讲复数时,会学习当b2-4ac
<0时,实系数的一元二次方程有两个虚数根.
教辅工具:
教学程序设计:
13
程序教师活动1、在前一节的“公式法”部分已经涉及到了,当b2-4ac≥0时,可以求出两个实数根.那么b2-4ac<0时,方程根的情况怎样呢?
.2.复习提问平方根的性质是什么?
解下列方程:
①x2-3x+2=0;②x2-2x+1=0;③x2+3=0.问题为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用.问题通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用.任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0用配方法将其变形为:
(x?
思考回答 动笔解答学生活动备注创设问题情景b2a)?
2b?
4ac4a22学生讨论可能出现的情况。
讨论归纳。
答:
b2-4ac 理解,记忆探究新知1∵a?
0,?
4a2?
0所以当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.当b2-4ac<0时,方程没有实数根.教师通过引导之后,提问:
究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
定义:
把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用符号“△”表示.一元二次方程ax2+bx+c=0.当△>0时,有两个不相等的实数根;当△=0时,有两个相等的实数根;当△<0时,没有实数根.反之亦然.例1不解方程,判别下列方程的根的情况:
2x2+3x-4=0;16y2+9=24y;5-7x=0.学生口答,教师板书,引导学生总结步骤,化方程为一般形式,确定a、b、c的值;计算b2-4ac的值;判别根的情况.试解.探究新知2强调两点:
只要能判别△值的符号就行,具体数值不必计算出.判别根的情况,不必求出方程的根.例2、不解方程,判别下列方程的根的情况:
x?
22kx?
k22?
0教师板书,引导学生回答.此题是含有字母系数的一元二次方程.注意字母的取值范围,从而确定b2-4ac的取值.14
1.教材中B1.2.布置作业反思
2.把下列各式分解因式:
x-x+m;2-3x-4.222第14教时
教学内容:
一元二次方程的应用教学目标:
知识与技能目标:
使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题.过程与方法目标:
通过列方程解应用问题,进一步提高分析问题、解决问题的能力.
情感与态度目标:
通过列方程解应用问题,进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性.教学重、难点:
重点:
会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题.
难点:
根据数与数字关系找等量关系.
教辅工具:
教学程序设计:
程序创设问题情景探究新知1教师活动列方程解应用问题的步骤?
①审题,②设未知数,③列方程,④解方程,⑤答.两个连续奇数的表示方法是,2n+1,2n-1;2n-1,2n-3;?
?
.例1两个连续奇数的积是323,求这两个数.引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题:
1.三种不同的设元,列出三种不同的方程,得出不同的x值,影响最后的结果吗?
2.解题中的x出现了负值,为什么不舍去?
3.选出三种方法中最简单的一种.学生活动教师引导、板书,学生回答备注在教师的引导下分析,学生回答,有三种设法,就有三种列法,找三位学生使用三种方法,然后进行比较、鉴别,选出最简单解法.25
反馈训练应用提高探究新知2练习1.两个连续整数的积是210,求这两个数.2.三个连续奇数的和是321,求这三个数.3.已知两个数的和是12,积为23,求这两个数.例2有一个两位数等于其数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这两位数.学生板书,练习,回答,评价,深刻体会方程的思想方法.分析,解答,教师引导,板书,学生回答,体会,评价.注意:
在求得解之后,要进行实际题意的检验.练习教师引导,启发,学生笔答,板书,评价,体会.反馈训练应用提高1有一个两位数,它们的十位数字与个位数字之和为8,如果把十位数字与个位数字调换后,所得的两位数乘以原来的两位数就得1855,求原来的两位数.2.一个两位数,其两位数字的差为5,把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976,求这个两位数.1、列一元二次方程解应用题,步骤讨论、体会。
. 小结提高2、数与数字的关系、奇偶数的表示方法3.通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合,进一步提高分析问题、解决问题的能力,深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.布置作业反思
教材中A1、2、15教时
教学内容:
12.6一元二次方程的应用教学目标:
知识与技能目标:
使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题.
过程与方法目标:
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力,培养用数学的意识.情感与态度目标:
进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思想.教学重、难点:
1.教学重点:
会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题.
2.教学难点:
找等量关系.列一元二次方程解应用题时,应注意是方程的解,但不一定符合题意,因此求解后一定要
26
检验,以确定适合题意的解.例如线段的长度不为负值,人的个数不能为分数等.
教辅工具:
教学程序设计:
程序创设问题情景例1现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无教师活动列方程解应用题的步骤?
学生活动教师引导、学生回答备注教师启发、引导、学生回答,应明确:
使学生深因为要做成底面积为77cm2的无盖的长方体形的盒子,如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示,这样依据长×宽=长方形面积,便可以找准等量关系,列出方程,这是解决本题的关键.刻体会数学知识应用的价值,此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识.探究新知1盖长方体型的纸盒?
求出的两个根一定要进行实际题意的检验,反馈训练应用提高探究新知2练习1.章节前引例.练习2.教材中4.学生板书,练习,回答,评价,深刻体会方程的思想方法.注意:
全面积=各部分面积之和.剩余面积=原面积-截取面积.例2要做一个容积为750cm3,高是6cm,底面的长比宽多5cm的长方形匣子,底面的长及宽应该各是多少?
分析,解答,教师引导,板书,学生回答,体会,评价.注意:
在求得解之后,要进行实际题意的检验.1.有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析,便于理解题意,搞清已知量与未知量的相互关系.讨论、体会。
. 小结提高2.要深刻理解题意中的已知条件,正确决定一元二次方程的取舍问题,例如线段的长不能为负.3.进一步体会数字在实践中的应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.布置作业反思
教材中A3、6、7.教材中3.427
第16教时
教学内容:
12.6一元二次方程的应用教学目标:
知识与技能目标:
使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题.
过程与方法目标:
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力,培养学生用数学的
意识.
情感与态度目标:
进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法.教学重、难点:
1.教学重点:
学会用列方程的方法解决有关增长率问题.
2.教学难点:
有关增长率之间的数量关系.下列词语的异同;增长,增长了,增长到;扩大,扩大到,扩大了
教辅工具:
教学程序设计:
程序创设问题情景教师活动原产量+增产量=实际产量.单位时间增产量=原产量×增长率.实际产量=原产量×.例1、某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月学生活动教师引导、板书,学生回答备注教师引导,点拨、板书,学生回答.理解:
为计算简便、直接求得,可以直接设增长的百分率为x.认真审题,弄清基数,增长了,增长到等词语的关系.用直接开平方法做简单,不要将括号打开.探究新知1份上升到7xx年平均增长的百分数为x,分别列出下面几个问题的方程.某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍,求每年平均增长的百分率.=b某工厂用两年时间把总产值a万元增加到b万元,求每年平均增长的百分数.2=b)某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍,求每年增长的百分数.2学生分析题意,板书,笔答,评价.教师点拨.引导学生总结下面的规律:
设某产量原来的产值是a,平均每次增长的百分率为x,则增长一次后的产值为,增长两次后的产值为2反馈训练应用提高,增长n次后的产值为S=an.28
2=b+1把原来的总产值看作是1.)探究新知2例2某产品原来每件600元,于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几?
教师引导学生分析完毕,学生板书,笔答,评价,对比,总结.引导学生对比“增长”、“下降”的区别.如果设平均每次增长或下降为x,则产值a经过两次增长或下降到b,可列式为a2=b2=b).1.善于将实际问题转化为数学问题,严格审题,弄清各数据相互关系,正确布列方程.培养学生用数学的意识以及渗透转
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