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数学解题技巧.docx
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数学解题技巧
数学解题技巧
中考数学:
提高2009年中考数学解题的10种技
2009-01-21 来源:
新浪教育 作者:
匿名
1、配方法:
所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中,用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法:
因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法:
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0)根的判别式△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。
5、待定系数法:
在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法:
在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。
运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。
7、反证法:
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:
(1)反设;
(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:
是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型:
与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、等(面或体)积法:
平面(立体)几何中讲的面积(体积)公式以及由面积(体积)公式推出的与面积(体积)计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积(体积),而且用它来证明(计算)几何题有时会收到事半功倍的效果。
运用面积(体积)关系来证明或计算几何题的方法,称为等(面或体)积法,它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明几何题,其困难在添置辅助线。
等(面或体)积法的特点是把已知和未知各量用面积(体积)公式联系起来,通过运算达到求证的结果。
所以用等(面或体)积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
9、几何变换法:
在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。
所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。
中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。
有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。
另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。
将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。
几何变换包括:
(1)平移;
(2)旋转;(3)对称。
10.客观性题的解题方法:
选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。
选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。
下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法:
直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。
(2)验证法:
由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。
当遇到定量命题时,常用此法。
(3)特殊元素法:
用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。
这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法:
对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法:
借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。
图解法是解选择题常用方法之一。
(6)分析法:
直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,称为分析法。
好初中数学:
初中数学学习中常见问题与解答
2009-01-18 来源:
网络 作者:
匿名
很多初中学生在学习数学的时候会碰到这样一种状况:
明明自己已经很用功了,可是成绩无法提高。
这个时候,我们需要考虑一个问题:
我用功的方式是不是正确?
第一个问题是很多同学都不愿意多打草稿多画图。
举个例子,每位同学在解题的时候,都会先读一遍题目,然后根据题目的要求来解题。
但是,不少同学在读了“一遍”题目之后,就急于下手,结果苦思冥想半天,都无法得出答案。
这个时候,我通常会建议同学们再读几遍题目,尤其是几何题,综合题。
因为题目给了很多已知条件,这些已知条件都是用文字跟数学符号来表达的,在我们大脑中很难一下子转化成自己的语言。
这时候如果我们再读几遍,把所有已知条件都以自己的方式充分地理解透,然后自己画个图,如果已经有图,就将这些条件标注到图上。
由于人的大脑在短时间之内记忆的东西是有限的,如同电脑CPU,所以,我们应该尽量地将大脑的功能用在计算和推理上,而不要让她承担记忆的任务;将这些需要记忆的条件和推理得出的结论都交给草稿纸和图表,大脑自然能够更轻松地去对付题目的问题了。
第二个问题,有的同学在解题的时候自信心不足,不敢下手。
其实很多人在最初接触一些难题的时候都没有思路,包括数学老师在内。
但是在如何对待这个思路盲区上,有经验的老师和不自信的同学就截然不同了。
很多人在碰到这种问题时,似乎有一种完美主义思想:
要一步就找到正确思路,把题目解答出来。
举个例子,用添加辅助线的方式解答几何题,辅助线的方式有很多种加法,这个时候,很多同学会在挑选哪种添加方法上花费很多时间去思考,他们中大多数的心理是怕作图的时候做错了,然后不得不改变思路,由于不愿意花时间去改变原来已经深思熟虑的那条思路,所以干脆力求一次就做对。
其实,一次就做对,是需要很多的练习和长期的经验积累才能够达到的,这种数感和图感的建立不是短期可以建立的。
同学们需要做的,其实很简单,有了思路,就把自己的思路写下来,然后证明你的思路是正确的;如果无法证明,则另外想思路。
这个过程看起来很简单,但是只要重复去实践,自然会形成一种状态:
一看题目,就大致知道有几种思路,然后你就会一一去思考证明,一般情况下,总有一种是可以得出你的答案的。
有时候,当你推不开一扇门的时候,不要着急,试着反方向拉一下,或者横向拉一下。
这是我在教学过程中实际感受到的两个问题,希望对同学们有所帮助。
考数学阅读题解题探析
2010-05-13 来源:
新浪博客 作者:
匿名
中考数学考阅读解答题,是近几年中考的热点题型。
下面就结合中考试题谈谈如何解阅读解答题。
一、改错型阅读:
此类问题,常常是事先给出详细的解答过程,但在解答的过程中却设下错误的陷阱,解答者必须要认真读题,仔细审题,在“细”字上下功夫,可谓细节决定成功。
例1、阅读下列题目的解题过程:
已知a、b、c为的三边,且满足,试判断的形状。
解:
问:
(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?
请写出该步的代号:
(2)错误的原因为:
(3)本题正确的结论为:
.(06浙江临安)
分析:
本题主要考查在等式两边同除以同一个数或式子时,必须保证这个数或式的值是非零的才行。
而在实际考试或学生在做练习时,常常忽视这一点,因而造成解题的失误而丢分。
解:
(1)上述解题过程,从C步开始出现错误;
(2)错误的原因为:
没有考虑,就在等式的两边同除以了这个式子;
(3)当本,得:
a=b,所以△ABC是等腰三角形
所以本题正确的结论为:
△ABC是直角三角形或等腰三角形。
二、方法迁移型阅读:
此类问题,常常是事先给出问题背景,但在问题背景中却蕴含某种数学思想或方法。
她要求读者通过阅读与理解,不仅要看懂背景问题所提供的思想或方法,还要应用所学到的思想或方法去解答后面所提出的新问题。
例2、下面是数学课堂的一个学习片断.阅读后,请回答下面的问题:
学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:
“已知等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角”.同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲:
“其余两角是30°和120°”;王华同学说:
“其余两角是75°和75°”.还有一些同学也提出了不同的看法.
(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?
为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?
(用一句话表示)(05,安徽课改,)
分析:
本题以等腰三角形为背景提出一个学生很容易出现错误的问题。
通过问题的正确解答,培养学生树立用分类的思想去正确求解等腰三角形的相关问题。
而在实际考试或学生在做练习时,学生常常忽视这一点,因而造成解题的失误而丢分。
解:
(1)答:
上述两同学回答的均不全面,应该是:
其余两角的大小是75°和75°或30°和120°.
理由如下:
(i)当是顶角时,设底角是.
, .∴其余两角是75°和75°.
(ii)当∠A是底角时,设顶角是β,
,.
∴其余两角分别是0°和120°.
(2)感受答有:
“分类讨论”,“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的语句就可以。
例3、在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:
如对于多项式,因式分解的结果是,若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:
(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是:
_________.(写出一个即可)
分析:
通过阅读,要求学生不仅能够灵活进行因式分解,而且渗透了如何求代数式的值。
解:
答案为:
101030
三、归纳、猜想型阅读
此类问题,常常是事先给出问题背景,但在问题背景中却蕴含某种变化规律或不变性的结论。
她要求读者通过阅读与理解,不仅要归纳、猜想出背景问题所蕴含的规律或结论,还要应用所蕴含的规律或结论去解答后面所提出的新问题。
例4、阅读下面材料并完成填空.
你能比较两个数20012002和20022001的大小吗?
为了解决这个问题,先把问题一般化,即比较nn+1和(n+1)n的大小(n≥1的整数).然后,从分析n=1,n=2,n=3,……,这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论.
(1)通过计算,比较下列①~③各组两个数的大小(在横线上填“>”“<”或“=”)
①12______21; ②23______32; ③34______43;
④45>54; ⑤56>65; ⑥67>76; ⑦78>87;…
(2)从第
(1)小题的结果经过归纳,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是:
_________.
(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,可以得到20012002______20022001(填“>”“<”或“=”).
解;1.①12___<___21; ②23___<___32; ③34__>____43;
2、当n≤2时nn+1<(n+1)n;
当n>2时,nn+1>(n+1)n
怎样解答考试中的选择题?
2008-04-28 来源:
网络 作者:
佚名
选择题是近年来在中考中所占比重较大的客观性试题,它考察的内容具体、范围广泛、能力与知识并重。
若考生对所学知识理解不透彻或复习准备不充分的话,便可能对这种题型发怵。
(1)审题答选择题首先要仔细阅读试题说明并注意答题纸的布局设计,搞清楚是单项选择还是多项选择,是选择正确陈述还是选择错误陈述?
答案写在什么地方,等等。
还需要注意的是,各选项的排列布局是怎样的,以免因习惯而填错了选项代号。
例如,一般考生都习惯于这样的排列方式:
A.…… B.……
C.…… D.……
有的试卷可能排列成这种形式:
A.…… C.……
B.…… D.……
在做后一种试卷时,有人常把B项与C项弄混,这样丢分,岂不可惜。
另外,作答方式也是应该注意的问题。
是在试卷上作答,还是在答题纸上作答;是填写选项代号,还是在已经印好的代号上作记号;是在代号上划横道还是打钩或画圈,稍一失误可就酿成大错。
在选择题审题时,必须抓住题中的关键词,注意挖掘隐含条件,排除干扰因素。
(2)答题方法
一般来说,审题以后,考生会初步形成问题解决方案。
做选择题有以下几种方法:
第一种是回忆法。
有的选择题涉及比较熟悉的材料,选择部分如同填空。
这种问题一般不需经过复杂计算、推导和综合,直接运用有关基本概念和基础知识就可以作出判断。
根据题目内容,你可以直接从记忆库中提取要填空的内容,然后从选项中选择对应的项目。
应按回忆判断,以避开备选答案的干扰,提高作答速度。
第二种方法是直接解答法。
在数理科的试题中,根据已知条件,通过计算、作图或代入选择项进行验证等途径,得出正确答案。
这是解答选择题最为普遍的方法,它需要考生掌握丰富的知识和熟练的技巧。
第三种方法是淘汰错误法。
把选择题各选项中错误的答案排除,余下的便是正确答案。
(3)注意事项
解答选择题应特别注意的是以下几点:
第一,答题要快,要小心仔细,不能对同一题写两个答案。
先做容易答的题。
第二,一定要把答题的空栏全部填满,要把答案填写在准确的答案空栏里,以免把答案填错了位置。
第三,在你要重新考虑的试题上做上记号,但要小心,记号不要与答案混淆起来。
第四,在试题的关键字下面划线,诸如:
全部、许多、某些、没有、经常、有时、决不、较多、较小、最好、至少等关键字可以帮助你理解试题。
第五,改动答案要慎重,必须要有足够的理由或强烈的预感。
因为选择题只有一个反应,要么对了,要么就是错了,没有居于二者之间的可能性。
只有当你确认另一个答案更正确时,才能改动它。
第六,当碰上一道选择题,拿不准该选哪一个答案时,你若要用猜的办法,必须考虑到猜会不会带来不利后果。
因为猜错了可能被倒扣分。
如果规定对错答不扣分,那么,猜填一个答案总比空着好一些。
名师教你如何判定中考数学三角形相似
2009-02-06 来源:
城市快报 作者:
匿名
相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点,它也是历年中考的热点内容,通常考查以下三个部分:
一是考查相似三角形的判定;二是考查利用相似三角形的性质解题;三是考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性,又能注重知识之间的综合性。
首先我们帮助学生突破相似三角形判定这个难点,下面以两道例题来说明解答策略及规律。
例1.
(1)在平行四边形ABCD中,G是DC延长线上一点,AG分别交BD和BC于点E、F,则图中相似三角形共有_____对。
解答对策:
<1>由平行四边形对边平行的性质得到相似三角形的基本图形(平行八字、平行A字)清楚地展现出来,此处是学生掌握比较好的地方;再将相似的特殊情形如全等、相似的传递性加以强调,这部分内容是学生知识的漏洞之处,易混易错。
通过问题情境的铺设,层层铺垫,同学们既容易全面理解,又可以抓住解题规律,起到了突出重点、突破难点的效果。
<2>教师在解答此处时,利用几何画板辅助。
通过将基本图形从复杂图形中分离出来,用不同颜色区分,同一颜色归类,层次清晰,效果明显!
答案:
6对
(2)将△ACE绕点C旋转一定的角度后使点A落在点B处,点E落在点D处,且点B、C、E在同一直线上,直线AC、BD交于点F,CD、AE交于点G,AE、BD交于点H,连接AB、DE。
则以下结论中:
①∠DHE=∠ACB,②△ABH∽△GDH,③△DHG∽△ECG,④△ABC∽△DEC,⑤CF=CG,其中正确的是______
解答对策:
教师引领学生挖掘隐含条件,利用不同颜色将重要的图形一一清楚地展现出来,同学们可以抓住解题方法、规律。
教师通过创设情境,层层铺垫,有利于学生的理解,有利于学生的迁移和技能的形成,有利于完善学生的知识结构,实现了突出重点、突破难点的意图。
下面我们逐一分析每个结论:
结论①:
由旋转得,∠CEA=∠CDB=β,∠CBD=∠CAE=γ
∠1=∠CBD+∠CEA=γ+β,∠2=∠CAE+∠CEA=γ+β
所以得,∠1=∠2,即∠DHE=∠ACB
结论③:
由∠CEA=∠CDB,∠DGH=∠EGC
所以得△DHG∽△ECG
(两角对应相等的三角形相似)
结论④:
由△DHG∽△ECG,得∠DHG=∠ECG
同理∠AHF=∠BCF,又∠DHG=∠AHF,
所以∠BCA=∠ECD
又AC=BC,DC=EC,所以△ABC∽△DEC
(两边对应成比例且夹角对应相等的三角形相似)
结论②:
若△ABH∽△GDH,则∠ABH=∠GDH=β
则∠BAC=∠CBA=γ+β,∠ACD=∠BAC=γ+β
在△ABH中,γ+β+γ+β+α=180o
点B、C、E共线,γ+β+α+α=180o
解方程,得α=60o,则△ABC是等边三角形,与已知矛盾,则结论②不成立。
由已知条件推不出结论⑤,即CF=CG不一定成立。
答案:
①③④
(周五继续刊登)
两个三角形全等是两个三角形相似的特例,此时,相似比为1
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