精中考数学考点专题一元一次不等式组及其应用.docx
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精中考数学考点专题一元一次不等式组及其应用
中考数学考点专题:
一元一次不等式(组)及其应用
一元一次不等式(组)及其应用
1.用不等号“<”“>”“≤”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解:
使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
3.不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
4.一元一次不等式:
不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫
做一元一次不等式。
5.一元一次不等式组:
一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
6.不等式的性质:
性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个数,不等号的方向不变。
性质2:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
性质3:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
7.一元一次不等式的解法的一般步骤:
(1)去分母;
(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.
8.不等式解集在数轴上的表示方法:
含≥或≤,用空心圆圈,含>或<用实心圆点。
9.一元一次不等式组的解法
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
10.求不等式组解集的规律:
不等式组的解集有四种情况:
若a>b,
(1)当时,则不等式的公共解集为x>a;
(2)时,不等式的公共解集为b (3)时,不等式的公共解集为x (4)当时,不等式组无解. 【例题1】(2019江苏镇江)解不等式: 【答案】不等式的解集为. 【解析】解一元一次不等式。 按照去括号,移项,合并同类项,系数化为1来解即可. 化简得 原不等式的解集为. 【例题2】(2019四川省雅安市)不等式组的解集为() A.6≤x<8B.6<x≤8C.2≤x<4D.2<x≤8 【答案】B 【解析】分别求出不等式组中的两个不等式的解集,再找它们的公共部分,由第1个不等式得x>6,由第2个不等式得x≤8,它们的公共部分是6<x≤8,故选B. 【例题3】(2019•山东省德州市)不等式组的所有非负整数解的和是( ) A.10B.7C.6D.0 【答案】A 【解析】不等式组的非负整数解。 分别求出每一个不等式的解集,即可确定不等式组的解集,继而可得知不等式组的非负整数解. , 解不等式①得: x>﹣2.5, 解不等式②得: x≤4, ∴不等式组的解集为: ﹣2.5<x≤4, ∴不等式组的所有非负整数解是: 0,1,2,3,4, ∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10 【例题4】(2019广西北部湾)解不等式组,并利用数轴确定不等式组的解集. 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组,分别解两个不等式得到x<3和x≥-2,再根据大小小大中间找确定不等式组的解集.然后利用数轴表示其解集. 【解题过程】解: 解①得x<3, 解②得x≥-2, 所以不等式组的解集为-2≤x<3. 用数轴表示为: 【例题5】(2019•江苏无锡)某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务,于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工2个零件,则不能按期完成这次任务,由此可知a的值至少为( ) A.10B.9C.8D.7 【答案】B 【解析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量<2160列出不等式并解答. 设原计划n天完成,开工x天后3人外出培训, 则15an=2160, 得到an=144. 所以15ax+12(a+2)(n﹣x)<2160. 整理,得4x+4an+8n﹣8x<720. ∵an=144. ∴将其代入化简,得ax+8n﹣8x<144,即ax+8n﹣8x<an, 整理,得8(n﹣x)<a(n﹣x). ∵n>x, ∴n﹣x>0, ∴a>8. ∴a至少为9. 一、选择题 1.(2019甘肃省陇南市) 不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( ) A.x≤3B.x≤﹣3C.x≥3D.x≥﹣3 【答案】A 【解析】先去括号,然后移项、合并同类项,再系数化为1即可. 去括号,得2x+9≥3x+6, 移项,合并得﹣x≥﹣3 系数化为1,得x≤3。 2.(2019•河北)语句“x的与x的和不超过5”可以表示为( ) A.+x≤5B.+x≥5C.≤5D.+x=5 【答案】A 【解析】“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5. 3.(2019•浙江宁波)不等式>x的解为( ) A.x<1B.x<﹣1C.x>1D.x>﹣1 【答案】A 【解析】去分母、移项,合并同类项,系数化成1即可. >x, 3﹣x>2x, 3>3x, x<1 4.(2019广西河池)不等式组的解集是 A.B.C.D. 【答案】. 【解析】, 解①得: , 解②得: . 则不等式组的解集是: . 故选: . 5.(2019黑龙江绥化)不等式组的解集在数轴上表示正确的是() 【答案】B 【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集 解①得,x≥1, 解②得,x<2, ∴原不等式组的解集为1≤x<2,故选B. 6.(2019湖北仙桃)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) 【答案】C 【解析】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集。 解不等式x﹣1>0得x>1, 解不等式5﹣2x≥1得x≤2, 则不等式组的解集为1<x≤2 7.(2019吉林长春)不等式-x+2≥0的解集为() A.x≥-2B.x≤-2C.x≥2D.x≤2 【答案】D 【解析】解一元一次不等式. -x+2≥0, 移项得: -x≥-2, 系数化为1,得x≤2 ∴不等式的解集为: x≤2 8.(2019辽宁本溪) 不等式组的解集是 A.x>3B.x≤4C.x<3D.3<x≤4 【答案】D. 【解析】, 由①得: x>3, 由②得: x≤4, 则不等式组的解集为3<x≤4 9.(2019江苏镇江)下列各数轴上表示的的取值范围可以是不等式组的解集的是 A.B. C.D. 【答案】B 【解析】由得, A.由数轴知,则,,解得,与数轴不符; B.由数轴知,则,,解得,与数轴相符合; C.由数轴知,则,,解得,与数轴不符; D.由数轴知,则,,解得,与数轴不符。 10.(2019•绵阳)红星商店计划用不超过4200元的资金,购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件,据市场行情,销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元,两种商品均售完.若所获利润大于750元,则该店进货方案有( ) A.3种B.4种C.5种D.6种 【答案】C 【解析】设该店购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50﹣x)件,根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组,解之求得整数x的值即可得出答案. 设该店购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50﹣x)件, 根据题意,得: , 解得: 20≤x<25, ∵x为整数, ∴x=20、21、22、23、24, ∴该店进货方案有5种。 11.(2019•常德)小明网购了一本《好玩的数学》,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说: “至少15元.”乙说: “至多12元.”丙说: “至多10元.”小明说: “你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为( ) A.10<x<12B.12<x<15C.10<x<15D.11<x<14 【答案】B 【解析】根据题意得出不等式组解答即可. 根据题意可得: , 可得: 12<x<15, ∴12<x<15 12.(2019•湖南怀化)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现: 公羊刚好每户1只;若每户发放母羊5只,则多出17只母羊,若每户发放母羊7只,则有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共( )只. A.55B.72C.83D.89 【答案】C 【解析】设该村共有x户,则母羊共有(5x+17)只,根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组,解之求得整数x的值,再进一步计算可得. 设该村共有x户,则母羊共有(5x+17)只, 由题意知, 解得: <x<12, ∵x为整数, ∴x=11, 则这批种羊共有11+5×11+17=83(只) 二、填空题 13.(2019黑龙江哈尔滨)不等式组的解集是 . 【答案】: x≥3. 【解析】解不等式≤0,得x≥3, 解不等式3x+2≥1,得x≥﹣, ∴不等式组的解集为x≥3, 故答案为: x≥3. 14.(2019山东东营)不等式组的解集为____________. 【答案】-7≤x<1 【解析】一元一次不等式组的解法。 解不等式①,得x<1;解不等式②,得x≥-7, ∴不等式组的解集是-7≤x<1. 15.(2019•河南)不等式组的解集是 . 【答案】x≤﹣2. 【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀: 同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 解不等式≤﹣1,得: x≤﹣2, 解不等式﹣x+7>4,得: x<3, 则不等式组的解集为x≤﹣2 16.(2019内蒙古包头市)已知不等式组的解集为x>-1,则k的取值范围是 . 【答案】k≤-2. 【解析】 不等式组 解不等式①得,x>-1; 解不等式②得,x>k+1; ∵原不等式组的解集为x>-1, ∴k+1≤-1 解得,k≤-2. 17.(2019黑龙江大庆)已知x=4是不等式ax-3a-1<0的解,x=2不是不等式ax-3a-1<0的解,则实数a的取值范围是______. 【答案】a≤-1 【解析】∵x=4是不等式ax-3a-1<0的解,所以4a-3a-1<0,a<1, 因为x=2不是不等式ax-3a-1<0的解, 所以2a-3a-1≥0,所以a≤-1,所以a≤-1. 18.(2019•铜仁)如果不等式组的解集是x<a﹣4,则a的取值范围是 . 【答案】a≥﹣3. 【解析】解这个不等式组为x<a﹣4, 则3a+2≥a﹣4, 解这个不等式得a≥﹣3 故答案a≥﹣3. 19.(2019湖南邵阳)不等式组的解集是 . 【答案】 【解析】解不等式,得: , 解不等式,得: , 则不等式组的解集为, 故答案为: . 20.(2019•大渡口区)商店购进一批文具盒,进价每个4元,零售价每个6元,为促销决定打折销售,但利润率仍然不低于20%,那么该文具盒实际价格最多可打 折销售. 【答案】8 【解析】由题意可知: 利润率为20%时,获得的利润为4×20%=0.8元;若打x折该商品获得的利润=该商品的标价×﹣进价,列出不等式,解得x的值即可. 设可以打x折出售此商品,由题意得: , 解得: x≥8, 答: 该文具盒实际价格最多可打8折。 三、解答题 21.(2019广西省贵港市)解不等式组: ,并在数轴上表示该不等式组的解集. 【答案】见解析。 【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀: 同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 解不等式,得: , 解不等式,得: , 则不等式组的解集为, 将不等式组的解集表示在数轴上如下: 22.(2019北京市)解不等式组: 【答案】. 【解析】先求出每个不等式的解集,再取两个不等式解集的公共部分,就是不等式组的解集.取公共部分按照“大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无处找”原则即可. 由①得 由②得 ①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为. 23.(2019•江苏扬州)解不等式组,并写出它的所有负整数解. 【答案】﹣3≤x<2,所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1. 【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀: 同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 解不等式4(x+1)≤7x+13,得: x≥﹣3, 解不等式x﹣4<,得: x<2, 则不等式组的解集为﹣3≤x<2, 所以不等式组的所有负整数解为﹣3、﹣2、﹣1. 24.(2019贵州省安顺市)先化简(1+)÷,再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值. 【答案】见解析。 【解析】首先进行分式的加减运算,进而利用分式的混合运算法则进而化简,再解不等式组,得出x的值,把已知数据代入即可. 原式=×= 解不等式组得﹣2<x<4, ∴其整数解为﹣1,0,1,2,3, ∵要使原分式有意义, ∴x可取0,2.∴当x=0时,原式=﹣3, (或当x=2时,原式=﹣). 25.(2019•新疆)解不等式组: 并把解集在数轴上表示出来. 【答案】见解析。 【解析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,即可得出答案. 解不等式①得: x<2, 解不等式②得: x>1, ∴不等式组的解集为1<x<2, 在数轴上表示不等式组的解集为: . 26.(2019▪黑龙江哈尔滨)寒梅中学为了丰富学生的课余生活,计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用.若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元;若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元; (1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元; (2)寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副,总费用不超过550元,那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋? 【答案】见解析。 【解析】 (1)设每副围棋x元,每副中国象棋y元, 根据题意得: , ∴, ∴每副围棋16元,每副中国象棋10元; (2)设购买围棋z副,则购买象棋(40﹣z)副, 根据题意得: 16z+10(40﹣z)≤550,∴z≤25, ∴最多可以购买25副围棋。 27.(2019四川巴中)在“扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户.已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同. ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少? ②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案? 【答案】见解析。 【解析】①设乙种物品单价为x元,则甲种物品单价为(x+10)元,由题意得: = 解得x=90 经检验,x=90符合题意 ∴甲种物品的单价为100元,乙种物品的单价为90元. ②设购买甲种物品y件,则乙种物品购进(55﹣y)件 由题意得: 5000≤100y+90(55﹣y)≤5050 解得5≤y≤10,∴共有6种选购方案. 28.(2019▪湖北黄石)若点P的坐标为(,2x﹣9),其中x满足不等式组,求点P所在的象限. 【答案】点P在的第四象限. 【解析】先求出不等式组的解集,进而求得P点的坐标,即可求得点P所在的象限. , 解①得: x≥4, 解②得: x≤4, 则不等式组的解是: x=4, ∵=1,2x﹣9=﹣1, ∴点P的坐标为(1,﹣1),∴点P在的第四象限. 29.(2019•山东省滨州市 )有甲、乙两种客车,2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人,1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人. (1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人? (2)某学校组织240名师生集体外出活动,拟租用甲、乙两种客车共6辆,一次将全部师生送到指定地点.若每辆甲种客车的租金为400元,每辆乙种客车的租金为280元,请给出最节省费用的租车方案,并求出最低费用. 【答案】见解析。 【解析】 (1)设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人,y人, , 解得: , 答: 1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人; (2)设租用甲种客车x辆,依题意有: , 解得: 6>x≥4, 因为x取整数,所以x=4或5, 当x=4时,租车费用最低,为4×400+2×280=2160. 30.(2019•遵义)某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动.旅游公司有A,B两种客车可供租用,A型客车每辆载客量45人,B型客车每辆载客量30人.若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元;若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元. (1)求租用A,B两型客车,每辆费用分别是多少元; (2)为使240名师生有车坐,且租车总费用不超过1万元,你有哪几种租车方案? 哪种方案最省钱? 【答案】见解析。 【解析】 (1)设租用A,B两型客车,每辆费用分别是x元、y元, , 解得,, 答: 租用A,B两型客车,每辆费用分别是1700元、1300元; (2)设租用A型客车a辆,租用B型客车b辆, , 解得,,,, ∴共有三种租车方案, 方案一: 租用A型客车2辆,B型客车5辆,费用为9900元, 方案二: 租用A型客车4辆,B型客车2辆,费用为9400元, 方案三: 租用A型客车5辆,B型客车1辆,费用为9800元, 由上可得,方案二: 租用A型客车4辆,B型客车2辆最省钱.
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- 中考 数学 考点 专题 一元 一次 不等式 及其 应用