届高三数学人教A版全国通用一轮复习讲义11集合及其运算.docx
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届高三数学人教A版全国通用一轮复习讲义11集合及其运算
§1.1 集合及其运算
最新考纲
考情考向分析
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
7.能使用维恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点,在集合的运算中经常与不等式、函数相结合,解题时常用到数轴和维恩(Venn)图,考查学生的数形结合思想和计算推理能力,题型以选择题为主,低档难度.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N+(或N*)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集
A=B
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
维恩(Venn)图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA={x|x∈U且x∉A}
知识拓展
1.若有限集合A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩(∁UA)=∅;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=A.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(6)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
题组二 教材改编
2.已知U={α|0°<α<180°},A={x|x是锐角},B={x|x是钝角},则∁U(A∪B)=________.
答案 {x|x是直角}
3.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.
答案 2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆,集合B表示直线y=x,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点
,
,则A∩B中有两个元素.
题组三 易错自纠
4.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
答案 C
解析 当x=-1,y=0时,z=-1;当x=-1,y=2时,z=1;当x=1,y=0时,z=1;当x=1,y=2时,z=3,故集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数为3,故选C.
5.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x 答案 (3,+∞) 解析 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}, ∵A⊆B,B={x|x3. 6.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________. 答案 0或 解析 若a=0,则A= ,符合题意; 若a≠0,则由题意得Δ=9-8a=0,解得a= . 综上,a的值为0或 . 题型一 集合的含义 1.若集合A={a-3,2a-1,a2-4},且-3∈A,则实数a=________. 答案 0或1 解析 若a-3=-3,则a=0,此时集合A中含有元素-3,-1,-4,满足题意; 若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中的三个元素为-4,-3,-3,不满足集合中元素的互异性; 若a2-4=-3,则a=±1,当a=1时,集合A中的三个元素为-2,1,-3,满足题意; 当a=-1时,不符合题意. 综上可知,a=0或a=1. 2.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B 解析 当a=0时,a+b=1,2,6; 当a=2时,a+b=3,4,8; 当a=5时,a+b=6,7,11. 由集合中元素的互异性知,P+Q中有1,2,3,4,6,7,8,11,共8个元素. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合. (2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 题型二 集合的基本关系 典例 (1)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的集合B的个数是( ) A.5B.4C.3D.2 答案 B 解析 ∵{1,2}⊆B,I={1,2,3,4}, ∴满足条件的集合B有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. (2)已知集合A={x|x2-2019x+2018<0},B={x|x 答案 [2018,+∞) 解析 由x2-2019x+2018<0,解得1 故A={x|1 又B={x|x 可得a≥2018. 引申探究 本例 (2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________. 答案 (-∞,1] 解析 A={x|1 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、维恩(Venn)图等来直观解决这类问题. 跟踪训练 (1)已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为( ) A. 或- B.- 或 C. 或- 或0D.- 或 或0 答案 D 解析 由题意知,A={2,-3}. 当a=0时,B=∅,满足B⊆A; 当a≠0时,ax-1=0的解为x= , 由B⊆A,可得 =-3或 =2, ∴a=- 或a= . 综上可知,a的值为- 或 或0. (2)已知集合A= ,B={x|x+m2≥1},若A⊆B,则实数m的取值范围是________________________. 答案 ∪ 解析 因为y= 2+ ,x∈ , 所以y∈ .又因为A⊆B,所以1-m2≤ , 解得m≥ 或m≤- . 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 典例 (1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( ) A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅ 答案 A 解析 ∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}. 又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}. 故选A. (2)(2016·山东)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B等于( ) A.(-1,1)B.(0,1) C.(-1,+∞)D.(0,+∞) 答案 C 解析 ∵A={y|y>0},B={x|-1 ∴A∪B=(-1,+∞),故选C. 命题点2 利用集合的运算求参数 典例 (1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.-12 C.a≥-1D.a>-1 答案 D 解析 因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1. (2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( ) A.0B.1C.2D.4 答案 D 解析 由题意可得{a,a2}={4,16},∴a=4. (3)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______. 答案 (-∞,-1]∪{1} 解析 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用维恩(Venn)图表示;集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. 跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C等于( ) A.{2}B.{1,2,4} C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5} 答案 B 解析 A∪B={1,2,4,6}. 又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4}, 故选B. (2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1 A.[-1,2)B.[-1,3] C.[2,+∞)D.[-1,+∞) 答案 D 解析 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A. ①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2; ②当B≠∅时,有 解得-1≤m<2. 综上,m的取值范围为[-1,+∞). 题型四 集合的新定义问题 典例已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为( ) A.77B.49 C.45D.30 答案 C 解析 如图,集合A表示如图所示的所有圆点“ ”,集合B表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C. 思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素. 跟踪训练定义一种新的集合运算△: A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A等于( ) A.{x|3 C.{x|3 答案 B 解析 A={x|1 1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( ) A.-3∈AB.3∉B C.A∩B=BD.A∪B=B 答案 C 解析 由题意知A={y|y≥-1},因此A∩B={x|x≥2}=B,故选C. 2.(2017·浙江)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q等于( ) A.(-1,2)B.(0,1) C.(-1,0)D.(1,2) 答案 A 解析 ∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2}, ∴P∪Q={x|-1<x<2}.故选A. 3.(2018届齐鲁名校协作体联考)已知集合A= ,B={y|y=2x},则A∩B等于( ) A.(0,4]B.(0,1) C.(0,1]D.[-4,1] 答案 B 解析 ∵A={x|-4≤x<1},B={y|y>0}, ∴A∩B=(0,1),故选B. 4.设集合A={x|x2-5x+4<0},B={x|2x-3>0},则A∩B等于( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由A={x|x2-5x+4<0}={x|1 B={x|2x-3>0}= , 得A∩B= = ,故选D. 5.(2017·潍坊调研)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{0,1}B.{1} C.{1,2}D.{0,1,2} 答案 B 解析 因为A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分,所以阴影部分所表示的集合为{1}. 6.(2017·郑州二模)已知复数f(n)=in(n∈N+),则集合{z|z=f(n)}中元素的个数是( ) A.4B.3 C.2D.无数 答案 A 解析 复数f(n)=in(n∈N+), 可得f(n)= k∈N. 集合{z|z=f(n)}中元素的个数是4. 7.(2017·全国Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B等于( ) A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5} 答案 C 解析 ∵A∩B={1},∴1∈B. ∴1-4+m=0,即m=3. ∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C. 8.已知集合A={x|-1 A.(-∞,0]B.[0,+∞) C.(-∞,0)D.(0,+∞) 答案 B 解析 用数轴表示集合A,B(如图), 由A⊆B,得a≥0. 9.(2017·广东、广西、福建十校联考)若全集U=R,集合A={x|x2-x-2≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(∁UB)=________________. 答案 {x|x<-1或x≥2} 解析 集合A={x|x2-x-2≥0}={x|x≤-1或x≥2}, ∵log3(2-x)≤1=log33,∴0<2-x≤3, ∴-1≤x<2,∴B={x|-1≤x<2}, ∴∁UB={x|x<-1或x≥2}, ∴A∩(∁UB)={x|x<-1或x≥2}. 10.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为__________. 答案 - 解析 ∵3∈A,∴m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,不符合集合的互异性,舍去; 当2m2+m=3时,解得m=- 或m=1(舍去), 当m=- 时,m+2= ≠3,符合题意, ∴m=- . 11.设全集U=R,集合A={x|y= },B={y|y=ex+1},则A∪B=__________. 答案 (-∞,-1]∪(1,+∞) 解析 因为A={x|x≥3或x≤-1},B={y|y>1}, 所以A∪B={x|x>1或x≤-1}. 12.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________. 答案 [1,+∞) 解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1. 13.已知集合A={x|1 A. B. C.(-∞,0]D.[0,+∞) 答案 D 解析 ∵A∩B=∅, ①若当2m≥1-m,即m≥ 时,B=∅,符合题意; ②若当2m<1-m,即m< 时, 需满足 或 解得0≤m< 或∅,即0≤m< . 综上,实数m的取值范围是[0,+∞). 14.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5 由A∩B=(-1,n),可知m<1, 则B={x|m 15.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 答案 6 解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个. 16.设集合M= ,N= ,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是________. 答案 解析 由已知,可得 即0≤m≤ ; 即 ≤n≤1,当集合M∩N的长度取最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端. 取m的最小值0,n的最大值1,可得M= ,N= ,所以M∩N= ∩ = ,此时集合M∩N的“长度”的最小值为 - = .
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