专题02 二次函数解答题压轴训练原卷版学年九年级数学期末复习压轴题训练.docx
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专题02二次函数解答题压轴训练原卷版学年九年级数学期末复习压轴题训练
专题02二次函数解答题压轴训练(原卷版)
1.已知二次函数y1=ax2+4ax+4a﹣1的图象是M.
(1)求M关于点R(1,0)中心对称的图象N的解析式y2;
(2)当2≤x≤5时,y2的最大值为
,求a的值.
2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣
x+
与直线y=
x+b交于A、B两点,其中点A在x轴上,点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)过P作y轴的平行线交直线于点C,连接PA、PB.
(1)求直线的解析式及A、B点的坐标;
(2)当△APB面积最大时,求点P的坐标以及最大面积.
3.已知一次函数y1=
x﹣1,二次函数y2=x2﹣mx+4(其中m>4).
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含m的代数式表示);
(2)利用函数图象解决下列问题:
①若m=5,求当y1>0且y2≤0时,自变量x的取值范围;
②如果满足y1>0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数,直接写出m的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x﹣3与y轴交于点A,点A与点B关于x轴对称,过点B作y轴的垂线l,直线l与直线y=2x﹣3交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如果抛物线y=nx2﹣4nx+5n(n>0)与线段BC有唯一公共点,求n的取值范围.
5.若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1,和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.
6.设二次函数y1,y2的图象的顶点分别为(a,b)、(c,d),当a=﹣2c,b=﹣2d,且开口方向相同时,则称y1是y2的“反倍顶二次函数”.
(1)请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”;
(2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=x2﹣2nx+1,若函数y1恰是y1+y2的“反倍顶二次函数”,求n的值.
7.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣3,﹣3)和点P(t,0),且t≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图,请通过观察图象,指出此时y的最小值,并写出t的值;
(2)若t=﹣4,求a、b的值,并指出此时抛物线的开口方向;
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.
8.已知:
抛物线C1:
y=ax2经过点(2,
),抛物线C2:
y=
x2.
(1)求a的值;
(2)如图1,直线y=kx(k>0)分别交第一象限内的抛物线C2,C1于M,N两点.求证:
MO=MN.
9.若二次函数的解析式为y=(x﹣m)(x﹣1)(1≤m≤2)
(1)当x分别取﹣1,0,1时对应的函数值为y1,y2,y3,请比较y1,y2,y3的大小关系.
(2)对于m,当x>k时,y随x的增大而增大,求k的最小整数值.
(3)若函数过(a,b)点和(a+6,b)点,求b的取值范围.
10.对a,b定义一种新运算M,规定M(a,b)=
,这里等式右边是通常的四则运算,例如:
M(2,3)=
=﹣12.
(1)如果M(2x,1)=M(1,﹣1),求实数x的值;
(2)若令y=M(x+
,x﹣
),则y是x的函数,当自变量x在﹣1≤x≤2的范围内取值时,函数值y为整数的个数记为k,求k的值.
11.已知二次函数y=2x2+m.
(1)若点(﹣2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y1 y2(填“>”、“=”或“<”);
(2)如图,此二次函数的图象经过点(0,﹣4),正方形ABCD的顶点C、D在x轴上,A、B恰好在二次函数的图象上,求图中阴影部分的面积之和.
12.已知抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)有如下两个特点:
①无论实数a怎样变化,其顶点都在某一条直线l上;②若把顶点的横坐标减少
,纵坐标增大
分别作为点A的横、纵坐标;把顶点的横坐标增加
,纵坐标增加
分别作为点B的横、纵坐标,则A,B两点也在抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)上.
(1)求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点所在直线l的解析式;
(2)请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点,并说明理由;
(3)你能根据特点②的启示,对一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)提出一个猜想吗?
请用数学语言把你的猜想表达出来,并给予证明.
13.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即:
当n为非负整数时,如果
则<x>=n.
如:
<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,…
试解决下列问题:
(1)填空:
①<π>= (π为圆周率);
②如果<2x﹣1>=3,则实数x的取值范围为 ;
(2)①当x≥0,m为非负整数时,求证:
<x+m>=m+<x>;
②举例说明<x+y>=<x>+<y>不恒成立;
(3)求满足<x>=
的所有非负实数x的值;
(4)设n为常数,且为正整数,函数
的自变量x在n≤x<n+1范围内取值时,函数值y为整数的个数记为a,满足<
>=n的所有整数k的个数记为b.求证:
a=b=2n.
14.已知函数y=(m+2)x2+kx+n.
(1)若此函数为一次函数;
①m,k,n的取值范围;
②当﹣2≤x≤1时,0≤y≤3,求此函数关系式;
③当﹣2≤x≤3时,求此函数的最大值和最小值(用含k,n的代数式表示);
(2)若m=﹣1,n=2,当﹣2≤x≤2时,此函数有最小值﹣4,求实数k的值.
15.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC、CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标.
16.已知直线y=kx+m与抛物线y=﹣x2+bx+c相交于A,B两点,且点A在x轴正半轴,点B在y轴上,点O为坐标原点.
(1)若点A的横坐标为2,求b﹣k的值;
(2)若点A的横坐标为m,抛物线顶点的纵坐标为n,点P在线段AB上,且到两坐标轴的距离相等,当OP≤
时,试比较n与b+m﹣k的大小.
17.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),C(0,3)两点,它的对称轴与x轴交于点F,过点C作CE∥x轴交抛物线于另一点E,连结EF,AC
.
(1)求该抛物线的表达式及点E的坐标;
(2)在线段EF上任取点P,连结OP,作点F关于直线OP的对称点G,连结EG和PG,当点G恰好落到y轴上时,求△EGP的面积.
18.直线y=﹣
x+c与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,抛物线y=﹣
+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线表达式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线AB于M、N两点,若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),请求出此时点P的坐标.
19.已知函数y=
.
(1)|k|=2,请画出符合条件的函数图象;
(2)k的值分别取k1,k2时,得到两个函数
,
,其中k1<k2且k1+k2=0,y2的图象是由y1的图象经过怎样的变换得到的;
(3)在
(2)的条件下,请求出当y1<y2时,x的取值范围.
20.阅读以下材料,并解决相应问题:
小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:
如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1、b1、c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2、b2、c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=2x2﹣3x+1的旋转函数,小明是这样思考的,由函数y=2x2﹣3x+1可知,a1=2,b1=﹣3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数y=x2﹣4x+3的旋转函数.
(2)若函数y=5x2+(m﹣1)x+n与y=﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数,求(m+n)2020的值.
(3)已知函数y=2(x﹣1)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试求证:
经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”.
21.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E,B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?
并求出最大面积.
22.设抛物线y=
的图象与x轴只有一个交点.
(1)求a的值;
(2)求a18+323a﹣6的值.
23.已知:
关于x的方程mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3=0.
(1)求证:
m取任何实数量,方程总有实数根;
(2)若二次函数y1=mx2﹣3(m﹣1)x+2m﹣3的图象关于y轴对称;
①求二次函数y1的解析式;
②已知一次函数y2=2x﹣2,证明:
在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;
(3)在
(2)条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(﹣5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立,求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式.
24.已知函数y=x2+(b﹣1)x+c(b,c为常数),这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0)和B(x2,0).若x1,x2满足x2﹣x1>1;
(1)求证:
b2>2(b+2c);
(2)若t<x1,试比较t2+bt+c与x1的大小,并加以证明.
25.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和B(3,0),与y轴交于点C,C在y轴的正半轴上,S△ABC=8;
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P是抛物线的对称轴上一动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)若抛物线的顶点为D,直线CD交x轴于E.则x轴上方的抛物线上是否存在点Q,使S△QBE=15?
若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
26.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴相交于点C,M是抛物线的顶点,直线x=1是抛物线的对称轴,且点C的坐标为(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D.若PD=m,△PCD的面积为S.求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,在线段MB上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形?
如果存在,请写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
27.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,过点A的直线l交抛物线于点C(2,m).
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P是线段AC上一个动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE最大时点P的坐标.
(3)点F是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点D,使得以点A,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,请直接写出所有满足条件的点D的坐标;如果不存在,请说明理由.
28.已知抛物线y=﹣
x2+bx+c经过点A(2,0),B(0,2
),与x轴的另一个交点为C.
(1)求出此抛物线的表达式及点C坐标;
(2)如图1,AB的中点记为D,∠MDN=30°,将∠MDN绕点D在AB的左侧旋转,DM与射线BO交于点E,DN与射线AO交于点F.设BE=m,AF=n(m>0,n>0),求m关于n的函数关系式.
(3)当∠MDN的边经过点C时,求m,n的值(直接写出结果).
29.如图
(1),抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,已知A、C两点的坐标为A(﹣1,0),C(0,3).点P是抛物线上第一象限内一个动点.
(1)求抛物线的解析式,并求出B的坐标;
(2)如图1,抛物线上是否存在点P,使得△OBP≌△OCP,若存在,求点P的坐标;
(3)如图2,y轴上有一点D(0,1),连结DP交BC于点H,若H恰好平分DP,求点P的坐标;
(4)如图3,连结AP交BC于点M,以AM为直径作圆交AB、BC于点E、F,若E,F关于直线AP轴对称,求点E的坐标.
30.如图1:
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1,0),C(4,0),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为抛物线第四象限上一点,AP交y轴于Q,设点P的横坐标为t,求线段BQ的长d与t的函数关系(不要求写出自变量的取值范围);
(3)如图3,在
(2)的条件下,D为抛物线第一象限上的一点,过D作y轴的平行线,分别交BP、AP于M、N,过P作PH⊥直线DM于H,连接AD交BP于E,若MN=NH,∠DEP+∠ABO=90°,求点D的坐标.
31.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在B左边),与y轴交于点C.
(1)若A(﹣1,0),B(3,0)两点,求该抛物线的解析式;
(2)在
(1)中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P,使得△PBC的面积最大?
若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由;
(3)直线y=1与抛物线y=x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D,点E与点D关于x轴对称.试判断直线DB与直线AE的位置关系,并证明你的结论.
32.如图,△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1:
y=
x2+
x上,点A的坐标为(﹣4,m),点B的坐标为(n,﹣2).(点A在点B的左侧)
(1)则m= ,n= .
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线C2:
y=ax2+bx+4经过A'、B'两点,延长OB'交抛物线C2于点C,连接A'C.设△OA'C的外接圆为⊙M.
①求圆心M的坐标;
②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标(A'、C除外).
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