高考数学理二轮专题练习专题41等差数列和等比数列含答案.docx
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高考数学理二轮专题练习专题41等差数列和等比数列含答案
高考数学精品复习资料
2019.5
第1讲 等差数列和等比数列
考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考查分析问题、解决问题的综合能力.
1.an与Sn的关系Sn=a1+a2+…+an,an=
2.等差数列和等比数列
等差数列
等比数列
定义
an-an-1=常数(n≥2)
=常数(n≥2)
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1qn-1(q≠0)
判定方法
(1)定义法
(2)中项公式法:
2an+1=an+
an+2(n≥1)⇔{an}为等差数列
(3)通项公式法:
an=pn+q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列
(4)前n项和公式法:
Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列
(5){an}为等比数列,an>0⇔{logaan}为等差数列
(1)定义法
(2)中项公式法:
a=an·
an+2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列
(3)通项公式法:
an=c·qn(c、q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列
(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a>0且a≠1)
性质
(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq
(2)an=am+(n-m)d
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,仍成等差数列
(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq
(2)an=amqn-m
(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列
前n项和
Sn==na1+d
(1)q≠1,Sn==
(2)q=1,Sn=na1
热点一 等差数列
例1
(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a6=12,则S7的值是( )
A.21B.24C.28D.7
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-1 思维启迪 (1)利用a1+a7=2a4建立S7和已知条件的联系; (2)将a3,a6的范围整体代入. 答案 (1)C (2)(-3,21) 解析 (1)由题意可知,a2+a6=2a4,则3a4=12,a4=4,所以S7==7a4=28. (2)S9=9a1+36d=3(a1+2d)+6(a1+5d) 又-1 ∴-3<3(a1+2d)<3,0<6(a1+5d)<18, 故-3 思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a1和d,可利用方程思想; (2)等差数列的性质 ①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq; ②Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,仍成等差数列; ③am-an=(m-n)d⇔d=(m,n∈N*); ④=(A2n-1,B2n-1分别为{an},{bn}的前2n-1项的和). (3)等差数列前n项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项,利用性质解决. (1)已知等差数列{an}中,a7+a9=16,S11=,则a12的值是( ) A.15B.30 C.31D.64 (2)在等差数列{an}中,a5<0,a6>0且a6>|a5|,Sn是数列的前n项的和,则下列说法正确的是( ) A.S1,S2,S3均小于0,S4,S5,S6…均大于0 B.S1,S2,…S5均小于0,S6,S7,…均大于0 C.S1,S2,…S9均小于0,S10,S11…均大于0 D.S1,S2,…S11均小于0,S12,S13…均大于0 答案 (1)A (2)C 解析 (1)因为a8是a7,a9的等差中项,所以2a8=a7+a9=16⇒a8=8,再由等差数列前n项和的计算公式可得S11===11a6,又因为S11=,所以a6=,则d==,所以a12=a8+4d=15,故选A. (2)由题意可知a6+a5>0,故 S10==>0, 而S9===9a5<0,故选C. 热点二 等比数列 例2 (1)(20xx·安徽)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=_____________________. (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则等于( ) A.4n-1B.4n-1 C.2n-1D.2n-1 思维启迪 (1)列方程求出d,代入q即可; (2)求出a1,q,代入化简. 答案 (1)1 (2)D 解析 (1)设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d, a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1, ∴q===1. (2)∵∴ 由①②可得=2,∴q=,代入①得a1=2, ∴an=2×()n-1=, ∴Sn==4(1-), ∴==2n-1,故选D. 思维升华 (1){an}为等比数列,其性质如下: ①若m、n、r、s∈N*,且m+n=r+s,则am·an=ar·as; ②an=amqn-m; ③Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列(q≠-1). (2)等比数列前n项和公式 Sn= ①能“知三求二”;②注意讨论公比q是否为1;③a1≠0. (1)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( ) A.1B.2 C.4D.8 (2)在等比数列{an}中,a1+an=34,a2·an-1=64,且前n项和Sn=62,则项数n等于( ) A.4B.5 C.6D.7 答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵a4-2a+3a8=0,∴2a=a4+3a8,即2a=4a7,∴a7=2,∴b7=2,又∵b2b8b11=b1qb1q7b1q10=bq18=(b7)3=8,故选D. (2)设等比数列{an}的公比为q,由a2an-1=a1an=64,又a1+an=34,解得a1=2,an=32或a1=32,an=2.当a1=2,an=32时,Sn====62,解得q=2.又an=a1qn-1,所以2×2n-1=2n=32,解得n=5.同理,当a1=32,an=2时,由Sn=62,解得q=.由an=a1qn-1=32×()n-1=2,得()n-1==()4,即n-1=4,n=5.综上,项数n等于5,故选B. 热点三 等差数列、等比数列的综合应用 例3 已知等差数列{an}的公差为-1,且a2+a7+a12=-6. (1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn; (2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn,若存在m∈N*,使对任意n∈N*,总有Sn 思维启迪 (1)利用方程思想求出a1,代入公式求出an和Sn; (2)将恒成立问题通过分离法转化为最值. 解 (1)由a2+a7+a12=-6得a7=-2,∴a1=4, ∴an=5-n,从而Sn=. (2)由题意知b1=4,b2=2,b3=1, 设等比数列{bn}的公比为q, 则q==, ∴Tm==8[1-()m], ∵()m随m增加而递减, ∴{Tm}为递增数列,得4≤Tm<8. 又Sn==-(n2-9n) =-[(n-)2-], 故(Sn)max=S4=S5=10, 若存在m∈N*,使对任意n∈N*总有Sn 则10<4+λ,得λ>6.即实数λ的取值范围为(6,+∞). 思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法 (1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便. (2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题,求解时用等差(比)数列的相关知识,将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可. 已知数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求证: +++…+<. (1)解 ∵,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+, 当n=1时,2a1=S1+,∴a1=, 当n≥2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-, 两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, ∴=2, ∴数列{an}是首项为,公比为2的等比数列, ∴an=×2n-1=2n-2. (2)证明 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=log222n+1-2×log222n+3-2=(2n-1)(2n+1), =×=(-), +++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)<(n∈N*). 即+++…+<. 1.在等差(比)数列中,a1,d(q),n,an,Sn五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算. 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 3.等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性 d>0⇔{an}为递增数列,Sn有最小值. d<0⇔{an}为递减数列,Sn有最大值. d=0⇔{an}为常数列. (2)等比数列的单调性 当或时,{an}为递增数列,当或时,{an}为递减数列. 4.常用结论 (1)若{an},{bn}均是等差数列,Sn是{an}的前n项和,则{man+kbn},{}仍为等差数列,其中m,k为常数. (2)若{an},{bn}均是等比数列,则{can}(c≠0),{|an|},{an·bn},{manbn}(m为常数),{a},{}仍为等比数列. (3)公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…,成等比数列,且公比为==q. (4)等比数列(q≠-1)中连续k项的和成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,成等比数列,其公差为qk. 等差数列中连续k项的和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,成等差数列,公差为k2d. 5.易错提醒 (1)应用关系式an=时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. (2)三个数a,b,c成等差数列的充要条件是b=,但三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac. 真题感悟 1.(20xx·大纲全国)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.3 答案 C 解析 数列{lgan}的前8项和S8=lga1+lga2+…+lga8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4 =lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4. 2.(20xx·北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大. 答案 8 解析 ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0. ∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0. ∴数列的前8项和最大,即n=8. 押题精练 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列一定成立的是( ) A.若a3>0,则a2013<0 B.若a4>0,则a2014<0 C.若a3>0,则a2013>0 D.若a4>0,则a2014>0 答案 C 解析 因为a3=a1q2,a2013=a1q2012,而q2与q2012均为正数,若a3>0,则a1>0,所以a2013>0,故选C. 2.已知数列{an}是首项为a,公差为1的等差数列,bn=.若对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,则实数a的取值范围为________. 答案 (-8,-7)
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- 高考 学理 二轮 专题 练习 41 等差数列 等比数列 答案