中考专题 中考数学 针对性练习 图形旋转 解答题5含答案.docx
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中考专题中考数学针对性练习图形旋转解答题5含答案
2019年中考数学针对性练习图形旋转解答题
如图
(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:
△ADG≌△ABE;
(2)连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;
(3)如图
(2),将图
(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.
如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.
(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).
(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?
并说明理由.
(3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小.
在正方形ABCD中,连接BD.
(1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数.
(2)如图1,在
(1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′,AB′与BD交于M,AE′的延长线与BD交于N.
①依题意补全图1;
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.
(3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)
两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置,直角顶点重合在点O处,AB=25,CD=17.保持纸片AOB不动,将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°<α<90°)角度,如图2所示.
(1)利用图2证明AC=BD且AC⊥BD;
(2)当BD与CD在同一直线上(如图3)时,求AC的长和α的正弦值.
如图1若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:
CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图2位置时,CD=BE是否仍然成立?
若成立请证明,若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3位置时,△AMN是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.
如图①,在平面直角坐标系中,点A(0,3).点B(-3,0),点C(1,0),点D(0,1).连AB,AC,BD.
(1)求证:
BD⊥AC;
(2)如图②,将△BOD绕着点0旋转,得到△B'OD'当点D'落在AC上时,求AB'的长;
(3)试直接写出
(2)中点B的坐标.
在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,当α=90°时,求AE′,BF′的长;
(Ⅱ)如图②,当α=135°时,求证AE′=BF′,且AE′⊥BF′;
(Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).
如图1,在△ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°)
(1)当∠BAC=60°时,将BP旋转到图2位置,点D在射线BP上.若∠CDP=120°,则∠ACD∠ABD(填“>”、“=”、“<”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是;
(2)当∠BAC=120°时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若∠CDP=60°,求证:
BD﹣CD=
AD;
(3)将图3中的BP继续旋转,当30°<α<180°时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若∠CDP=120°,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).
菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON绕点O旋转,射线OM交边BC于点E,射线ON交边DC于点F,连接EF.
(1)如图1,当∠ABC=90°时,△OEF的形状是;
(2)如图2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF的形状,并说明理由;
(3)在
(1)的条件下,将∠MON的顶点移到AO的中点O′处,∠MO′N绕点O′旋转,仍满足∠MO′N+∠BCD=180°,射线O′M交直线BC于点E,射线O′N交直线CD于点F,当BC
=4,且S△O/EF:
S四边形ABCD=9:
8时,直接写出线段CE的长.
在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=0.6,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A1B1C。
(1)如图,当点B1在线段BA延长线上时。
①求证:
BB1∥CA1;②求△AB1C的面积;
(2)如图,点E是BC边的中点,点F为线段AB上的动点,在△ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差。
答案
解:
(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90º
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD∴∠BAE=∠DAG∴△BAE≌△DAG
(2)∠FCN=45º
理由是:
作FH⊥MN于H∵∠AEF=∠ABE=90º∴∠BAE+∠AEB=90º,∠FEH+∠AEB=90º∴∠FEH=∠BAE又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90º∴△EFH≌△ABE∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH∵∠FHC=90º,∴∠FCH=45º
(3)当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变理由是:
作FH⊥MN于H
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90º结合
(1)
(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG
又∵G在射线CD上∠GDA=∠EHF=∠EBA=90º∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE
∴EH=AD=BC=b,∴CH=BE,∴
=
=
∴在Rt△FEH中,tan∠FCN=
=
=
∴当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,tan∠FCN=
。
【解答】解:
(1)作ME⊥x轴于E,如图1所示:
则∠MEP=90°,ME∥AB,
∴∠MPE+∠PME=90°,
∵四边形OABC是正方形,∴∠POC=90°,OA=OC=AB=BC=4,∠BOA=45°,
∵PM⊥CP,∴∠CPM=90°,∴∠MPE+∠CPO=90°,∴∠PME=∠CPO,
在△MPE和△PCO中,
,∴△MPE≌△PCO(AAS),
∴ME=PO=t,EP=OC=4,∴OE=t+4,∴点M的坐标为:
(t+4,t);
(2)线段MN的长度不发生改变;理由如下:
连接AM,如图2所示:
∵MN∥OA,ME∥AB,∠MEA=90°,∴四边形AEMF是矩形,
又∵EP=OC=OA,∴AE=PO=t=ME,∴四边形AEMF是正方形,
∴∠MAE=45°=∠BOA,∴AM∥OB,∴四边形OAMN是平行四边形,∴MN=OA=4;
(3)∵ME∥AB,∴△PAD∽△PEM,∴
,即
,∴AD=﹣
t2+t,
∴BD=AB﹣AD=4﹣(﹣
t2+t)=
t2﹣t+4,∵MN∥OA,AB⊥OA,∴MN⊥AB,
∴四边形BNDM的面积S=
MN•BD=
×4(
t2﹣t+4)=
(t﹣2)2+6,∴S是t的二次函数,
∵
>0,∴S有最小值,当t=2时,S的值最小;
∴当t=2时,四边形BNDM的面积最小.
【解答】解:
(1)∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠ABD=∠ADB=45°,
∵AE⊥BD,∴∠ABE=∠BAE=45°,
(2)①依题意补全图形,如图1所示,
②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,
将△AND绕点D顺时针旋转90°,得到△AFB,
∴∠ADB=∠FBA,∠BAF=∠DAN,DN=BF,AF=AN,
∵在正方形ABCD中,AE⊥BD,∴∠ADB=∠ABD=45°,
∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,
在Rt△BFM中,根据勾股定理得,FB2+BM2=FM2,
∵旋转△ANE得到AB1E1,∴∠E1AB1=45°,∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°,
∵∠BAF=DAN,∴∠BAB1+∠BAF=45°,∴∠FAM=45°,∴∠FAM=∠E1AB1,
∵AM=AM,AF=AN,∴△AFM≌△ANM,∴FM=MN,
∵FB2+BM2=FM2,∴DN2+BM2=MN2,
(3)如图2,
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,∴DF=GB,
∵正方形ABCD的周长为4AB,△CEF周长为EF+EC+CF,
∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,∴4AB=2(EF+EC+CF),∴2AB=EF+EC+CF
∵EC=AB﹣BE,CF=AB﹣DF,∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF,∴EF=DF+BE,
∵DF=GB,∴EF=GB+BE=GE,由旋转得到AD=AG=AB,
∵AM=AM,∴△AEG≌△AEF,∠EAG=∠EAF=45°,
和
(2)的②一样,得到DN2+BM2=MN2.
【解答】
(1)证明:
如图2中,延长BD交OA于G,交AC于E.
∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠DOB,
在△AOC和△BOD中,
,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,
∵∠DBO+∠GOB=90°,∵∠OGB=∠AGE,∴∠CAO+∠AGE=90°,∴∠AEG=90°,∴BD⊥AC.
(2)解:
如图3中,设AC=x,∵BD、CD在同一直线上,BD⊥AC,∴△ABC是直角三角形,
∴AC2+BC2=AB2,∴x2+(x+17)2=252,解得x=7,
∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°,∠ABC+∠DBO=45°,∴∠α=∠ABC,
∴sinα=sin∠ABC=
=
.
解:
(1)CD=BE.理由如下:
∵△ABC和△ADE为等边三角形∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60o
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60o-∠EAC,∠DAC=∠DAE-∠EAC=60o-∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC,∴△ABE≌△ACD∴CD=BE
(2)△AMN是等边三角形.理由如下:
∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD.
∵M、N分别是BE、CD的中点,BM=
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o∴△AMN是等边三角形.
设AD=a,则AB=2a.∵AD=AE=DE,AB=AC,∴CE=DE.
∵△ADE为等边三角形,∴∠DEC=120o,∠ADE=60o,
∴∠EDC=∠ECD=30o,∴∠ADC=90o.
∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30o,∴CD=
.
∵N为DC中点,∴
,∴
.
∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN
解法二:
△AMN是等边三角形.理由如下:
∵△ABE≌△ACD,M、N分别是BE、CN的中点,∴AM=AN,NC=MB.
∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN,∴∠MAB=∠NAC,∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形,设AD=a,则AD=AE=DE=a,AB=BC=AC=2a
易证BE⊥AC,∴BE=
,
∴
∴
∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN
(1)∠ACD=∠ABD,BD=CD+AD;
(2)略;(3)BD+CD=
AD.
(1)△OEF是等腰直角三角形;证明:
如图1,∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,∴OB=
OC,∠BOC=90°,∠BCD=90°,∠EBO=∠FCO=45°,
∴∠BOE+∠COE=90°,∵∠MON+∠BCD=180°,∴∠MON=90°,
∴∠COF+∠COE=90°,∴∠BOE=∠COF,
在△BOE与△COF中,∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,∴△OEF是等腰直角三角形;故答案为等腰直角三角形;
(2)△OEF是等边三角形;证明:
如图2,过O点作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,
∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°,∵四边形ABCD是菱形,∴CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,
∴OG=OH,∠BCD=180°﹣60°=120°,∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°,
∴∠GOH+∠BCD=180°,∴∠MON+∠BCD=180°,∴∠GOH=∠EOF=60°,
∵∠GOH=∠GOF+∠FOH,∠EOF=∠GOF+∠EOG,∴∠EOG=∠FOH,
在△EOG与△FOH中,∴△EOG≌△FOH(ASA),∴OE=OF,∴△OEF是等边三角形;
解:
(1)①证明:
∵AB=AC,B1C=BC∴∠1=∠B,∠B=∠ACB,∵∠2=∠ACB(旋转角相等),∴∠1=∠2∴BB1∥CA1②过A作AF⊥BC于F,过C作CE⊥AB于E
∵AB=AC,AF⊥BC∴BF=CF∵cos∠ABC=0.6,AB=5,∴BF=3∴BC=6∴B1C=BC=6
∵CE⊥AB∴BE=B1E=
∴BB1=
,CE=
∴AB1=
,
∴△AB1C的面积为:
(2)如图过C作CF⊥AB于F,以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,EF1有最小值。
此时在Rt△BFC中,CF=4.8,∴CF1=4.8,∴EF1的最小值为4.8-3=1.8;
如图,以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,EF1有最大值。
此时EF1=EC+CF1=3+6=9∴线段EF1的最大值与最小值的差为9-1.8=7.2。
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