数学史讲义 之 《数系的扩充》.ppt
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数学史讲义 之 《数系的扩充》.ppt
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数系的扩充,数系的扩充,从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要,数的概念在不断地发展.从数学内部来看,数集是在按某种“规则”不断扩充的.,自然数,自然数是“数”出来的,其历史最早可以追溯到五万年前.,负数,负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽(公元250年前后)首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.,刘徽(公元250年前后),数集扩充到整数集,分数(有理数),分数(有理数)是“分”出来的.早在古希腊时期,人类已经对有理数有了非常清楚的认识,而且他们认为有理数就是所有的数.,数集扩充到有理数集,1,1,边长为1的正方形的对角线长度为多少?
?
无理数,毕达哥拉斯(约公元前560480年),无理数是“推”出来的.公元前六世纪,古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理,发现了“无理数”.“无理数”的承认(公元前4世纪)是数学发展史上的一个里程碑.,数集扩充到实数集,实数集能否继续扩充呢?
正数与负数,有理数与无理数,都是具有“实际意义的量”,称之为“实数”,构成实数系统.实数系统是一个没有缝隙的连续系统.,请解下面方程,在实数范围内有解吗?
历史回顾,1484年,法国数学家舒开(Chuquet,1445-1500)在其算数三篇中,解方程式,得根:
他声明这个根是不可能的.,历史回顾,意大利波洛尼亚大学数学教授卡尔丹在这个问题上作出了重要贡献.,卡尔丹(Cardano,1501-1576),历史回顾,1545年,卡尔丹在大衍术中写道:
“要把10分成两部分,使二者乘积为40,这是不可能的,不过我却用下列方式解决了.”,能作为“数”吗?
它表示什么意义呢?
虚数,虚数是“算”出来的.1637年,法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”(“想象中(imaginary)的数”).,笛卡尔(R.Descartes,1596-1661),虚数,1777年,瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”表示称为虚数单位.,欧拉(L.Euler,17071783),数集再次扩充,数系扩充的科学道理,从数学内部来看,数集是在按某种“规则”不断扩充的。
自然数集中,?
运算中可以实施;整数集中,?
运算中可以实施;有理数集中,?
运算中可以实施;实数集中,?
运算中可以实施.,数系扩充的科学道理,自然数中减法产生,整数系统;整数中除法产生,有理数系统;自然数中开方产生,实数系统;负数中开方产生,新的系统.,负数,分数,无理数,虚数,数系扩充的科学道理,逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色;逆运算的运算法则来源于正运算,因此比正运算困难,以致可能出现无法进行的现象,从而必须引进新东西,使数系得以扩展.,数系的每一次扩充,基本都是运算的需要,数集扩充到复数集,在复数范围内解下面方程,小结,1.了解:
数的发展经历,理解:
下列字母:
Q、R、C、Z、N分别表示什么数集,用符号表示它们的包含关系.,从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要,数的概念在不断地发展.从数学内部来看,数集是在按某种“规则”不断扩充的.,引入一个新数i,叫做虚数单位,并规定:
2.对虚数单位i的规定,
(2)实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算律仍然成立。
(1)i2=1;,在上述种规定下,我们把形如a+bi(其中a、bR)的数称为复数,通常用字母z表示.a+bi(a、bR)也称为复数的代数形式.其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.全体复数组成的集合叫做复数集,记为C.,3.复数及相关概念,4.复数分类,复数z=a+bi(a,bR),注意:
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的条件.,必要但不充分,5.记识,-1的平方根为,-a(a0)的平方根为.,i,6.两个复数相等的充要条件,设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则z1=z2,即:
两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。
注意:
两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小,实数,无理数,分数,自然数(包括0),有理数,负整数,整数,复数,虚数,(自然数集N),(整数集Z),(有理数集Q),(实数集R),(复数集C),
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