六年级数学思维训练计数综合四.docx

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六年级数学思维训练计数综合四

2014年六年级数学思维训练：

计数综合四

一、兴趣篇

1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？

2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？

3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：

比赛过程一共有多少种不同的方式？

4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？

5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？

6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：

三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？

7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：

一共有多少种熄灯方案？

8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？

四位数共有多少个？

9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？

10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？

（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）

二．拓展篇

11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？

12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：

先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？

第1页（共22页）

分米，14次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是13．

（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

次后回到起点，每次4）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃（2分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

跳跃的长度仍是1条线段，从图中最多可以数3，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出14．如图116从图中最多可以数出4条线段，2，如果每条直线上有4个点，连出出7个三角形；如图从图中最多可以数出多少个三角形？

10条线段，如果每条直线上有10个点，连出个三角形，

个，共有多少种分苹果的方法？

如个小朋友，每个小朋友至少分3115．把20个苹果分给果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？

块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少．冬冬有1016种不同的吃法？

每名议员都可以选择”的提案进行投票，435名议员对“拒绝缴纳联合国会费17．美国众议院提案就会被通反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，投赞同票、过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？

3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？

．有10个小朋友排成一列，要从中选出18种菜，1种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放19．一次自助餐，共有10但可以重复选菜，请问：

共有多少种选菜方案？

个女生，共有多少种排列22个男生之间至少有720．3个男生和个女生站成一排，要求每方法？

如果站成一圈呢？

，那么这样的长方体有多少个？

231021．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是）（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．且相邻面的颜色1种颜色，种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用．22用4那么共有多少如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，必须不相同，种不同的染色方法？

三．超越篇10个是红球，13个小球，其中323．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着这样个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，如果2个是白球．的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？

，那么可以进行如组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1．对于由1至624可以245136下的1次操作：

记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，次操作的六位数有多少个？

125436→．请问：

可以进行5425136245136进行两次操作：

→222第页（共页）

25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？

如果要穿成一个圈呢？

26．有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：

在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？

27．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：

有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？

28．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，…，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：

（1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？

（2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？

29．

（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？

（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？

（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）

第3页（共22页）

2014年六年级数学思维训练：

计数综合四

参考答案与试题解析

一、兴趣篇

1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？

【分析】数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法，观察图形可知，每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．而且，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．据此即可解答．

【解答】解：

观察图形可知：

在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，

所以不同的取法共有49×4=196（种）．

答：

一共有196种不同的取法．

2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？

【分析】4个鸡蛋和4个鸭蛋8天吃完，相当于8个位置，拿出4个鸡蛋或4个鸭蛋占据4

==70种吃法．个位置，根据组合公式共有

=70=【解答】解：

（种）答：

共有70种吃法．

3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：

比赛过程一共有多少种不同的方式？

×=70=2【分析】七局四胜，可以分常昊胜或古力胜，根据组合公式有2种不×同的方式．

×【解答】解：

2

=2×=2×35

=70（种）

答：

比赛过程一共有70种不同的方式．

第4页（共22页）

4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？

【分析】利用插板法可知：

10个橘子排成一行有9个间隔，从当中选出2个间隔各插入一个板子，将10个橘子分成了3份，保证两个板子中至少有一个橘子，即每份中至少有一个

==36种分法．橘子，一共

=36解：

（种）【解答】=答：

一共36种分法．

5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？

【分析】8集可以分1天、2天、3天、4天播出，且电视剧播放顺序不能改变，采用插板法：

+=165×种安排播出的方法．++×

解：

×【解答】+×++

×7+4+=4+×

=4+42+84+35

=165（种）

答：

共有165种安排播出的方法．

6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：

三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？

【分析】三种选项的统计数字的可能性就是将40分成3个数字的和，可以为0，所以我们可以用插板法，先加3个人，共43个人、42个间隔，插2个板进去分成3组，分完后再每

==8610种．的情况，所以共有组减1个人就剩下40个人了，而且满足有

【解答】=861解：

有（种）=答：

三个选项的统计数字共有861种不同的可能．

7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：

一共有多少种熄灯方案？

【分析】根据插空法可知：

将这7盏灯，插到剩下的11盏灯里．有12个位置．所以熄灯方

==792种．案有

解：

【解答】

=

页（共5第22页）

=792（种）

答：

一共有792种熄灯方案．

8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？

四位数共有多少个？

【分析】利用插板法：

9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个．四位数也是如此．由此解决问题．

【解答】解：

9看作9个苹果，中间插入2个挡板，分为3部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上2个间隔，

==28共有（个）

中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上3个间隔，

==56共有（个）

答：

三位数共有28个，四位数共有56个．

9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？

【分析】利用数字1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得出答案案即可．

【解答】解：

用1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．

因为相邻两节不能同色，所以当前一节确定之后，后一节只有两种颜色可以使用，

因此，可能有3×2×2×2×2=48个不同的染色方法．由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节．因此，将一个涂过色的棒倒转180°来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色．这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法．

所以上面的结果中有一半是重复的，则可以得到48÷2=24种不同的圆棒．

10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？

（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）

【分析】由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：

1、2、3、4；将其中编号最小的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2→3→4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论．

解：

×2=5×【解答】2=10（种）

答：

共有10种不同的染色方式．

二．拓展篇

11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？

第6页（共22页）

8中可以排多少个三个格子的直排：

先讨论8×【分析】格的方格组合：

8×8再次简化为单列为1、8个；3格的单列三个格子可以排成1①由如为个；4格可以排成2②…

个不重复的三个格子的直排；8格应该可以排出6可以推出单列）个三个格2，行列相等×（单算行共有8行×8×2、8×8的格阵中那么应该可以排成68×2=96：

子的直排，再讨论可以排成多少个L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，L①一般的三个格子直排加上一个格子组成个；×4=384，那么L就应该有96再加到第三个格子的左右）（边×2=484②第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去×6个）；框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2336个．384﹣48=336个；所以应该有③26×﹣4×6×8×2×4【解答】解：

48﹣=384（个）=336型．“L”答：

一共可以数出336个由4个单位小正方形组成的

．一位射手按下列规则去击碎靶子：

列（如图）个泥制的靶子挂成312．一次射击比赛中，7先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，个靶子共有多少种不同的顺序？

则击碎全部7

个靶子，第一列由题意可知：

只需保证同一列的靶子顺序为从下到上即可，一共7【分析】

×第二列和第三列依次有三个靶子共×和种，由此由乘法原理得共种顺序，种顺序．

解：

××【解答】6

×=35=210（种）210种不同的顺序．答：

击碎全部7个靶子共有

分米，1如果它每一次跳跃的长度都是）1一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．（13．那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

227第页（共页）

（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？

【分析】

（1）青蛙必然是两步左，两步右，因此只要把两个“左”和两个“右”排成一列，每一

种排法就对应着青蛙的一种跳法，有=6（种）；

排成一列，有右”下”“左”“=24

（2）分为两类：

第一类，上下左右各一步，相当于把“上”“

，有×2=12（种），所以共24+12=36（种）；第二类，上下各两步或左右各两步，类似

（1）．（种）

【解答】解：

（1（种））=6答：

这只青蛙共有6种可能的跳法．

+×）2

2（=24+12

=36（种）

答：

这只青蛙共有36种可能的跳法．

14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？

【分析】以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2），其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2），依此即可确定三角形的个数．

【解答】解：

一条直线上有3个点时，就有2+1=3条线段，分别对应3个三角形，

另一条直线也是如此，也有3个三角形．

以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2）．

其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2）

当n=10时，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210（个）．

答：

从图中最多可以数出210个三角形．

15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？

如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？

【分析】

（1）每个小朋友至少分得3个苹果，先每个小朋友都分得3个苹果，满足要求；那么还剩（20﹣3=17）个苹果，这17个苹果重新分配，每个小朋友可能再分得0至17个苹果，当其中两个人再分的个数确定，第三个人再分的个数随之确定；

第8页（共22页）

当第一个小朋友分得0个，第二个小朋友可分得0～17个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有18种分法；

当第一个小朋友分得1个，第二个小朋友可分得0～16个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有17种分法；

当第一个小朋友分得2个，第二个小朋友可分得0～15个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有16种分法；

…

当第一个小朋友分得17个，第二个小朋友可分得0个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有1种分法；

共有：

18+17+16+…+1=171（种）．

（2）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：

一个小朋友没有分到苹果，共有21种分法，2个小朋友没有分到苹果，共有1种分法，由此求得共有20+1=21种分法．

【解答】解：

18+17+16+…+1=171（种）

20+1=21（种）

答：

每个小朋友至少分1个，共有171种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有21种分法．

16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？

【分析】每吃完一块，都有两种选择：

继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．

9【解答】解：

2=512（块）；

答：

一共有512种不同的吃法．

17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？

【分析】因为表决结果是拒绝缴纳，所以赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：

当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，

当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，

当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，

…

当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，

由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395种可能的三种票数的统计情况．

【解答】解：

赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：

当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，

当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，

当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，

…

当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，

由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395（种）

第9页（共22页）

答：

共有71395种可能的三种票数的统计情况．

18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？

【分析】不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空，然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决．

【解答】解：

7个“不选”排成一列，8个空中插入3个“选”，

=共有

=56（种）

答：

有56种不同的选法．

19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：

共有多少种选菜方案？

【分析】考虑两种方法：

①逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；

②利用插空法解决：

相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有=715种．

【解答】解：

方法一：

四盘都一样：

10，

三盘一样：

10×9=90，

两盘一样另两盘也一样，10×9÷2=45，

两盘一样另两盘不一样，10×（9×8÷2）=360，

没有两盘一样的，=210，

最后的答案就是10+90+45+360+210=715（种）．

方法二：

让盘子来“选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有=715种．个相同的小球放入10相当于将4答：

共有715种选菜方案．

20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？

如果站成一圈呢？

【分析】也有三种，

（1）先看7个苹果与3个隔板的放法．每两个隔板之间至少有两个苹果．那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3个苹果．三个板子×种方法；20×，3，2+11+1+1；共有20种，所以站成一排共有可以分类：

（2）10个位置，进行编号，左右对称，各有4个，正上正下各有一个，正上方为1，按顺时针编号．题目中没有说旋转后相同为同一种．所以不用旋转，是固定的．男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法．黑棋子可以有1，4，7；1，4，8；1，5，8×种．三个位置；所以共有

第10页（共22页）

××解：

（1）20【解答】=20×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1

=604800（种）

答：

3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有604800种排列方法；

×）（2=3×2×1×7×6×5×4×3×2×1

=30240（种）

答：

如果站成一圈共有30240种排列方法．

21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？

（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）

【分析】体积=长×宽×高=1998，且长宽高为整数，可对2310分解质因数：

2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．

【解答】解：

2310=2×3×5×7×11，

根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，

第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．

答：

这样的长方体有25个．

22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？

【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：

4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相