高中数学换元法解题案例及练习题.docx
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高中数学换元法解题案例及练习题
高中数学换元法解题案例及练习题
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:
局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式:
4
+2
-2≥0,先变形为设2
=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y=
+
的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sin
α,α∈[0,
],问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x
+y
=r
(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=
+t,y=
-t等等。
我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,
]。
Ⅰ、再现性题组:
1.y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x
+1)=log
(4-x
)(a>1),则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a
}中,a
=-1,a
·a
=a
-a
,则数列通项a
=___________。
4.设实数x、y满足x
+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。
5.方程
=3的解是_______________。
6.不等式log
(2
-1)·log
(2
-2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题:
设sinx+cosx=t∈[-
],则y=
+t-
,对称轴t=-1,当t=
,y
=
+
;
2小题:
设x
+1=t(t≥1),则f(t)=log
[-(t-1)
+4],所以值域为(-∞,log
4];
3小题:
已知变形为
-
=-1,设b
=
,则b
=-1,b
=-1+(n-1)(-1)=-n,所以a
=-
;
4小题:
设x+y=k,则x
-2kx+1=0,△=4k
-4≥0,所以k≥1或k≤-1;
5小题:
设3
=y,则3y
+2y-1=0,解得y=
,所以x=-1;
6小题:
设log
(2
-1)=y,则y(y+1)<2,解得-2 log 3)。 Ⅱ、示范性题组: 例1.实数x、y满足4x -5xy+4y =5(①式),设S=x +y ,求 + 的值。 (93年全国高中数学联赛题) 【分析】由S=x +y 联想到cos α+sin α=1,于是进行三角换元,设 代入①式求S 和S 的值。 【解】设 代入①式得: 4S-5S·sinαcosα=5 解得S= ; ∵-1≤sin2α≤1∴3≤8-5sin2α≤13∴ ≤ ≤ ∴ + = + = = 此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α= 的有界性而求,即解不等式: | |≤1。 这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 【另解】由S=x +y ,设x = +t,y = -t,t∈[- , ], 则xy=± 代入①式得: 4S±5 =5, 移项平方整理得100t +39S -160S+100=0。 ∴39S -160S+100≤0解得: ≤S≤ ∴ + = + = = 【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S=x +y 与三角公式cos α+sin α=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。 第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x +y 而按照均值换元的思路,设x = +t、y = -t,减少了元的个数,问题且容易求解。 另外,还用到了求值域的几种方法: 有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x、y时,可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。 本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a +13b =5,求得a ∈[0, ],所以S=(a-b) +(a+b) =2(a +b )= + a ∈[ ],再求 + 的值。 例2.△ABC的三个内角A、B、C满足: A+C=2B, + =- ,求cos 的值。 (96年全国理) 【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得 ;由“A+C=120°”进行均值换元,则设 ,再代入可求cosα即cos 。 【解】由△ABC中已知A+C=2B,可得 由A+C=120°,设 ,代入已知等式得: + = + = + = = =-2 解得: cosα= ,即: cos = 。 【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。 所以 + =- =-2 ,设 =- +m, =- -m, 所以cosA= ,cosC= ,两式分别相加、相减得: cosA+cosC=2cos cos =cos = , cosA-cosC=-2sin sin =- sin = , 即: sin =- ,=- ,代入sin +cos =1整理得: 3m -16m-12=0,解出m =6,代入cos = = 。 【注】本题两种解法由“A+C=120°”、“ + =-2 ”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。 假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出: 由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。 所以 + =- =-2 ,即cosA+cosC=-2 cosAcosC,和积互化得: 2cos cos =- [cos(A+C)+cos(A-C),即cos = - cos(A-C)= - (2cos -1),整理得: 4 cos +2cos -3 =0, 解得: cos = y , - x 例3.设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a 的最大值和最小值。 【解】设sinx+cosx=t,则t∈[- ],由(sinx+cosx) =1+2sinx·cosx得: sinx·cosx= ∴f(x)=g(t)=- (t-2a) + (a>0),t∈[- ] t=- 时,取最小值: -2a -2 a- 当2a≥ 时,t= ,取最大值: -2a +2 a- ; 当0<2a≤ 时,t=2a,取最大值: 。 ∴f(x)的最小值为-2a -2 a- ,最大值为 。 【注】此题属于局部换元法,设sinx+cosx=t后,抓住sinx+cosx与sinx·cosx的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。 换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈[- ])与sinx+cosx对应,否则将会出错。 本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。 一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 例4.设对所于有实数x,不等式x log +2xlog +log >0恒成立,求a的取值范围。 (87年全国理) 【分析】不等式中log 、log 、log 三项有何联系? 进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。 【解】设log =t,则log =log =3+log =3-log =3-t,log =2log =-2t, 代入后原不等式简化为(3-t)x +2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以: ,解得 ∴t<0即log <0 0<
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