考研数学二真题及答案.docx
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考研数学二真题及答案
2021考研数学二真题及答案
一、填空题(此题共6小题,请将答案写在题中横线上.)
(1)三阶常系数线性齐次微分方程
的通解为y=.
(2)曲线
的渐近线方程为.
(3)函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数
.
(4)当0≤θ≤π时,对数螺线r=eθ的弧长为.
(5)一个长方形的长l以2cm/s的速率增加,宽w以3cm/s的速率增加,
那么当l=12cm,w=5cm时,它的对角线增加的速率为.
(6)设A,B为3阶矩阵,且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2,那么|A+B-1|=.
二、选择题(此题共8小题,每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所选项前的字母填在题后括号内.)
(7)函数
的无穷连续点数为
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
(8)
设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程
的两个特解.假设常数λ,μ使
该方程的解
是对应的齐次方程的解,那么
(9)曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠O)相切,那么a=(A)4e.(B)3e.(C)2e.(D)e.
(10)设m,n是正整数,那么反常积分
的收敛性
(A)仅与m值有关.(B)仅与n值有关.
(C)与m,n值都有关.(D)与m,n值都无关.
(11)
设函数z=z(x,y)由方程
确定,其中F为可微函数,且
(A)x(B)z.(C)-x.(D)-z.(12)
三、解答题(此题共9小题,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)求函数
的单调区间与极值.
(16)(Ⅰ)比拟
的大
小,说明理由;
(Ⅱ)记
,求极限
(17)设函数y=f(x)由参数方程
所确定,其中φ(t)具有二阶导数,且φ
(1)=
(18)一个高为j的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆,现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为
时(如图2),计算油的质量.
(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m3)
(19)设函数u=(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式
,确定a,b的值,使等式在变换
(20)计算二重积分
(21)设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且
。
证明:
存在
f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2
(22)设
线性方程组Ax=b存在2个小同的解.(Ⅰ)求λ,a;
(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解.
(23)设正交矩阵使得
为对角矩阵,假设Q的第1
例为
一、填空题
参考解答
(1)
(2)y=2x(3)-2n·(n-1)!
(4)
(5)3cm/s(6)3
二、选择题
(7)B(8)A(9)C(10)D(11)B(12)D(13)A(14)D
三、解答题
(15)分析:
求变限积分f(x)的一阶导数,利用其符号判断极值并求单调区间.
解
令
因为当x>1时
当-1<x
<0时时
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(0,1);f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞);极小值为f
(1)=f(-1)=0,极大值为
评注:
也可用二阶导数的符号判断极值点,此题属基此题型.
(16)分析:
对(Ⅰ)比拟被积函数的大小,对(Ⅱ)用分部积分法计算积分
,再用夹逼定理求极限。
解:
(Ⅰ)当0≤t≤1时,0≤ln(1+t)≤t,故|lnt|[ln(1+t)]n≤|ln|.由积分性质得
(Ⅱ)
于是
有由夹逼定理得
评注:
假设一题有多问,一定要充分利用前问提供的信息.
(17)分析:
先求可得关于ψ(t)的微分方程,进而求出ψ(t)
解:
由参数方程确定函数的求导公式可得
评注:
此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题,有一定难度.
(18)分析:
先求油的体积,实际只需求椭圆的局部面积.
解:
建立如图3所示的直角坐标系,那么油罐底面椭圆方程为
油的质量M=ρV。
其中油的体积V=S底·l.
故
评注:
此题假设不能记住公式那么运
算量稍显大.
(19)分析:
利用复合函数的链导法那么变形原等式即可.解:
由复合函数的链导法那么得
解得
评注:
此题主要考察复合函数链导法那么的熟练运用,是对运算能力的考核.
(20)分析:
化极坐标积分区域为直角坐标区域,相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式,然后计算二重积分.
解:
如图4,直角坐标系下,D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x},
(21)分析:
这是一个双介值的证明题,构造辅助函数,用两次拉格朗日中值定理。
证明:
两式相加得f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2
评注:
一般来说,对双介值问题,假设两个介值有关联同时用两次中值定理,假设两个介值无关联时用一次中值定理后,再用一次中值定理.
(22)
分析:
此题考察方程组解的判定与通解的求法.由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解,而且非齐次线性方程组有无穷多解.
解:
(Ⅰ)解法一
由线性方程组Ax=b存在2个不同解,得λ=-1,a=-2.
解法二由线性方程组Ax=b有2个不同的解,
因此方程组的系数行列式
得λ=1或-1;而当λ=1时,此时,Ax=b无解,所以λ=-1.由
(Ⅱ)当λ=-1,a=-2时,
故方程组Ax=b的通解为:
为任意常数.
(23)分析:
此题考察实对称矩阵的正交对角化问题.由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值,然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量,从而最终求出Q.
解:
记
得a=-1,λ=2,因此由
得A的特征值为λ1=2,λ2=-4,λ3=5,且对应于λ1=2的特征向量为
当λ2=-4时,(-4E-
A)
22
由(-4E-A)x=0得对应于λ=-4的特征向量为α=(-1,0,1)T.
当λ3=5时,(5E-A)
33
由(5E-A)x=0得对应于λ=5的特征向量为α=(1,-1,1)T.
因A为实对称矩阵,α1,α2,α3为对应于不同特征值的特征向量,所以η1,η2,η3为单位正交向量组.令
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