考研数学真题归纳线性代数.docx
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考研数学真题归纳线性代数
专题一:
行列式
1、利用行列式的性质计算
例、设
均为3维列向量,记矩阵
如果
那么
.
例、已知:
,
(1)计算行列式
;
(2)已知线性方程组
有无穷多解,求
,并求
的通解。
例、设矩阵
现矩阵
满足方程
其中
(
)求证
.
(2)
为何值,方程组有唯一解,求
.
(3)
为何值,方程组有无穷多解,求通解.
2、利用矩阵的性质计算
例、设矩阵
为2阶单位矩阵,矩阵
满足
则
=.
例、设矩阵
矩阵
满足
其中
为
的伴随矩阵,
是单位矩阵,则
=__________.
专题二:
矩阵
1、逆矩阵
例、设
则
=_____________.
例、设
为
阶非零矩阵,
为
阶单位矩阵.若
则
(A)
不可逆,
不可逆(B)
不可逆,
可逆
(C)
可逆,
可逆(D)
可逆,
不可逆
例、设矩阵
的伴随矩阵
且
其中
为4阶单位矩阵,求矩阵
.
例、设
均为2阶矩阵,
分别为
的伴随矩阵,若
则分块矩阵
的伴随矩阵为
(A)
(B)
(C)
(D)
2、初等矩阵
例、设
是3阶方阵,将
的第1列与第2列交换得
再把
的第2列加到第3列得
则满足
的可逆矩阵
为
(A)
(B)
(C)
(D)
例、设A为3阶矩阵,把A的第二列加到第一列得到矩阵B,再交换B的第二行与第3行得到单位阵E,记
,
,则A=()
A
B
C
D
例、设
为3阶矩阵,将
的第2行加到第1行得
再将
的第1列的-1倍加到第2列得
记
则
(A)
(B)
(C)
(D)
例、设
为3阶矩阵,
为3阶可逆矩阵,且
,
,
则
()
(A)
(B)
(C)
(D)
例、设
为
阶可逆矩阵,交换
的第1行与第2行得矩阵
分别为
的伴随矩阵,则
(A)交换
的第1列与第2列得
(B)交换
的第1行与第2行得
(C)交换
的第1列与第2列得
(D)交换
的第1行与第2行得
3、矩阵的秩
例、
为
的转置,
为
的转置.证明:
(
)
.
(2)若
线性相关,则
.
例、设X为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵
的秩为________。
例、设矩阵
则
的秩为________.
例、设
为
型矩阵
为
型矩阵,若
则
(A)秩
秩
(B)秩
秩
(C)秩
秩
(D)秩
秩
专题三:
线性方程组
1、解的判定定理
例、已知方程组
无解,则
=_____________.
例、设有齐次线性方程组
试问
取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
例、已知四阶方阵
均为四维列向量,其中
线性无关,
.若
求线性方程组
的通解.
例、已知3阶矩阵
的第一行是
不全为零,矩阵
(
为常数),且
求线性方程组
的通解.
2、基础解系
例、设有齐次线性方程组
和
其中
均为
矩阵,现有4个命题:
若
的解均是
的解,则秩
秩
若秩
秩
则
的解均是
的解
若
与
同解,则秩
秩
若秩
秩
则
与
同解
以上命题中正确的是
(A)
(B)
(C)
(D)
例、已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵
的秩
.
(2)求
的值及方程组的通解.
例、设
已知线性方程组
存在两个不同的解.
(1)求
(2)求方程组
的通解.
例、设线性方程组
与方程
有公共解,求
的值及所有公共解.
例、设
为线性方程组
的一个基础解系,
其中
为实常数,试问
满足什么条件时
也为
的一个基础解系?
例、设
是4阶矩阵,
为A的伴随矩阵。
若
是
的一个基础解系,则
的基础解系可为()
A
B
C
D
3、应用(数学一数学二)
例、已知平面上三条不同直线的方程分别为
.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
例、设有三张不同平面,其方程为
(
)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
专题四:
向量
1、线性表示
例、设
是3维向量空间
的一组基,则由基
到基
的过渡矩阵为
(A)
(B)
(C)
(D)
例、设向量组
,
,
不能由向量组
,
,
线性表示;
(1)求
的值;
(2)将
用
线性表示
2、线性相关性
例、设
其中
为任意常数,则下列向量组线性相关的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
例、设
维列向量组
线性无关,则
维列向量组
线性无关的充分必要条件为
(A)向量组
可由向量组
线性表示
(B)向量组
可由向量组
线性表示
(C)向量组
与向量组
等价
(D)矩阵
与矩阵
等价
例、设向量组
:
可由向量组
:
线性表示,则
(A)当
时,向量组
必线性相关(B)当
时,向量组
必线性相关
(C)当
时,向量组
必线性相关(D)当
时,向量组
必线性相关
例、设
为满足
的任意两个非零矩阵,则必有
(A)
的列向量组线性相关
的行向量组线性相关
(B)
的列向量组线性相关
的列向量组线性相关
(C)
的行向量组线性相关
的行向量组线性相关
(D)
的行向量组线性相关
的列向量组线性相关
例、设
均为
维列向量,
是
矩阵,下列选项正确的是
(A)若
线性相关,则
线性相关
(B)若
线性相关,则
线性无关
(C)若
线性无关,则
线性相关
(D)若
线性无关,则
线性无关.
3、极大无关组
例、设
若由
形成的向量空间的维数是2,则
=.
例、从
的基
到基
的过渡矩阵为.
4、综合运用
例、设
(1)求满足
的
.
的所有向量
.
(2)对
(1)中的任意向量
证明
无关.
专题五:
特征值特征向量
1、特征值特征向量的定义与性质
例、设
为2阶矩阵,
为线性无关的2维列向量,
则
的非零特征值为
.
例、若3维列向量
满足
其中
为
的转置,则矩阵
的非零特征值为.
例、设
是矩阵
的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为
则
线性无关的充分必要条件是
(A)
(B)
(C)
(D)
2、相似对角化
例、设矩阵
的特征方程有一个二重根,求
的值,并讨论
是否可相似对角化.
例、设
为4阶对称矩阵,且
若
的秩为3,则
相似于
(A)
(B)
(C)
(D)
例、设
则
与
(A)合同且相似(B)合同但不相似
(C)不合同但相似(D)不合同且不相似
例、设矩阵
则
与
(A)合同,且相似(B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似
例、设
为同阶方阵,
(1)若
相似,证明
的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明
(1)的逆命题不成立.
(3)当
为实对称矩阵时,证明
(1)的逆命题成立.
3、对称矩阵的对角化
例、设矩阵
求
的特征值与特征向量,其中
为
的伴随矩阵,
为3阶单位矩阵.
例、设3阶实对称矩阵
的各行元素之和均为3,向量
是线性方程组
的两个解.
(1)求
的特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵
和对角矩阵
使得
.
例、A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且
求
(1)A的特征值与特征向量
(2)矩阵A
例、设3阶实对称矩阵
的特征向量值
是
的属于特征值
的一个特征向量,记
其中
为3阶单位矩阵.
(1)验证
是矩阵
的特征向量,并求
的全部特征值与特征向量.
(2)求矩阵
.
例、已知三阶矩阵
和三维向量
使得
线性无关,且满足
.
(1)记
求
使
.
(2)计算行列式
.
4、应用
例、某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将
熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
成为熟练工.设第
年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为
和
记成向量
(1)求
与
的关系式并写成矩阵形式:
(2)验证
是
的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.
(3)当
时,求
例、设
为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如图,则
的正特征值个数为
(A)0(B)1(C)2(D)3
专题六:
二次型
已知实二次型
经正交变换可化为标准型
则
=_____________.
已知二次型
的秩为2.
(
)求
的值;
(2)求正交变换
把
化成标准形.
(3)求方程
=0的解.
设二次型
.
(1)求二次型
的矩阵的所有特征值;
(2)若二次型
的规范形为
求
的值.
设二次型
在正交变换
下的标准形为
且
的第三列为
(1)求
(2)证明
为正定矩阵,其中
为3阶单位矩阵.
三阶矩阵
,
为矩阵
的转置,已知
,且二次型
。
1)求
2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。
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