系列导体平行板静电平衡问题的讨论.docx
- 文档编号:7016791
- 上传时间:2023-01-16
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:223.45KB
系列导体平行板静电平衡问题的讨论.docx
《系列导体平行板静电平衡问题的讨论.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《系列导体平行板静电平衡问题的讨论.docx(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
系列导体平行板静电平衡问题的讨论
系列导体平行板静电平衡问题的讨论
系列导体平行板静电平衡问题的讨论
黄存可,赵凤吹,王祥高,郭进†
(广西大学物理科学与工程技术学院,广西南宁,530004)
摘要:
本文基于物理意义的挖掘,并运用等效原理和叠加原理,对系列平行导体板的静电平衡问题进行较为系统的研究.作者认为该类型问题可以按边界条件的不同进行区域划分,每个区域都可以归纳为几种基本类型中的一种,每种基本类型的求解过程都非常规范且简单.另外,还可以用整体法把多个导体板的问题转化为2个板的简单情况.
关键词:
边界条件;物理意义;等效原理;叠加原理;整体法
静电平衡问题是静电场中的重要问题,平行导体板系列和球形导体系列是静电平衡问题中出现频率最高的两种典型问题.下面作者结合自身教学实践,谈谈系列导体板的静电平衡问题.
导体板接地后起静电屏蔽作用,其一侧的带电导体板无法影响另外一侧导体板的电荷分布,即接地板可以视为一种边界.另外,无穷远也是一种边界.于是可将系列导体板问题按边界性质分为3大类:
1)两边都是无限远边界;2)两边分别是接地和无限远边界;3)两边都是接地边界.下面分别进行分类讨论.1两边都是无限远边界情况
我们从一个最简单的常见例题[1]说起:
已知:
导体板A带电量QA,B板带QB,面积都为S(图1),不考虑边缘效应.求:
A、B板上各面的电荷密度.
图1两个非接地导体板图2两相邻非接地板间的电场分布及高斯面
解:
静电平衡的基本方程有两种,一是静电平衡方程,二是电荷守恒方程.设4个面的电荷密度和所激发的电场如图1所示.导体板A处于静电平衡时,其内部的任意点P的电场为零.取电场向右为正,则有:
(1)
类似的,对导体板B,有:
(2)
由A、B板电荷守恒,分别有:
(3)
(4)
解方程
(1)-(4)得:
(5)
(5)式中,计算某面的电荷量时,该面的电荷取正.
(6)
知道面电荷量情况(或面电荷密度)后,电场分布、电势差等其他电学量都可以陆续求出.
我们知道,每个导体板有2个面,对n个板则有2n个变量.每个板可列1个静电平衡和1个电荷守恒方程,共可列2n个方程.虽可通过这2n阶的方程组解答出所有的面电荷密度,但可想象,求高于6阶方程组的解已不容易.但如能对解答的数学形式赋予物理意义,无疑为问题的拓展带来帮助.
从(5)(6)式所示解答的数学形式似乎包含这么一个规律:
相邻板间的电量相反,最外2个面的电量相等.如果这是一个规律,则可以减少一半的未知量,使得求解方程的数量大大减少.
2.1接地板在最外侧
先以最简单的2个板情况为例:
图4.接地导体板在最外侧的情况
图4中B为接地板,其外侧是无限远.由于与无限远等势,B接地板和无限远间无电势差,故它们间无电场线——因此接地板B靠无限远的面电荷为零.容易知道,A板外侧的电量也为零.反之,如果A板左侧带电,由于左侧电场线的存在会使A板相对无限远的电势为无限大,而A板对右侧接地板B的电势则为有限大——两者矛盾!
故Q1=Q4=0,Q2=QA,Q3=-QA.我们可从物理意义进行解释:
接地或无限远都是零电势,而指向接地板时的电势梯度更大,此时系统的电场能也更小,因此A板所有电场线都向其指接地板B,最终使得接地板B带电为A板总电量的相反值.
当有多块导体平板时,可以用叠加原理求解:
依次计算仅某非接地板带电而其他非接地板为中性的情况,然后进行叠加.由于中性薄板不影响其他板的电荷分布,易知每次都是接地板外侧电量为零,而内侧电量等于某带电非接地板电量的相反值.因此,当存在多个带电接地板情况下,接地板内侧的电量为:
.
另外,当系统到达平衡后,把接地线去掉,系统的电学状态不会发生变化.因此,可把序号为n的边界接地导体板,可等效为带电量为
的非接地板.此时可转化为各板电荷固定的情况——可以用前面的两端是无限远边界的解法求解.这样处理的一个好处是,如用计算机编程求解的话,可以调用统一的子程序.
2.2接地板不在最外侧
由于静电屏蔽,非外侧接地导体板将体系在接地板处划分为两个独立的部分(图5),两个独立部分都是2.1节所示情况,可以分别用2.1节所述情况求解.
但要注意:
不能将接地板j等效为一个电量为其左侧j-1个板,和右侧n-j个板上电量代数和的负值,因为这样处理相当于接地板的两侧互有影响,这与静电屏蔽的实质不符合.
图5接地板不在最外侧情况(a),可等价为2个接地板在最外侧的情况(b).
如果写计算机程序求解,可以分别求2个互相屏蔽掉导体板系列对应的矩阵,还可把求解好的2个子矩阵重新组合为一个大的分块矩阵.通过这一节,还可以得到一个推论:
只要有接地板存在,最外侧两个面的电量都为零(不管接地板有多少个,也不管接地板是否在最外侧).
3两边都接地情况
图6中,最左的第1板和最右的第n板接地.假设第1和第n板中只有1个板(为不失一般性,称之为第i板),其带电为Qi,其左侧电量为QiL,右侧为QiR.
图6.两边都是接地边界的情况
第i板分别相对第1板和第n板的电势相等:
(9)
即:
(10)
可解得[2]第i板左侧的电量为:
(11)
右侧电量为:
(12)
接地的第1板右侧和第n板左侧电量,则分别取为第2板左侧,和第n-1板右侧电量的相反值即可.
如果再在两接地板间插入无厚度一个中性导体薄板j(图6虚线部分).由于中性板j不改变原第i板相对两接地板的距离,也不改变原来的电场分布,因此中性导体薄板j不影响其插入前的面电荷分布情况.因此,依然可以用叠加原理对两边都是接地边界的情况进行求解.当两个接地板中有多个带电非接地薄板时,某非接地板某侧的电量,等于分别只有1个带电非接地板情况下,所求面上分布电量的线性叠加:
(13)
(14)
如果是有厚度的非接地板,则把所有非接地板的厚度扣除即可.此时,第i板到其右侧接地的第n板距离为:
第i板右侧到第n板左侧的距离,减去它们间所有板的总厚度.其他的以此类推.需要说明,与其他两种情况不同,在两边有接地导体板情况下,有厚度的中性导体板,会改变其他面的电荷分布情况;但用等效法处理后(折算为薄板——改变距离的定义),解答的数学形式不变.
有了以上典型情况的讨论后,更复杂的情况都可以先按照接地和无限远的边界条件进行区域划分,每个区域总属于3个大类(∞∞,∞地,地地)中的一种,然后对每个区域分别处理.如果用统一的矩阵表示,被接地导体划分为多个基本区域的情况,就对应于多个分块矩阵.
4系列平行板导体问题的整体法求解
虽然以上方法是较规范的求解方法,可直接写出所有通解.但也可以用整体法直接求解某个面的面电荷量.这里整体法也是一种等效方法,其思路是将部分连续的板视为一个整体.我们以图7情况为例进行说明.
图7中,当只需讨论第i板中右侧面的分布电荷量QiR时,可将第i板与其左侧的所有板视为一个整体,第i板右侧的所有板视为一个整体.左侧整体的总电量为:
;右侧整体的总电量为:
.此时相当于2个板的情况,很容易套用(5)式解得:
(15)
通过整体法,可以把多个导体板的复杂情况,转化为只有2个板的简单情况.这里特别指出:
用整体法时,不要跨过接地边界.
图7应用整体法的示意图
5结束语
教学实践证明,学生可通过简单练习就掌握以上方法;掌握以上方法后,学生可以游刃有余的处理系列平行板导体的静电平衡问题;而且基于以上讨论也易用计算机语言写出规范而高效的计算程序.
对于物理的学习,很多学生是“一看就懂,一做就错”.我认为,很多学生只是做一些零散的习题,只注重得到数学的形式解答而不注重解答的物理意义挖掘,也不注重对典型的习题进行拓展而形成典型的物理类型题知识.毕竟,有序的结构化知识,才是容易记忆和使用的.
另外,要注意物理基本原理在解题中的合理运用.本文中,静电屏蔽原理,等效原理,叠加原理对平行板静电平衡类型题的拓展和解法规范起到了非常重要的作用.
参考文献
[1]郭进,刘奕新,冯禄燕,等,[M]大学物理(下册),科学出版社,2009.
[2]马文蔚,[M]物理学(中册),第2版,高等教育出版社,2002.
Discussionsonelectrostaticequilibriumproblemofseriesparallelconductorplates
HUANGCun-ke,ZHAOFeng-chui,WANGXiang-gao,GUOJin
(CollegeofPhysicsScienceandTechnology,GuangxiUniversity,Nanning,Guangxi,530004)
Abstract:
Principleofequivalenceandsuperpositionprinciplewereadoptedatdiscussionsonelectrostaticequilibriumproblemofseriesparallelconductorplates.Atthesametime,physicalmeaningsaboutthemathematicresultswerealsostudied.Wepointedoutthatplatescanbedividedintosomeclassicandbasicpartitionsaccordingtoboundarycondition;eachpartitioncanbesolvedveryeasily.Meanwile,thistypeofproblemcanbetransformtoverysimplesituationthatonlycontaintwoplatesbyusingintegralmethod.
Keywords:
Boundarycondition;Physicalmeaning;Principleofequivalence;Superpositionprinciple;Integralmethod
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 系列 导体 平行 静电 平衡 问题 讨论