初中数学第05章相交线与平行线.docx
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初中数学第05章相交线与平行线
第五章相交线与平行线
测试1相交线
学习要求
1.能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手,理解对顶角、互为邻补角的概念,掌握对顶角的性质.
2.能依据对顶角的性质、邻补角的概念等知识,进行简单的计算.
(一)课堂学习检测
1.填空题
(1)如果两个角有一条______边,并且它们的另一边互为___________,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.
(2)如果两个角有______顶点,并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________,那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
(3)对顶角的重要性质是________________。
(4)如图,直线AB、CD相交于O点,∠AOE=90°,
①∠1和∠2叫做______角;∠1和∠4互为______角;∠2和∠3互为______角;∠1和∠3互为______角;∠2和∠4互为______角.
②若∠1=20°,那么∠2=______;
∠3=∠BOE-∠______=______°-______°=______;
∠4=∠______-∠1=______°-______°=______.
(5)如图,直线AB与CD相交于O点,且∠COE=90°,则
①与∠BOD互补的角有__________________________________________________;
②与∠BOD互余的角有__________________________________________________;
③与∠EOA互余的角有__________________________________________________;
④若∠BOD=42°17′,则∠AOD=______;∠EOD=_____;∠AOE=_____.
2.选择题
(1)图中是对顶角的是()
(2)如图,∠1的邻补角是().
(A)∠BOC(B)∠BOC和∠AOF
(C)∠AOF(D)∠BOE和∠AOF
(3)如图,直线AB与CD相交于O,若∠AOC+∠BOC+∠DOB=242°,则∠AOC的度数为().
(A)62°(B)118°(C)72°(D)59°
(4)如图所示,直线l1,l2,l3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是().
(A)∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°;
(B)∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30°
(C)∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°
(D)∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30°
3.判断正误
(1)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.().
(2)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角.().
(3)有一条公共边的两个角是邻补角.().
(4)如果两个角是邻补角,那么它们一定互为补角.().
(5)对顶角的角平分线在同一直线上.().
(6)有一条公共边和公共顶点,且互为补角的两个角是邻补角.().
(二)综合运用诊断
4.如图所示,AB,CD,EF交于点0,∠1=20°,∠BOC=80°,求:
∠2的度数.
5.已知:
如图,直线a、b、c两两相交,∠1=2∠3,∠2=86°,求:
∠4的度数.
6.已知,如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD∶∠DOE=4∶1,求∠AOF的度数.
7.如图,有两堵围墙,有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数,但人又不能进入围墙,只能站在墙外,请问该如何测量?
(三)拓广、探究、思考
8.已知:
如图,O是直线CD上一点,射线OA、OB在直线CD的两侧,且使∠AOC=∠BOD,试确定∠AOC与∠BOD是否为对顶角,并说明你的理由.
9.回答下列问题:
(1)三条直线AB、CD、EF两两相交,图形中共有几对对顶角(平角除外)?
几对邻补角?
(2)四条直线AB、CD、EF、GH两两相交,图形中共有几对对顶角(平角除外)?
几对邻补角?
(3)m条直线a1、a2、a3,……,am-1,am相交于点O,则图中一共有几对对顶角(平角除外)?
几对邻补角?
测试2垂线
学习要求
1.理解两条直线垂直的概念,掌握垂线的性质,能过一点作已知直线的垂线.
2.理解点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离.
(一)课堂学习检测
1.填空题
(1)当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线______,其中一条直线叫做另一条直线的______线,它们的交点叫做____________.
(2)垂线的性质
性质1:
平面内,过一点__________________与已知直线垂直.
性质2:
连结直线外一点与直线上各点的______中,______最短.
(3)直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离.
(4)如图,直线AB、CD互相垂直,记作______;直线AB、CD互相垂直,垂足为O点,记作______;线段PO的长度是点______到直线______的距离;点M到直线AB的距离是____________.
2.按要求画图
(1)如图,过A点作CD⊥MN,过A点作PQ⊥EF于B.
(图a)(图b)(图c)
(2)如图,过A点作BC边所在直线的垂线EF,垂足是D,并量出A点到BC边的距离.
(图a)(图b)(图c)
(3)如图,已知∠AOB及点P,分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN.
(图a)(图b)(图c)
(4)如图,小明从A村到B村去取鱼虫,将鱼虫放到河里,请作出小明经过的最短路线.
(二)综合运用诊断
3.判断下列语句是否正确?
(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两条直线相交,若有一组邻补角相等,则这两条直线互相垂直.().
(2)若两条直线相交所构成的四个角相等,则这两条直线互相垂直.().
(3)一条直线的垂线只能画一条.().
(4)平面内,过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直.().
(5)度量直线l外一点到直线l的距离.().
(6)点到直线的距离,是过这点画这条直线的垂线,这点与垂足的距离.().
(7)画出点A到直线l的距离.().
(8)在三角形ABC中,若∠B=90°,则AC>AB.().
4.选择题
(1)若AO⊥CO,BO⊥DO,且∠BOC=α,则∠AOD等于().
(A)180°-2α(B)180°-α
(C)
(D)2α-90°
(2)如图,点P为直线m外一点,点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm,PB=6cm,PC=3cm,则点P到直线m的距离为().
(A)3cm(B)小于3cm
(C)不大于3cm(D)以上结论都不对
(3)如图,BC⊥AC,AD⊥CD,AB=m,CD=n,则AC的长的取值范围是().
(A)AC<m(B)AC>n
(C)n≤AC≤m(D)n<AC<m
(4)若直线a与直线b相交于点A,则直线b上到直线a距离等于2cm的点的个数是().
(A)0(B)1(C)2(D)3
(5)如图,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,DE⊥BC于点E,能表示点到直线(或线段)的距离的线段有()条.
(A)3(B)4
(C)7(D)8
5.自钝角∠AOB的顶点O作射线OC⊥OB,若射线OC把∠AOB分成的两个角∠AOC∶∠COB=2∶3,求∠AOB的度数.
6.已知:
如图,三条直线AB、CD、EF相交于O,且CD⊥EF,∠AOE=70°,若OG平分∠BOF,求∠DOG.
(三)拓广、探究、思考
7.已知平面内有一条直线m及直线外三点A、B、C.分别过这三个点作直线m的垂线,想一想有几个不同的垂足?
画图说明.
8.已知点M,试在平面内作出四条直线l1,l2,l3,l4,使它们分别到点M的距离是1.5cm.
9.从点O引出四条射线OA、OB、OC、OD,且AO⊥BO,CO⊥DO,试探索∠AOC与∠BOD的数量关系.
10.一个锐角与一个钝角互为邻角,过顶点作公共边的垂线,若此垂线与锐角的另一边构成
直角,与钝角的另一边构成
直角,则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍?
测试3同位角、内错角、同旁内角
学习要求
当两条直线被第三条直线所截时,能从所构成的八个角中识别出哪两个角是同位角、内错角及同旁内角.
(一)课堂学习检测
1.如图,若直线a、b被直线c所截,在所构成的八个角中指出,下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角?
(1)∠1与∠2是______;
(2)∠5与∠7是______;
(3)∠1与∠5是______;(4)∠5与∠3是______;
(5)∠5与∠4是______;(6)∠8与∠4是______;
(7)∠4与∠6是______;(8)∠6与∠3是______;
(9)∠3与∠7是______;(10)∠6与∠2是______.
2.如图:
(1)∠D的同位角是______.
(2)∠D的内错角是______.
(3)∠D的同旁内角是______.
3.如图所示,
(1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的______角;
(2)∠A和∠ACE可看成是直线______、______被直线______所截得的______角.
4.如图所示,
(1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的______角;
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线______所截得的______角;
(3)∠EDC和∠C可看成是直线______、______被直线______所截得的______角.
(二)综合运用诊断
5.已知图①~④,
图①图②图③图④
在上述四个图中,∠1与∠2是同位角的有().
(A)①、②、③、④(B)①、②、③
(C)①、③(D)①
6.如图,下列结论正确的是().
(A)∠5与∠2是对顶角(B)∠1与∠3是同位角
(C)∠2与∠3是同旁内角(D)∠1与∠2是同旁内角
7.如图,∠1和∠2是内错角,可看成是由直线().
(A)AD、BC被AC所截构成
(B)AB、CD被AC所截构成
(C)AB、CD被AD所截构成
(D)AB、CD被BC所截构成
8.如图,直线AB、CD与直线EF、GH分别相交,图中的同旁内角共有()对.
(A)4对(B)8对
(C)12对(D)16对
(三)拓广、探究、思考
9.如图,三条直线两两相交,共有几对对顶角?
几对邻补角?
几对同位角?
几对内错角?
几对同旁内角?
测试4平行线及平行线的判定
学习要求
1.理解平行线的概念,知道在同一平面内两条直线的位置关系,掌握平行公理及其推论.
2.掌握平行线的判定方法,能运用所学的“平行线的判定方法”,判定两条直线是否平行?
用作图工具画平行线,从而学习如何进行简单的推理论证.
(一)课堂学习检测
1.基础知识
(1)在同一平面内,______的两条直线叫做平行线.若直线a与直线b平行,则记作______.
(2)在同一平面内,两条直线的位置关系只有______、______.
(3)平行公理是:
_____________________________________________________________.
(4)平行公理的推论是如果两条直线都与______,那么这两条直线也______.即三条直线a、b、c,若a∥b,b∥c,则______.
(5)两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外):
①两条直线被第三条直线所截,如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为:
______,两直线平行.
②两条直线被第三条直线所截,如果______,那么______,这个判定方法2可简述为:
______,______.
③两条直线被第三条直线所截,如果______那么______,这个判定方法3可简述为:
2.已知:
如图,请分别依据所给出的条件,判定相应的哪两条直线平行?
并写出推理的根据.
(1)如果∠2=∠3,那么____________.(____________,____________)
(2)如果∠2=∠5,那么____________.(____________,____________)
(3)如果∠2+∠1=180°,那么____________.(____________,____________)
(4)如果∠5=∠3,那么____________.(____________,____________)
(5)如果∠4+∠6=180°,那么____________.(____________,____________)
(6)如果∠6=∠3,那么____________.(____________,____________)
3.已知:
如图,请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.
(1)∵∠B=∠3(已知),∴______∥______.(______,______)
(2)∵∠1=∠D(已知),∴______∥______.(______,______)
(3)∵∠2=∠A(已知),∴______∥______.(______,______)
(4)∵∠B+∠BCE=180°(已知),∴______∥______.(______,______)
(二)综合运用诊断
4.依据下列语句画出图形.
(1)已知:
点P是直线AB外一点,过点P作直线CD∥AB.
(2)已知:
三角形ABC及BC边的中点D,过D点作DF∥CA交AB于M,再过D点作DE∥AB交AC于N点.
5.已知:
如图,∠1=∠2,求证:
AB∥CD.
(1)分析:
如图,欲证AB∥CD,只要证∠1=______.
证法1:
∵∠1=∠2,(已知)
又∠3=∠2,()
∴∠1=______.()
∴AB∥CD.(______,______)
(2)分析:
如图,欲证AB∥CD,只要证∠3=∠4.
证法2:
∴∠4=∠1,∠3=∠2,()
又∠1=∠2,(已知)
从而∠3=______.()
∴AB∥CD.(______,______)
6.绘图员画图时经常使用丁字尺,丁字尺分尺头、尺身两部分,尺头的里边和尺身的上边应平直,并且一般互相垂直,也有把尺头和尺身用螺栓连接起来,可以转动尺头,使它和尺身成一定的角度.
用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示.画直线时要按住尺身,推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框.
请你说明:
利用丁字尺画平行线的理论依据是什么?
(三)拓广、探究、思考
7.已知:
如图,CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2,试确定射线DF与AE的位置关系,并说明你的理由.
(1)问题的结论:
DF______AE.
(2)证明思路分析:
欲证DF______AE,只要证∠3=______.
(3)证明过程:
证明:
∵CD⊥DA,DA⊥AB,()
∴∠CDA=∠DAB=______°.(垂直定义)
又∠1=∠2,()
从而∠CDA-∠1=______-______,(等式的性质)
即∠3=______.
∴DF______AE.(___________,___________)
8.已知:
如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.
求证:
AB∥DC.
证明∵∠ABC=∠ADC,
∴
()
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,
∴
()
∵∠______=∠______.()
∵∠1=∠3,()
∴∠2=______.(等量代换)
∴______∥______.()
9.已知:
如图,∠1=∠2,∠3+∠4=180°,试确定直线a与直线c的位置关系,并说明你的理由.
(1)问题的结论:
a______c.
(2)证明思路分析:
欲证a______c,只要证______∥______.
(3)证明过程:
证明:
∵∠1=∠2,()
∴a∥______,(_________,_________)①
∵∠3+∠4=180°
∴c∥______,(_________,_________)②
由①、②,因为a∥______,c∥______,
∴a______c.(_________,_________)
测试5平行线的性质
学习要求
1.掌握平行线的性质,并能依据平行线的性质进行简单的推理.
2.了解平行线的判定与平行线的性质的区别.
3.理解两条平行线的距离的概念.
(一)课堂学习检测
1.填空题
(1)平行线具有如下性质
①性质1:
______被第三条直线所截,同位角______.这个性质可简述为两直线______,同位角______.
②性质2:
两条平行线______,______相等.这个性质可简述为____________,______.
③性质3:
____________,同旁内角______.这个性质可简述为____________,______.
(2)同时______两条平行线,并且夹在这两条平行线间的____________叫做这两条平行线的距离.
2.已知:
如图,请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.
(1)如果AB∥EF,那么∠2=______,理由是____________________________.
(2)如果AB∥DC,那么∠3=______,理由是____________________________.
(3)如果AF∥BE,那么∠1+∠2=______,理由是_______________________.
(4)如果AF∥BE,∠4=120°,那么∠5=______,理由是________________.
3.已知:
如图,DE∥AB.请根据已知条件进行推理,分别得出结论,并在括号内注明理由.
(1)∵DE∥AB,()
∴∠2=______.(__________,__________)
(2)∵DE∥AB,()
∴∠3=______.(__________,__________)
(3)∵DE∥AB(),
∴∠1+______=180°.(__________,__________)
(二)综合运用诊断
4.已知:
如图,∠1=∠2,∠3=110°,求∠4.
解题思路分析:
欲求∠4,需先证明______//______.
解:
∵∠1=∠2,()
∴______//______.(_________,_________)
∴∠4=______=______°.(_________,_________)
5.已知:
如图,∠1+∠2=180°,求证:
∠3=∠4.
证明思路分析:
欲证∠3=∠4,只要证______//______.
证明:
∵∠1+∠2=180°,()
∴______//______.(_________,_________)
∴∠3=∠4.(_________,_________)
6.已知:
如图,∠A=∠C,求证:
∠B=∠D.
证明思路分析:
欲证∠B=∠D,只要证______//______.
证明:
∵∠A=∠C,()
∴______//______.(_________,_________)
∴∠B=∠D.(_________,_________)
7.已知:
如图,AB∥CD,∠1=∠B,
求证:
CD是∠BCE的平分线.
证明思路分析:
欲证CD是∠BCE的平分线,
只要证______//______.
证明:
∵AB∥CD,()
∴∠2=______.(_________,_________)
但∠1=∠B,()
∴______=______.(等量代换)
即CD是_______________________.
8.已知:
如图,AB∥CD,∠B=35°,∠1=75°,求∠A的度数.
解题思路分析:
欲求∠A,只要求∠ACD的大小.
解:
∵CD∥AB,∠B=35°,()
∴∠2=∠______=______°(_________,_________)
而∠1=75°,
∴∠ACD=∠1+∠2=______。
∵CD∥AB,()
∴∠A+______=180°.(_________,_________)
∴∠A=______=______.
9.已知:
如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°.求∠D的度数.
分析:
可利用∠DCE作为中间量过渡.
解:
∵AB∥CD,∠B=50°,()
∴∠DCE=∠______=______°(_________,_________)
又∵AD∥BC,()
∴∠D=∠______=______°(_________,_________)
想一想:
如果以∠A作为中间量,如何求解?
解法2:
∵AD∥BC,∠B=50°,()
∴∠A+∠B=______.(_________,_________)
即∠A=______-______=______°-______°=______.
∵DC∥AB,()
∴∠D+∠A=______.(_________,_________)
即∠D=______-______=______°-______°=______.
10.已知:
如图,已知AB∥CD,AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,求∠APC的度数.
解:
过P点作PM∥AB交AC于点M.
∵AB∥CD,()
∴∠BAC+∠______=180°()
∵PM∥AB,
∴∠1=∠______,()
且PM∥______。
(平行于同一直线的两直线也互相平行)
∴∠3=∠______。
(两直线平行,内错角相等)
∵AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,()
()
()
∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4=90°()
总结:
两直线平行时,同旁内角的角平分线______。
(三)拓广、探究、思考
11.已知:
如图,AB∥CD,EF⊥AB于M点且EF交CD于N点.求证:
EF∥CD.
12.已知:
如图,已知DE∥BC,∠D∶∠DBC=2∶1,∠1=∠2,求∠E的度数.
13.问题探究:
(1)如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行,那么这两个角的大小有何关系?
举例说明.
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角的大小有何关系?
举例说明.
14.已知:
如图,AB∥CD,试猜想∠A+∠AEC+∠C=?
为什么?
说明理由.
15.如图,AB、CD是两根钉在木板上的平行木条,将一根橡皮筋固定在A、C两点,点E是橡皮筋上的一点,拽动E点将橡皮筋拉紧后,请你探索∠A、∠AEC、∠C之间具有怎样的关系并说
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