实数的相关概念.docx
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实数的相关概念
第一讲实数
一、实数的相关概念:
1.实数的分类:
2.偶数:
奇数:
3.相反数
只有符号不相同的两个数(“0”的相反数是“0”)
表示:
表示一个数的相反数,就是在这个数的前面加“—”号
如:
a
—a;a—b
—(a—b)=b—a
性质特征:
互为相反数的两个数,和为零。
4.倒数
乘积为“1”的两个数(“0”没有倒数)
表示:
a
特征:
互为倒数的两个数积为“1”(若a与b互为倒数,则ab=1)
5.绝对值
就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.
(互为相反数的两个数绝对值相等)
︱a︱=︱—a︱;︱a—b︱=︱b—a︱
︱a︱=
6.平方根、算术平方根、立方根:
(1)一个正数
的平方等于
即
那么这个正数
叫做
的算术平方根.(记作
).
(2)一个数的平方等于
那么这个数叫做
的平方根.
(3)正数有两个平方根(±
),它们互为相反数;其中正的平方根(
≥0)是它的算术平方根.
(4)“0”的平方根只有一个,就是“0”;负数没有平方根.
(5)完全平方数
平方根是整数的数
如:
0,1,4,9,16,……
(6)立方根(
),正数的立方根是正数;“0”的立方根是“0”;负数的立方根是负数
二、数轴:
1.数轴三要素:
原点、正方向、单位长度
2.数轴上的点与实数一一对应;任意一个有理数在数轴上都有一个点与之对应,但数轴上的任意一个点不一定有一个有理数与之对应.(无理数点)
三、科学记数法、近似数及有效数字:
1.科学记数法:
精确度:
(1)保留几位有效数字;
(2)精确到那一位
2.近似数:
用四舍五入精确到某一位的数
3.有效数字:
四、实数的运算:
1.实数运算法则:
2.实数大小的比较
①利用数轴进行比较;②作差法;③作商法;④平方法.
3.除法
4.乘方
典型例题一
例01.下面命题中,正确的是()
A.不带根号的数一定是有理数
B.有绝对值最大的数,也有绝对值最小的数
C.任何实数的绝对值都是正数
D.无理数一定是无限小数
分析圆周率
是不带根号的数,但它是无限不循环小数,所以它是无理数,可见命题A不正确.实际上,可以写出很多不带根号的无理数,如0.101001000100001……就是一个无理数;不存在最大的正数(对任何正数a,都不如
大),导致不存在绝对值最大的数,所以B是假命题;实数0的绝对值不是正数,可见命题C也不正确.
解答D
说明考查实数的意义.
典型例题二
例02.下列说法中正确的是()
A.无理数是开方开不尽的数
B.无限小数不能化成分数
C.无限不循环小数是无理数
D.一个负数的立方根是无理数
分析实数可分为无理数和有理数.有限小数和无限循环小数统称为有理数,无限不循环小数称为无理数.开方开不尽的数一定是无理数,但无理数还包含了其他数,如
,任何有理数都枳经成分数形成.所以A、B、D都是错的.C正确.
解答C
说明考查实数的分类及定义
无理数主要有3种表现形式:
①开方开不尽的数;②一些常数,如
、e等;③无限不循环小数,如0.1010010001…
典型例题三
例03.实数
,
,
,3.1416,
,
,0.2020020002……(每两个2之间多一个零)中,无理数的个数有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
分析其中无理数有:
,
,0.202002…
解答B
说明考查无理数的定义
及
有关的数都是无理数.
典型例题四
例04.点A在数轴上和原点相距
个单位,点B在数轴上和原点相距2个单位,则A,B两点间的距离是______.
分析在数轴上和原点相距
个单位的点A有两个,即
和
两个点.点B和原点相距2个单位,则点B的坐标
或
.如图所示.
所示A、B两点间距离是:
,
,
,
.
故
或
.
解答
或
.
说明点A在数轴上的坐标为
,点B的坐标
,则A,B两点的距离是
.
典型例题五
例05.若实数a和b互为相反数,则
;若实数a,b互为倒数,则
;
分析因为a、b互为相反数,则
.若
互为倒数,则
.又因
故
解答0;1;
.
典型例题六
例06.判断下列说法是否正确,并简单说明理由
(1)实数不是有理数就是无理数.
(2)无理数都是无限小数.
(3)有理数都是有限小数.
(4)不带根号的数都是有理数.
(5)带根号的数都是无理数.
(6)数轴上的任何一点都可以表示实数.
解答
(1)实数不是有理数就是无理数.正确.因为实数就是由有理数和无理数组成的,二者必居其一.
(2)无理数都是无限小数.正确.无理数都是无限不循环小数当然都是无限小数.
(3)有理数都是有限小数.不正确.有理数中也有无限小数,例如
是有理数,但它却是
,是无限循环小数.
(4)不带根号的数都是有理数.不正确.
这个数不带根号,我们都知道它是无理数.
(5)带根号的数都是无理数.不正确.
是一个带根号的数,可是它是一个有理数.
(6)数轴上的任何一点.都可以表示实数.正确.数轴上的点与实数是一一对应的.
说明有理数和无理数统称为实数,无限不循环小数是无理数,有了无理数才使数轴上的点与实数一一对应,这些是我们判断某些说法是否正确的依据.
不要去试图确立无理数的其他定义或标准,只有紧扣无限不循环小数是无理数这个定义,才能避免错误.
典型例题七
例07.计算(精确到0.01)
(1)
;
(2)
解答
(1)原式
(2)原式
说明在实数运算中,有理数中的运算法则和运算定律同样适用,在无理数运算中,常用其近似值去代替无理数.
典型例题八
例08.化简
解答∵
,
,
,
∴
,
,
,
∴
说明关键在于根据绝对值的定义,正确地去掉绝对值的符号,以便进行运算,运算中还要注意防止发生符号错误.
典型例题九
例09.比较
与
的大小.
分析若
,则
;
,则
;若
,则
,反之亦然.
解答∵
当
时,显然,
,即
;
当
时,
,即
;
当
时,
,即
;
当
时,
,即
;
当
时,
,即
;
当
时,
,即
.
综上,当
和
时,
;当
时,
;当
和
时
.
典型例题十
例10.设x,y是有理数,并且x,y满足等式
,求
的值.
分析利用实数等于零的条件,即有理数和无理数部分分别是零.
解答∵
∴
又∵x,y都是有理数.
∴
和
都是有理数.
而由于0是有理数,
∴
必为有理数.
∴
∴当
时,
;
当
时,
.
典型例题十一
例11.怎样运用作图的方法,在数轴上找出表示
的点.
分析我们可以借助勾股定理来找出表示
的线段长.如果一个直角三角形的两条直角边长分别是1和和,那么它的斜边长就是
.
解答如图,作一个直解边分别是3和1的直角三角形,以原点O为圆心,三角形斜边长为半径画弧,它与数轴负半轴的交点C即为表示
的点.(
)
说明这个直角三角形也可以作在其他地方,但必须使它1个单位长度与数轴所取的单位长度一致.另外与学习有理数时相同数轴上原点右边的点表示正数,故
在原点左边.
典型例题十二
例12.化简下列各式
(1)
(2)
(3)
(4)
解答
(1)∵
∴
∴
(2)
(3)
(4)∵
∴
∴原式=
说明要化简带绝对值符号的式子,首先按绝对值定义,将绝对值符号去掉,再去括号,合并同类项,或进行数的运算.
典型例题十三
例13.下列说法是否正确?
为什么?
(1)无限小数都是无理数;
(2)无理数都是无限小数;
(3)有理数都是有限小数;
(4)不带根号的数都是有理数;
(5)实数与数轴上的点一一对应;
(6)实数有正实数与负实数两种.
解答:
(1)不正确,因为只有无限不循环小数方是无理数,而无限循环小数是有理数,如
是有理数
(2)正确,因为无理数是无限不循环小数;
(3)不正确,因为无限循环小数是有理数,因此有理数不一定是有限小数,如
;
(4)不正确,如
不带号,但
是无理数;
(5)正确,因为每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示.
(6)不正确,因为实数除了有正实数和负实数外,还包括0.
说明:
要理解无理数、实数的概念,掌握实数的分类,分类要有统一标准,分类后不漏不多.
典型例题十四
例14.下列各数中,哪些是有理数?
哪些是无理数?
0.5,
,3.14,
,
,
,
,
,
,0.
分析:
判定一个数是不是无理数,不能只看它的形式,还要看算出的结果,应先将含有根号的数化简,然后再根据无理数的定义进行判断.
解答:
∵
,
,
,
,
;
∴有理数有:
0.5,3.14,
,
,
,0;
无理数有:
,
,
,
.
典型例题十五
例15.计算:
(1)
(精确到0.01);
(2)
(保留三个有效数字).
解答:
(1)
;
(2)
.
说明:
近似值的计算过程中,所取近似值的小数位,必须比题目要求的精确度多取一位进行计算,最后结果按题目要求取近似值.
典型例题十六
例16.比较下列数的大小:
(1)
和3.1415;
(2)
和
分析:
比较大小首先判断数的正负,再比较数的绝对值的大小.
解答:
(1)
,
,
(2)
,而
,则
说明:
比较无理数和有理数的大小,一种是将无理数转化为近似值的有理数比较,另一种采用算术平方根的比较法,即被开方数间比较大小.
典型例题十七
例17.求下列各式的x:
(1)
;
(2)
分析:
根据绝对值的概念:
正实数的绝对值是它本身,负实数的绝对值是它的相反数,把绝对值符号内的数看作整体求解.
解答:
(1)
(2)
,
,
即
或
当
时,
,
;
当
时,
,
.
选择题
1.选择题
(1)下列说法正确是
A.无限小数都是无理数B.带根号的数是无理数
C.无理数是无限小数D.无理数是开不尽方的数
(2)和数轴上的点一一对应的数集是
A.整数集B.有理数集
C.无理数集D.实数集
(3)
,
,
,
,
,
这六个数中,无理数的个数是
A.2个B.3个C.4个D.6个
(4)下面关于0的判断正确的是
A.0是小数B.0是整数
C.0是无理数D.0是质数
(5)实数中算术平方根最小的数是
A.1B.0C.非负数D.不存在
2.选择题
(1)若
有算术平方根,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.一切实数
(2)根式
有意义,
的取值范围是
A.一切实数B.
C.
D.
(3)下列语句中正确的是
A.带根号的数都是无理数
B.不带根号的数一定是有理数
C.无理数一定是无限不循环小数
D.无限小数是无理数
(4)
是有理整数,
是
A.有理数B.负的实数
C.完全平方数D.完全平方数的相反数
(5)实数
的平方的算术平方根是
A.
B.
C.
D.
(6)下面式子成立的是
A.
B.
C.
D.
3.选择题
(1)若
与它的绝对
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