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理论力学习题答案

静力学第一章习题答案

1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图

1-4试画出两结构中构件ABCD勺受力图

1-5试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图

1-5a

1-5b

1-8在四连杆机构的ABCD勺铰链B和C上分别作用有力

F1和

F2，机构在图示位置平

衡。

试求二

力F1和F2之间的关系。

解：

杆AB,BC,

别沿着各杆端

解法1（解

假设

B和C为研究

60

CD为二力杆，受力方向分

点连线的方向。

析法）

各杆受压，分别选取销钉

对象，受力如图所示：

由共点力系平衡方程，对B点有:

对C点有：

F1

F2

解以上二,

解法2（几何法B）

分别选取销钉B和C为研究对象,

y

x

Fbc

60

F1

根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上

的力构成封闭的力多边形，如图所示。

F2

4

对C点

F2Fbcco

Fcd

FbcF1COS

F1

解以上两式可得：

F11.63F2

静力学第二章习题答案

2-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M试求A和C点处的约束力。

解：

BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连

A点和B点处的约束力必须构成一个力偶由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力

线的方向。

曲杆AB受到主动力偶M的作用，才能使曲杆AB保持平衡。

AB受力如图所示，偶逆时针为正）：

1

其中：

tan。

对bc杆有：

3

A,C两点约束力的方向如图所示。

2-4

解：

机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。

由力偶系作用下刚体的平衡条件，点

FcFb

Fa0.354—a

O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。

对BC杆有:

FbBCsin300

M2

对AB杆有:

FbFa

对0A干有:

Fa

OA

求解以上三式可得：

M

13Nm，

Fab

Fc5N，方向如图所示。

II

2-6求最后简化结果。

解：

2-6a

坐标如图所示，各力可表示为：

1a/'3

F1FiFj，

22

F2

Fi,

F3

iFi二Fj

22

先将力系向A点简化得（红色的）：

FrFi3Fj，MA—Fak2

方向如左图所示。

由于FrMA，可进一步简化为一个不过A点的力（绿色的），

主矢不变，其作用线距A点的距离d—3a，位置如左图所示。

4

2-6b

同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为:

其作用线距A点的距离d上a，位置如右图所示。

4

简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？

2-13

解：

整个结构处于平衡状态。

选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：

选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：

求解以上五个方程，可得五个未知量Fax,FAy,Fbx,FBy,MA分别为:

FAxFbxPsin（与图示方向相反）

FAyFByP（1cos）（与图示方向相同）

MAP（1cos）1（逆时针方向）

2-18

解：

选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

求解以上两个方程即可求得两个未知量Nd，，其中：

未知量不一定是力。

2-27

解：

选杆AB为研究对象，受力如下图所示。

列平衡方程：

由Fy0和Fz0可求出FAy,FAz。

平衡方程Mx0可用来校核

思考题：

对该刚体独立的平衡方程数目是几个？

2-29

解：

杆1,2,3,4,5,选板ABC助研究对象，

6均为二力杆,受力如图所示,

受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。

该力系为空间任意力系。

采用六矩式平衡方程:

f6

2f（受拉）

2

MBH

0

F4cos450a

F6cos450a0F4

2f（受压）

2

F11

2f（受压）

2

MCD

0

F1

aF3a

Fsin450

a0F3

If（受拉）

2

本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。

类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量,避免求解联立方程。

2-31力偶矩M1500Ncm

解：

取棒料为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

补充方程：

&仁“1

F2fs2

五个方程，五个未知量F1,N1,F2,N2，fs，可得方程:

解得fsi0.223,fs24.491。

当fs24.491时有：

即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数fs0.223。

2-33

解：

当45°时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

附加方程：

FsfsFN

四个方程，四个未知量Fn,Fs,T，fs，可求得fs0.646。

2-35

解：

选棱柱体为研究对象，受力如图所示。

假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程：

如果棱柱不滑动，则满足补充方程Fafs1FNA时处于极限平衡状态。

解以上五个方

FBfs2FNB

程，可求解五个未知量

FA,FNA,FB,FNB,，其中：

tan

3（fs1fs2）

fs2fs123

（1）

当物体不翻倒时fnb

0，则:

tan

600

⑵

即斜面倾角必须同时满足

（1）式和

（2）式，棱柱才能保持平衡。

静力学第三章习题答案

3-10

解：

假设杆AB,DE长为2a。

取整体为研究对

象，受力如右图所示，列平衡方程：

IF

取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平1

衡方程：

+E

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

FBy1F

Fy

0

FAyFDyFBy0

FAy

f（

与假设方向相反

Fcx

Ma

0

FDxaFBx2a0

Fbx

与假设方向相反）‘

Mb

0

Fax2aFdxa0

Fax

F（与假设方向相反）

3-12

[i

Cx

D

Fd

o

o

口

0

M

y

F2

Fi

x

C

D

M

1图所

解：

取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

杆AB为二力杆，假设其受压。

取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示,列平衡方程：

解得FacF，命题得证

注意：

销钉A和C联接三个物体

3-20

解：

支撑杆1,2,3为二力杆，假设各杆均受压。

选梁BC为研究对象，受力如图所示。

其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。

列平衡方程：

3-14

列平衡方程:

理可得Fj必过

解：

取整

即fb必过a

的一对力，取板AC为研究对象,

勺研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：

B点。

也就是Fa和Fb是大小相等，方向相反且共线

Fa、如图所示。

Mb0F3sin45°a2qaa

F32（—2qa）（受压）

a

解得：

f

A

2M（方向如

ab

图所示

选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程:

Fx0

F1F3cos4500f1—2qa（受压）

a

Fy0

F2F3sin4500f2（—2qa）（受拉）

a

选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程:

Fx

0FaxF3COS450

Ax

2qa）（与假设方向相反）

Ma

0Ma

P2a4qa

2a

F3sin4503aM0

3-21

Ma4qa22Pa

M（逆时针）

解：

选整体为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程：

Fx0FaxFbxF0

（1）

''

由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象,

作用于其

C

上的力汇交于点FbG,Fax

受力

如图所

.Fbx

示，画出力的三角形，由几何关系可得：

fe

取CEE为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

代入公式

（1）可得：

f

Ax

3-24

解：

取杆AB为研究对象，设杆重为P,受力如图所示。

列平衡方程：

取圆柱C为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

注意：

由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB

对销钉的作用力。

3-27

解：

取整体为研究对象，设杆长为L,重为P,受力如图所示。

列平衡方程：

1P

Ma0Fn2Lsin2Pcos0Fn

（1）

22tan

取杆BC为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

Mb0FnLsinP-cos2

FsLeos0FsP⑵

补充

将⑴

即

2

P

Fn

式和c4厂s

（2）式代入

1000

3-29

（1）不计圆柱重量

证明：

法1:

取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以

RC5

全约束力Frc,Frd来表示，如图所示。

如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则Frc,Frd等

值，反向，共线。

由几何关系可知，FrcFrd与接触点c,D处法线方向的夹角都是―，

，2

因此只要接触面的摩擦角大于—，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态

2

法2（解析法）：

首先取整体为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

再取杆AB为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

取圆柱为研究对象，受力如图所示。

假设圆柱半径为R,列平衡方程：

由补充方程：

FscfscFnc,FsdfsDFnd，可得如果：

则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。

证明：

（2）圆柱重量P时

取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P,C点和D点处的全约束力Frc,Frd

RC，RD

如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。

全约束力Frc与C点处法线方

向的夹角仍为因此如果圆柱自锁在C点必须满足:

2

SC

sin

1cos

tan—

2

（1）

该结果与不计圆柱重量时相同

只满足

（1）式时C点无相对滑动,

但在D点有可能滑动

（圆柱作纯滚动）。

再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得Fm-F，由几何关系可

a

刁曰・

得：

Fsctan2aF

Frc

Fl

acos—

2

法1（几何法）:

P

Frc

圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。

由几何关系

可知:

PFrc

sin[180°

（180°

2）]

sin

将

（2）式代入可得：

tan

Flsin

（PaFl）（1cos）

因此如果圆柱自锁在D点必须满足：

ftan

SD

Flsin

（PaFl）（1cos）

即当同时满足

（1）式和（3）式时，圆柱自锁，命题得证法2（解析法）：

取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得：

FF

SCSD

tan2aF，

Fnd

P旦（cossintan—）

a2

代入补充方程：

Fsd

fsDFND，

可得如果圆柱自锁在

D点必须满足:

Flsin

SD

即当同时满足⑴式和⑶式时，圆柱自锁,

tan⑶

（PaFl）（1cos）

命题得证。

3-30

解：

取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

由题可知，杆AC为二力杆。

作用在杆BC上的力有主动力F，以及B和C处的约束力Fb

和Fac，由三力平衡汇交，可确定约束力Fb和Fac的方向如图所示，其中：

tan-，

3

杆AC受压。

取轮A为研究对象，受力如图所示，设Fac的作用线与水平面交于F点，列平衡方程:

取轮B为研究对象，受力如图所示，设Fb的作用线与水平面交于G点，列平衡方程:

解以上六个方程，可得：

1

FndPF，Fne

4

P3F，

4

1

FsdFseF，Md

4

若结构保持平衡，则必须同时满足:

Me

-FR

4

MDFND，MEFNE，FSD

fsFND

FSEfsFNE

即:

Fmin{—P,亠P“P

RR31

4fsP}

13fs}

因此平衡时F的最大值Fmax0.36，

此时:

FsdFse0.091（N），M°Me

0.91（Ncm）

3-35

解：

由图可见杆桁架结构中杆CF,FGEH为零力杆。

用剖面SS将该结构分为两部分,取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

Me

0F1cos6Fh4Fg3

Fi14.58（kN）（受拉）

3-38

Fx

Fy

Fisin

F3Fh0

F3

31.3（受拉）

F2FicosFg0

18.3（受压）

取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程:

FFcd0FcdF（受压）

取节点C为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

12，解以上两个方程可得：

Fbc0.586F（受压）

22

解：

假设各杆均受压

Fx0

其中：

tan

3-40

BC

解：

取整体为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

MA0FB2aF2aF3a0

用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉,如图所示。

列平衡方程：

Fb2.5F

取右边部分为研究对象，受力

F

0

\2

S•:

Fb

0

Fx

FAy

A

Me

a

B

3\

aF23a

f27f（受拉）

6

F1

5F（受拉）

6

静力学第四章习题答案

4-1

解：

1.选定由杆OAOC,DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。

作用在系统上

的主动力为F,

Fm。

2.该系统的位置可通过杆0A与水平方向的夹角B完全确定，有一个自由度。

选参数B为广义坐标。

3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆0A有一个微小的转角SB,相应的各点的虚位移如下：

rA

OA，

「bOB

，rc

6C

rD

O1D，

rBrC，

rDrE

代入可得：

rA

、30rE

4.由虚位移原理

W（Fi）

0有：

对任意rE0有：

Fm30F，物体所受的挤压力的方向竖直向下

4-5

解：

1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。

设弹簧力F1,F2，且F1F2，将弹簧

力视为主动力。

此时作用在系统上的主动力有F1,F2，以及重力P。

2•该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。

由几何关系可知：

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移SB，则质心的虚位移为：

弹簧的长度|2asin—，在微小虚位移sb下：

2

4.由虚位移原理W（Fi）0有：

其中F2k（2asina），代入上式整理可得：

22

由于a0，对任意0可得平衡时弹簧刚度系数为：

4-7

解：

将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷f3，大小为6q。

1.求支座B处的约束力

解除B点处的约束，代之以力FB，并将其视为主动力，系统还受到主动力

F,,F2,F3,M的作用，如图所示。

在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。

系统有一个自由度，选转角为广义坐标。

给定虚位移，由虚位移原理W（Fi）0有：

FBrBcos450MF2y2cos1500F3y30

（1）

各点的虚位移如下：

代入

（1）式整理可得：

对任意0可得：

FB18.6（kN），方向如图所示。

2.求固定端A处的约束力

解除A端的约束，代之以Fax,FAy,MA，并将其视为主动力，系统还受到主动力

F1,F2,F3,M的作用。

系统有三个自由度，

选定A点的位移xa,yA和梁AC的转角

为广义坐标。

2a.求Fax

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移

xA0,

yA

0,

，此时整

个结构平移，如上图所示

由虚位移原理

W（Fi）

0有：

FAxxA

F1x1F2

x2cos1200

（2）

各点的虚位移如下：

代入

（2）式整理可得：

对任意xA0可得：

FAx

2（kN），方向如图所示

2b・求FAy

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移xA0,yA

0,

，此时梁

AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。

由虚位移原理

W（Fi）

0有：

（3）

FAyyAF3y3F2y2cos30M

各点的虚位移如下：

代入（3）式整理可得：

对任意yA0可得：

FAy3.8（kN），方向如图所示。

2c.求MA

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移XA0,yA0,0,此时梁

AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。

由虚位移原理W（Fi）0有：

MaF1x1F2x2cos12000⑷

各点的虚位移如下：

代入（4）式整理可得：

对任意0可得：

Ma24（kNm），顺时针方向。

4-8

解：

假设各杆受拉，杆长均为a。

1.求杆1受力

去掉杆1,代之以力P1，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变,绕A点转动，因此有rDAD,rKAK，且：

BE，且:

对刚性杆CD和杆CE由于

CD,rECE，因此rC0。

由虚位移原理

滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。

三角形BEK绕B点旋转rE

W（Fi）0有：

代入各点的虚位移整理可得:

对任意

0可得：

Pi

巳（受压）。

2

2.求杆2受力

去掉杆2,代之以力P2，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐

标，如上图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有

rKAK，且：

同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转rEBE，且:

杆AD绕A点转动rDAD，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如

图所示，且：

同理可知rC0。

由虚位移原理W（FJ0有：

代入各点的虚位移整理可得：

对任意0可得：

p3Fl（受压）。

3.求杆3受力

去掉杆3,代之以力p3，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。

在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，

rDAD,rKAK，且：

同理可知B点不动，rEBE，且：

由虚位移原理W（Fi）0有：

代入各点的虚位移整理可得：

对任意0可得：

p3Fi（受拉）。

36

入得

动力学第一章习题答案

解:

运动方程：

y丨tan，其中kt。

将运动方程对时间求导并将300代

1—6

证明：

质点做曲线运动，所以

代入上式可得

丰y

aatan,

设质点的速度为V,由图可知:

cos

Vyan，所以：

va

anVa

Vy

2

将Vy

V

c,an

3

Va

c

►x

o

证毕

证明：

因为

anasin

所以:

llaVl

V

证毕

1—10

解：

设初始时，绳索AB的长度为

y

l,时刻t时的长度

为s,则有关系式:

sLVot，并且s2l2x2

将上面两式对时间求导得：

sv0,2ss2xx

由此解得：

xsVo（a）

x

（a）式可写成：

xxv0s，将该式对时间求导得:

xxx2sv0Vg（b）

2222

将（a）式代入（b）式可得：

axx辿——蛰（负号说明滑块A的加速度向上）

xx

取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有:

将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程:

其中：

cos,x,sin

Vx2l2

l

x

2.2

xl

22

Vol厂，y

x

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得:

m（g

1—11

解：

设

由于纟绳子始终处于拉直状态，因此绳子上

的投影相等，即:

）：

1（X）2

空、

x3

B与圆盘的切点，由于纟

n

^^■11

VbR，

、B'两点的速度在A、B两点连线上

（a）

VbVaCOS

因为

cos

x2R2

（b）

（c）

将上式代入（a）式得到A点速度的大小为:

VAR「x2—R2

由于VAx,（c）式可写成:

xX2R2Rx，将该式两边平方可得:

将上式两边对时间求导可得:

将上式消去2x后，可求得:

2R4x

（x2R2）2

（d）

由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为

取套筒A为研究对象，受力如图所示,

根据质点矢量形式的运动微分方程有:

将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的

aA

R

2R4x（x2R2）2

运动微分方程:

其中:

R

sin,cos

X

一X2R2

x

2R4x

（x2R2）2'

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得

1—13

解：

动点：

套筒A;

动系：

0A杆;

定系：

机座;

运动分析:

绝对运动：

直线运动;

相对运动：

直线运动；

牵连运动：

定轴转动。

根据速度合成定理vavevr

有:

VaCOSVe，因为AB杆平动，所以JV，

由此可得VCOSVe，OC杆的角速度为

Ve

OA

OA丄，所以

cos

2

VCOS

l

当45°时，OC杆上C点速度的大小为Vc

2AC0

aVcos45aVa

l2l

va2ve2vr2

即Va2Vai，由上两式可得:

1-15

解：

动点：

销子M

动系1:

圆盘

动系2：

0A杆

动系：

机座；

运动分析：

绝对运动：

曲线运动

相对运动：

直线运动

牵连运动：

定轴转动

根据速度合成定理有

Va1Ve1Vr1，

由于动点M的绝对速度与动系的选取无关,

将（a）式在向在x轴投影，可得：

ve1sin30°ve2sin30°vr2cos30°

由此解得：

1-17

解：

动点：

圆盘上的C点；

动系：

OA杆；

定系：

机座；

运动分析：

绝对运动：

圆周运