数学建模.docx

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数学建模

A题葡萄酒的评价

一、问题重述

如何确定葡萄酒的评价与哪些因素有关呢？

我们可以通过葡萄酒的质量来进行评价。

而确定葡萄酒质量一般是通过一批有资质的评酒员对葡萄酒进行品尝，并对其分类指标打分，由求和得到的总分来确定葡萄酒的质量。

酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接关系，并且葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标（例如花色苷、氨基酸总量、单宁等）都会在一定程度上反映了葡萄酒和葡萄的质量。

根据两组评酒员对红、白葡萄酒打分，以及葡萄和葡萄酒的理化指标、葡萄和葡萄酒的芳香物质，提出以下问题：

问题一：

两组评酒员通过对红、白葡萄酒的外观分析、香气分析、口感分析和平衡整体评价共4大类进行评价。

因此，分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信。

问题二:

根据酿酒葡萄和葡萄酒的质量的相关数据进行分析处理，从而对酿酒葡萄进行分级。

问题三：

通过分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标，说明它们之间的关系。

问题四：

分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并且论证可否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

二、模型假设

1、求平均值小数点均保留1位，假设小数点1位之后的数据对评

则结果可忽略不计。

2、不考虑理化指标中各物理量之间的物理、化学的变化。

3、假设在酿制葡萄酒时，酿制技术和外界温度、湿度等条件均相等。

三、符号说明

葡萄酒样品号码（

=1,2...28）

抽到葡萄酒的号码（红葡萄酒1,2...27号，白葡萄酒1,2...28号）

品酒员对品尝的葡萄酒打出分数的平均分

品酒员的编号（1,2...10号）

品酒员所打出的分数

方差

离散函数

系数待定

大于等于

小于等于

区间

四、问题分析

针对问题一：

问题一是关于判断两组评酒员的评价结果有无显著性差异以及哪个组更加可信。

显然，这是一个用数据来说明的问题。

为了方便求解，我们把一二组所品尝的各种红白葡萄酒样品的总得分进行汇总，为了具有代表性，再次将每组10位评酒员的评分求平均值。

用平均值来说明问题，更加能够说明问题。

为了使得到的结论具有充分的说服力，我们又引入了数学“随机变量的数字特征”中的方差。

针对问题二：

对葡萄进行分级的依据是解决这个问题的关键，我们采用了逆向思维法，从酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒质量着手，以第一问中所得到的第二组更具有可靠性为依据。

用第二组对葡萄酒的评分作为参考标准。

（外界因素均相同的情况下）用葡萄酒的质量来反推葡萄的质量。

分类依据为《葡萄酒观察家》WineSpectatormagazine杂志。

针对问题三：

要分析酿酒葡萄和葡萄酒理化指标之间的联系，主要在于分析和处理附件2中酿酒葡萄和葡萄酒的两种指标。

利用统计学知识求出各类样品的平均值，在绘制出样品和指标变化图像，观察两个图像的范围。

想办法将其中之一（样品指标），扩大一定倍数。

得到扩大后的图像，用拟合曲线来分析所得图像。

最终确定葡萄酒和酿酒葡萄理化指标间的联系。

针对问题四：

如何让处理酿酒葡萄和葡萄酒理化指标是解题的入口，众多数据如何舍取?

我们通过分析由2、3问所得到的精致葡萄、优质葡萄和普通葡萄。

通过分析这些葡萄中具有代表性的指标量。

得到这些数据之后，我们采取十分明显的折线图进行比较。

能够充分说明问题。

五模型的分析、建立于求解

1用方差建立数学模型

在分析庞大的数据资料时，以求把握其本质和规律性，常利用统计、方差、平均数等对收集起来的资料进行分析。

数理统计则是通过对随机现象有限次的观察或实验所得的数据进行归纳，找出这有限数据的内在数据规律性，并据此对整体现象的数据规律性做出推论。

利用统计、方差和平均值的知识进行实验设计和数据处理，以寻求最佳的生产方案等。

本论文则是利用统计、方差和平均数对红葡萄酒、白葡萄酒、葡萄进行统计分析，以得出酿酒的葡萄与葡萄酒之间的联系。

1.1对品酒员品尝葡萄酒数据分析

品酒员对红葡萄酒和白葡萄酒的评定，常有一定程度的主观性和随机的结论，使品酒员打分的数据不同，对最终的数据分析产生偏差，最终导致结果的不准确性。

在这种多重的庞大数据分析中常利用定性分析，多指标的综合评定[1]，整体的平均数[2]、整体的方差[3]等进行数据分析，从而得出最后较为接近的结果。

1.1.1品酒员对葡萄酒样品打分的分析

在10个品酒员对随机抽取的28个红葡萄酒和28个白葡萄酒分别进行两次打分。

打分主要依据外观分析、香气分析、口感分析、平衡/整体评价打分，其所占分数如下表：

分数

分数

外观分析

15

澄清度

5

色调

10

香气分析

30

纯正度

6

浓度

8

质量

16

口感分析

44

纯正度

6

浓度

8

持久性

8

质量

22

平衡/整体评价

11

1.2数理所采用的统计、计算软件

主要采用Excel等数学软件。

1.3对品酒员所打分数分析

1.3.1根据品酒员所打的分数分析出来的平均数

求平均数所用的公式：

（10是10名品酒员的总人数）。

求方差所用的公式：

。

红葡萄酒得分

表1红葡萄酒样品的平均分数

红葡萄酒i

第一组整体平均得分k

第二组整体平均得分k

酒样品1

62.7

68.1

酒样品2

80.3

74

酒样品3

80.4

74.6

酒样品4

68.6

72.1

酒样品5

73.3

72.1

酒样品6

72.2

66.3

酒样品7

71.5

65.3

酒样品8

72.3

66

酒样品9

81.5

78.2

酒样品10

74.2

68.8

酒样品11

70.5

61.1

酒样品12

53.9

68.3

酒样品13

74.6

68.8

酒样品14

73

72.6

酒样品15

58.7

65.7

酒样品16

74.9

69.9

酒样品17

79.3

74.5

酒样品18

59.9

65.4

酒样品19

78.6

72.6

酒样品20

78.6

75.8

酒样品21

77.1

72.2

酒样品22

77.2

71.6

酒样品23

85.6

77.1

酒样品24

78

71.5

酒样品25

69.2

68.2

酒样品26

73.8

72

酒样品27

73

71.5

表2红葡萄酒样品的平均得分折线图[4]

结论一：

通过对红葡萄酒所得的平均数表格1和表格2分析的结果可以很明显的看出，第二组红葡萄酒的总体平均得分比较稳定，波动范围在60~80分之间，而第一组红葡萄酒总体评价得分波动性较大稳定，波动范围在50~100分之间。

可以说明第二组品酒员评价结果更可信。

白葡萄酒得分

表3白葡萄酒样品的平均分数

白葡萄酒i

第一组整体平均得分k

第二组整体平均得分k

酒样品1

82

77.9

酒样品2

74.2

75.8

酒样品3

85.3

75.6

酒样品4

79.4

76.9

酒样品5

71

81.5

酒样品6

68.4

75.5

酒样品7

77.5

74.2

酒样品8

71.4

72.3

酒样品9

72.9

80.4

酒样品10

74.3

79.8

酒样品11

72.3

71.4

酒样品12

63.3

72.4

酒样品13

65.9

73.9

酒样品14

72

77.1

酒样品15

72.4

78.4

酒样品16

74

67.3

酒样品17

78.8

80.3

酒样品18

73.1

76.7

酒样品19

72.2

76.4

酒样品20

77.8

76.6

酒样品21

76.4

79.2

酒样品22

71

79.4

酒样品23

75.9

77.4

酒样品24

73.3

76.1

酒样品25

77.1

79.5

酒样品26

81.3

74.3

酒样品27

68.4

77

酒样品28

81.3

79.6

表4白葡萄酒样品的平均得分折线图

结论二：

通过对白葡萄酒所得的平均数表格3和表格4分析的结果可以很明显的看出，第二组白葡萄酒的总体平均得分比较稳定，波动范围在65~85之间，而第一组红葡萄酒总体评价得分波动性较大稳定，波动范围在60~100之间。

可以说明第二组品酒员评价结果更可信。

1.3.2根据品酒员所打的分数分析出来的方差

表5红葡萄酒的方差分数

红葡萄酒i

第一组整体方差分数

第二组整体方差分数

酒样品1

836.1

736.9

酒样品2

358.1

146

酒样品3

412.1

276.4

酒样品4

972.4

371.6

酒样品5

558.1

122.9

酒样品6

537.6

190.1

酒样品7

932.5

564.1

酒样品8

396.1

586

酒样品9

296.5

231.6

酒样品10

273.6

325.6

酒样品11

636.9

342.4

酒样品12

716.9

226.1

酒样品13

404.4

137.6

酒样品14

324

208.4

酒样品15

770.1

372.1

酒样品16

162.9

180.9

酒样品17

792.1

82.5

酒样品18

424.9

452.4

酒样品19

426.4

496.4

酒样品20

234.4

351.6

酒样品21

1044.9

319.6

酒样品22

455.6

218.4

酒样品23

292.4

222.9

酒样品24

674

96.5

酒样品25

581.6

393.6

酒样品26

281.6

374

酒样品27

448

184.5

表6红葡萄酒样品的方差得分折线图

结论三：

通过对白葡萄酒所得的平均数表格5和表格6分析的结果可以很明显的看出，第二组红葡萄酒的总体方差得分比较稳定，波动范围在100~700之间，而第一组红葡萄酒总体评价得分波动性较大稳定，波动范围在1001100之间。

可以说明第二组品酒员评价结果更可信。

表7白葡萄酒的方差分数

白葡萄酒i

第一组整体方差得分

第二组整体方差得分

酒样品1

830

232.9

酒样品2

1809.6

441.6

酒样品3

3286.1

1282.4

酒样品4

402.4

378.9

酒样品5

1138

236.5

酒样品6

1464.4

204.5

酒样品7

352.5

379.6

酒样品8

1652.4

280.1

酒样品9

834.9

956.4

酒样品10

1914.1

633.6

酒样品11

1594.1

790.4

酒样品12

1042.1

1260.4

酒样品13

1536.9

420.9

酒样品14

1028

142.9

酒样品15

1184.4

486.4

酒样品16

1602

740.1

酒样品17

1297.6

346.1

酒样品18

1408.9

272.1

酒样品19

417.6

234.4

酒样品20

579.6

450.4

酒样品21

1554.4

579.6

酒样品22

1248

482.4

酒样品23

392.9

104.4

酒样品24

1000.1

349.6

酒样品25

304.9

958.5

酒样品26

656.1

926.1

酒样品27

1299.6

320

酒样品28

724.1

228.4

表8白葡萄酒样品的方差得分折线图

结论四：

通过对白葡萄酒所得的平均数表格7和表格8分析的结果可以很明显的看出，第二组红葡萄酒的总体方差得分比较稳定，波动范围在0~1300之间，而第一组红葡萄酒总体评价得分波动性较大稳定，波动范围在0~3300之间。

可以说明第二组品酒员评价结果更可信。

1.4通过分析出来的结果综述

表9综合结论

结论

可信度

结论一

第二组评酒员

结论二

第二组评酒员

结论三

第二组评酒员

结论四

第二组评酒员

综合以上9个表格和最终的结论得出：

都是第二组评酒员的可信度更高且是比较稳定的，得出结果是第二组更可信。

2利用逆向思维建立的数学模型

2.1酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄的分类

2.2.1品酒员对随机抽取的红白葡萄酒进行各类指标的评判。

根据个人见解进行打分。

2.2.2数学逆向思维模型[5]

数学逆向思维模型是与顺向思维方法相对而言的。

在分析问题时，逆向思维不依据现有已知条件，而是从反方向（或从结果）出发，进行逆推理的一种模型。

2.2.3分析所给附件2（酿酒葡萄表）

利用数理统计学知识（excel），对附件2的数据进行数学图形分析。

得出如下结果：

图

（1）

图

（2）

由图像可以看出。

无论是白葡萄还是红葡萄。

随着葡萄样品的变化趋势相同。

而且如下图附表3的部分图：

中文名称

分子量

化学式

葡萄样品11

葡萄样品14

葡萄样品1

乙醛

44

C2H4O

0.927

0.908

1.427

丙酮

58

C3H6O

5.902

4.978

7.981

乙酸甲酯

74

C3H6O2

乙酸乙酯

88

C4H8O2

17.538

17.478

18.468

3-甲基丁醛

86

C5H10O

1.686

3.089

2.039

乙醇

46

C2H6O

20.489

20.276

27.498

丙酸乙酯

102

C5H10O2

2-戊酮

86

C5H10O

1.855

1.890

1.573

乙酸-2-甲基丙基酯

116

C6H12O2

1.855

三氯甲烷

118

CHCl3

0.927

0.945

0.757

甲苯

92

C7H8

1.897

1.599

0.961

乙酸丁酯

116

C6H12O2

1.054

乙醛

100

C6H12O

26.897

39.317

34.401

2-甲基-1-丙醇

74

C4H10O

0.581

3-甲基-1-丁醇-乙酸酯

130

C7H14O2

0.084

0.327

0.437

邻二甲苯

106

C8H10

0.169

0.545

á-蒎烯

136

C10H16

0.295

0.436

乙酸戊酯

130

C7H14O2

1.672

1.398

柠檬烯

136

C10H16

2.066

图（3）

可知：

各种化学物质在各种葡萄样品中含量或有或无。

无法进行比较分级。

所以酿酒葡萄的理化指标不能作为酿酒葡萄的分级依据。

因此，选择葡萄酒的质量作为酿酒葡萄分级的依据。

图（4）

图（5）

由第一问可知，第二组结果更可信。

所以只研究第二组中的品酒员评分。

由上图可以看出两组葡萄的平均得分。

利用（excel）分级如下：

红葡萄酒（按品酒员的评分）：

红葡萄酒经典级

得分

红葡萄酒低于一般级

得分

共0种

酒样品1

68

酒样品6

66

酒样品7

65

红葡萄酒优秀级

得分

酒样品8

66

共0种

酒样品10

69

酒样品11

61

酒样品12

68

红葡萄酒优良级

得分

酒样品13

69

共0种

酒样品15

66

酒样品18

65

酒样品25

68

红葡萄酒一般级

得分

共11种

酒样品2

74

红葡萄酒次品级

得分

酒样品3

75

得分

酒样品4

72

酒样品5

72

酒样品9

78

酒样品14

73

酒样品16

70

酒样品17

75

酒样品19

73

酒样品20

76

酒样品21

72

酒样品22

72

酒样品23

77

酒样品24

72

酒样品26

72

酒样品27

72

图（6）

白葡萄酒（按品酒员的评分）：

白葡萄酒经典级

得分

白葡萄酒一般级

得分

共0种

酒样品1

78

酒样品2

76

白葡萄酒优秀级

得分

酒样品3

76

共0种

酒样品4

77

酒样品6

76

酒样品7

74

白葡萄酒优良级

得分

酒样品8

72

酒样品5

82

酒样品11

71

酒样品9

80

酒样品12

72

酒样品10

80

酒样品13

74

酒样品17

80

酒样品14

77

酒样品25

80

酒样品15

78

酒样品28

80

酒样品18

77

共6种

酒样品19

76

酒样品20

77

白葡萄酒低于一般级

得分

酒样品21

79

酒样品16

67

酒样品22

79

共1种

酒样品23

77

白葡萄酒次品级

得分

酒样品24

76

共0种

酒样品26

74

酒样品27

77

图（7）

分级原理和红葡萄酒的类似。

运用数学逆向思维。

葡萄酒的分类也就能基本上反映酿酒葡萄的分类。

根据图（6），得出下图：

优质红葡萄

得分

普通红葡萄

得分

酒样品2

74

酒样品1

68

酒样品3

75

酒样品6

66

酒样品4

72

酒样品7

65

酒样品5

72

酒样品8

66

酒样品9

78

酒样品10

69

酒样品14

73

酒样品11

61

酒样品16

70

酒样品12

68

酒样品17

75

酒样品13

69

酒样品19

73

酒样品15

66

酒样品20

76

酒样品18

65

酒样品21

72

酒样品25

68

酒样品22

72

酒样品23

77

酒样品24

72

酒样品26

72

酒样品27

72

图（8）

精致级：

大于或等于80（得分）

优质级：

70-80（得分）

普通级：

小于或等于70（得分）

根据图（7），对白葡萄分级，得出下图：

精致白葡萄

得分

优质白葡萄

得分

酒样品5

82

酒样品1

78

酒样品9

80

酒样品2

76

酒样品10

80

酒样品3

76

酒样品17

80

酒样品4

77

酒样品25

80

酒样品6

76

酒样品28

80

酒样品7

74

酒样品8

72

酒样品11

71

普通白葡萄

得分

酒样品12

72

酒样品16

67

酒样品13

74

酒样品14

77

酒样品15

78

酒样品18

77

酒样品19

76

酒样品20

77

酒样品21

79

酒样品22

79

酒样品23

77

酒样品24

76

酒样品26

74

酒样品27

77

图（9）

根据以上指标对葡萄分级依据分数区间如下：

葡萄分级

分数区间

精致白葡萄

优质白葡萄

普通白葡萄

综上，分级结束。

3利用拟合曲线、相关性建立数学模型

3.1酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，我们采用拟合的方法解决。

所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f（λ1,λ2,…,λn），使得该函数与已知点集的差别（最小二乘意义）最小。

如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归（主要在统计中），否则叫作非线性拟合或者非线性回归。

曲线拟合，俗称拉曲线，是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式。

科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续性的函数（也就是曲线）或者更加集密的离散方程与已知数据相吻合。

这个过程就叫做拟合。

3.2实验员对各类葡萄样品进行含量测试。

得出酿酒葡萄和葡萄酒的一二级指标。

如图（附件2）。

3.3数学拟合曲线模型[6]

3.4分析所给附件2

3.5所用软件

采用Matlab7.0、Excel软件和数学统计，作出相应的图标。

进行数学分析。

3.6所用的公式：

离散函数值：

待定系数：

3.7分析如下：

得出如下结果

图

（1）

分别对白葡萄酒和酿酒白葡萄的一级指标进行统计，由于葡萄酒样品一级指标数值很小。

为了便于使用曲线拟合观察两者的规律，所以将白葡萄酒样品一级指标数值全体扩大一千倍（指标数值乘以1000）。

观察图中，可知。

白葡萄酒样品和酿酒白葡萄的一级指标总体上具有相同的变化趋势。

但不免也有极少数参数不满足。

根据曲线拟合和离散型模型。

可以得出结论：

酿酒白葡萄和白葡萄酒的一级指标具有相对明显的关系。

分析白葡萄和白葡萄酒的二级指标，如下

图

（2）

分别对白葡萄酒样品和白葡萄样品的二级指标进行统计，由于葡萄酒样品二级指标数值很小。

为了便于使用曲线拟合观察两者的规律，所以将白葡萄酒样品二级指标数值全体扩大一千倍（标注指标数值乘以1000）。

（数学解释误差，数学方法）观察图中，可知。

白葡萄酒样品和酿酒白葡萄的二级指标总体上具有相同的变化趋势。

但不免也有极少数参数不满足，其中样品19和28的参数不能满足。

根据曲线拟合和离散型模型。

可以得出结论：

酿酒白葡萄和白葡萄酒的二级指标具有相对明显的关系。

由3.2.3和3.2.4可得结论：

酿酒白葡萄的理化指标和白葡萄酒的理化指标有正相关[7]的联系。

（在该题目已知条件下）

3.3.1对红葡萄酒和红葡萄分析作图。

图（3）

分别对红葡萄酒样品和红葡萄样品的一级指标进行统计，由于葡萄酒样品一级指标数值很小。

为了便于使用曲线拟合观察两者的规律，所以将白葡萄酒样品一级指标数值全体扩大十倍（指标数值乘以10）。

观察图中，可知。

红葡萄酒样品和酿酒红葡萄的一级指标总体上变化趋势无明显联系。

但也有部分呈现正相关。

根据曲线拟合和离散型模型。

可以得出结论：

酿酒红葡萄和红葡萄酒的一级指标无相对明显的关系。

3.3.2分析二级指标如图：

图（4）

分别对红葡萄酒样品和红葡萄样品的二级指标进行统计，由于葡萄酒样品二级指标数值很小。

为了便于使用曲线拟合观察两者的规律，所以将白葡萄酒样品二级指标数值全体扩大一百倍（标注指标数值乘以100）。

（标注数学解释误差，数学方法）观察图中，可知。

红葡萄酒样品和酿酒红葡萄的二级指标总体上变化趋势无明显联系。

（