一元二次方程与二次函数提高题训练教师用.docx
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一元二次方程与二次函数提高题训练教师用
教师用
1.一元二次方程x(x﹣1)=0的根是( )
A.1B.0C.0或1D.0或﹣1
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x﹣1=0,然后解两个一次方程即可.
【解答】解:
x=0或x﹣1=0,
所以x1=0,x2=1.
故选C.
2已知二次函数y=a(x+1)2﹣b(a≠0)有最小值1,则a,b的大小关系为( )
A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定
3.若关于x的方程(a﹣1)x2+2x﹣1=0是一元二次方程,则a的取值范围是( )
A.a≠1B.a>1C.a<1D.a≠0
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0,再解即可.
【解答】解:
由题意得:
a﹣1≠0,
解得:
a≠1.
故选:
A.
4用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+4)2=﹣7B.(x+4)2=﹣9C.(x+4)2=7D.(x+4)2=25
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】方程移项后,利用完全平方公式配方即可得到结果.
【解答】解:
方程x2+8x+9=0,整理得:
x2+8x=﹣9,
配方得:
x2+8x+16=7,即(x+4)2=7,
故选C
5某树主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目小分支,主干、支干、和小分支总数共57.若设主干长出x个支干,则可列方程是( )
A.(1+x)2=57B.1+x+x2=57C.(1+x)x=57D.1+x+2x=57
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”,等量关系为:
主干1+支干数目+小分支数目=57,把相关数值代入即可.
【解答】解:
∵主干为1,每个支干长出x个小分支,每个支干又长出同样数目的小分支,
∴小分支的个数为x×x=x2,
∴可列方程为1+x+x2=57.
故选B.
6.如图,图案均是用长度相等的小木棒,按一定规律拼撘而成,第一个图案需4根小木棒,则第6个图案小木棒根数是 54 .
【考点】规律型:
图形的变化类.
【分析】由题意可知:
第1个图案需要小木棒1×(1+3)=4根,第二个图案需要2×(2+3)=10根,第三个图案需要3×(3+3)=18根,第四个图案需要4×(4+3)=28根,…,继而即可找出规律,进一步求出第6个图案需要小木棒的根数
【解答】解:
拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒,
拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒,
拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒,
拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒,
…
拼搭第n个图案需小木棒n(n+3)=n2+3n根.
当n=6时,n2+3n=62+3×6=54.
故答案为:
54.
7.已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β,不解方程求α2+β2的值.
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系找出α+β=﹣3、αβ=﹣1,利用完全平方公式将α2+β2的变形为只含α+β、αβ的算式,代入数据即可得出结论.
【解答】解:
∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β,
∴α+β=﹣3,αβ=﹣1,
∴α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=9+2=11.
8.某型号的手机连续两次降阶,每个售价由原来的1185元降到580元.设平均每次降价的百分率为x,列方程为 1185(1﹣x)2=850 .
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:
①b2﹣4ac>0;②2a+b<0;③4a﹣2b+c=0;④a+b+c>0.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
10.如图,Rt△OAB的顶点A(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为 .
11.如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB于E,CO⊥AB于F,求证:
AD=CD.
【考点】圆周角定理;全等三角形的判定与性质.
【分析】由CD⊥AB于E,CO⊥AB于F,根据垂径定理可得AD=2AF,CD=2CE,∠OEC=∠OFA=90°,然后由AAS判定△COE≌△AOF,继而证得CE=AF,则可证得结论.
【解答】证明:
∵CD⊥AB,CO⊥AB,
∴∠OEC=∠OFA=90°,AD=2AF,CD=2CE,
在△OCE和△OAF中,
,
∴△OCE≌△OAF(AAS),
∴CE=AF,
∴AD=CD.
12.已知a、b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根,求:
a2+2a+b的值.
【考点】根与系数的关系.
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0,即a2+a=2015,则a2+2a+b可化为a2+a+a+b=2015+a+b,然后利用根与系数的关系得到a+b=﹣1,再利用整体代入的方法计算即可.
【解答】解:
∵a,b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根,
∴a2+a﹣2015=0,a+b=﹣1,
∴a2+a=2015,
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2015﹣1=2014.
13.解方程:
(1)2x2+3=7x;
(2)(2x+1)2+4(2x+1)+3=0.
14.已知二次函数y=x2﹣x﹣6.
(1)画出函数的图象;
(2)观察图象,指出方程x2﹣x﹣6=0的解及不等式x2﹣x﹣6>0解集;
(3)求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.【解答】解:
(1)函数图象如下:
(2)由抛物线解析式y=x2﹣x﹣6知,抛物线与x轴的交点坐标是(3,0),(﹣2,0),
方程x2﹣x﹣6=0的解是x1=﹣2,x2=3;
不等式x2﹣x﹣6>0的解集为x<﹣2或x>3;
(3)如图所示:
抛物线与坐标轴所构成的三角形面积是:
×|﹣2﹣3|×|﹣6|=15.
即抛物线与坐标轴所构成的三角形面积是15三角形的面积为15.
15.某水渠的横截面呈抛物线,水面的宽度为AB(单位:
米),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析式为y=ax2﹣4.
(1)求a的值;
(2)点C(﹣1,m)是抛物线上一点,点C关于原点O的对称点为点D,连接CD,BC,BD,求△BCD的面积.
【分析】
(1)根据y轴为对称轴,AB=8,可得B(4,0),把B点坐标代入解析式即可求得a的值;
(2)根据
(1)求得a的值,求出解析式,把C点坐标代入求得m的值,然后根据D、C关于原点对称求出D点坐标,然后根据S△BCD=S△BOD+S△BOC求出面积即可.
【解答】解:
(1)∵AB=8,由抛物线的性质可知OB=4,
∴B(4,0),
把B点坐标代入解析式得:
16a﹣4=0,
解得:
a=
;
(2)过点C作CE⊥AB于E,过点D作DF⊥AB于F,
∵a=
,
∴y=
x2﹣4,
令x=﹣1,
∴m=
×(﹣1)2﹣4=﹣
,
∴C(﹣1,﹣
),
∵C关于原点对称点为D,
∴D的坐标为(1,
),
则CE=DF=
,
S△BCD=S△BOD+S△BOC=
OB•DF+
OB•CE=
×4×
+
×4×
=15,
∴△BCD的面积为15平方米.
16.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为 (1400﹣50x) 元(用含x的代数式表示);
(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?
最大是多少元?
(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
【考点】二次函数的应用.
【分析】
(1)根据当全部未租出时,每辆租金为:
400+20×50=1400(元),得出公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为:
1400﹣50x;
(2)根据已知得到的二次函数关系求得日收益的最大值即可;
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏,即:
y=0.即:
﹣50(x﹣14)2+5000=0,求出即可.
【解答】解:
(1)∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;
当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;
∴当全部未租出时,每辆租金为:
400+20×50=1400(元),
∴公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为:
(1400﹣50x);
故答案为:
(1400﹣50x);
(2)根据题意得出:
y=x(﹣50x+1400)﹣4800,
=﹣50x2+1400x﹣4800,
=﹣50(x﹣14)2+5000.
∵﹣50<0,
∴该抛物线的开口方向向下,
∴该函数有最大值.
当x=14时,在范围内,y有最大值5000.
∴当日租出14辆时,租赁公司日收益最大,最大值为5000元.
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏,即:
y=0.
即:
﹣50(x﹣14)2+5000=0,
解得x1=24,x2=4,
∵x=24不合题意,舍去.
∴当日租出4辆时,租赁公司日收益不盈也不亏.
学生用
1.一元二次方程x(x﹣1)=0的根是( )
A.1B.0C.0或1D.0或﹣1
2已知二次函数y=a(x+1)2﹣b(a≠0)有最小值1,则a,b的大小关系为( )
3.若关于x的方程(a﹣1)x2+2x﹣1=0是一元二次方程,则a的取值范围是( )
4用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+4)2=﹣7B.(x+4)2=﹣9C.(x+4)2=7D.(x+4)2=25
5某树主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目小分支,主干、支干、和小分支总数共57.若设主干长出x个支干,则可列方程是( )
A.(1+x)2=57B.1+x+x2=57C.(1+x)x=57D.1+x+2x=57
6.如图,图案均是用长度相等的小木棒,按一定规律拼撘而成,第一个图案需4根小木棒,则第6个图案小木棒根数是 .
7.已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β,不解方程求α2+β2的值.
8.某型号的手机连续两次降阶,每个售价由原来的1185元降到580元.设平均每次降价的百分率为x,列方程为 .
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:
①b2﹣4ac>0;②2a+b<0;③4a﹣2b+c=0;④a+b+c>0.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
10.如图,Rt△OAB的顶点A(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为 .
11.如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB于E,CO⊥AB于F,求证:
AD=CD.
12.已知a、b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根,求:
a2+2a+b的值.
13.解方程:
(1)2x2+3=7x;
(2)(2x+1)2+4(2x+1)+3=0.
14.已知二次函数y=x2﹣x﹣6.
(1)画出函数的图象;
(2)观察图象,指出方程x2﹣x﹣6=0的解及不等式x2﹣x﹣6>0解集;
(3)求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.
15.某水渠的横截面呈抛物线,水面的宽度为AB(单位:
米),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析式为y=ax2﹣4.
(1)求a的值;
(2)点C(﹣1,m)是抛物线上一点,点C关于原点O的对称点为点D,连接CD,BC,BD,求△BCD的面积.
16.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为 (1400﹣50x) 元(用含x的代数式表示);
(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?
最大是多少元?
(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
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