完整版平方差公式与完全平方公式试题含答案112doc.docx
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乘法公式的复习
一、复习:
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)
2=a2+2ab+b2
(a-b)
2=a2-2ab+b2
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(a-b)(a
2+ab+b2)=a3-b3
归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:
①位置变化,x
y
yx
x2
y2
②符号变化,xy
x
y
x2y2x2y2
③指数变化,x2y2
x2y2
x4
y4
④系数变化,2ab
2ab
4a2b2
⑤换式变化,xy
zm
xy
zm
xy2
zm2
x2y2
zmzm
x
2
y
2
z
2
2
zmzmm
x
2
y
2
z
2
2
2zmm
⑥增项变化,xyzxyz
x
y2
z2
x
y
x
y
z2
x2
xy
xyy2z2
x22xyy2z2
⑦连用公式变化,xy
x
y
x2y2
x2y2x2y2
x4y4
⑧逆用公式变化,xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
例1.已知ab
2,ab
1,求a2
b2的值。
解:
∵(ab)2
a2
2ab
b2
∴a2
b2=(a
b)2
2ab
∵ab2,ab1
∴a2
b2=22
212
例2.已知a
b8,ab
2,求(a
b)2
的值。
解:
∵(ab)2
a2
2ab
b2
(a
b)2
a2
2abb2
∴
∵
(ab)2(ab)24ab∴(ab)24ab=(ab)2
ab8,ab2∴(ab)2824256
例3:
计算19992-2000×1998
〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。
解:
19992-2000×1998=19992-(1999+1)×(1999-1)
=19992-(19992-12)=19992-19992+1=1
例4:
已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解:
a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2
(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0
例5:
已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。
求x2-z2的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值,比较麻烦,
考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的,所以只要求出x-z的值即
可。
解:
因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x2-z2=(x+z)
(x-z)=14×4=56。
例6:
判断(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1的个位数字是几?
〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一
定的规律可循。
观察到1=(2-1)和上式可构成循环平方差。
解:
(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1
=(2-1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1
=24096
=161024
因为当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数字必为6。
例7.运用公式简便计算
(1)1032
(2)1982
解:
(1)10321003210022100332100006009
10609
(2)19822002220022200222400008004
39204
例8.计算
(1)a4b3ca4b3c
(2)3xy23xy2
解
:
(
1
)
原
式
a3c4ba3c4ba3c2
4b2a26ac9c216b2
(2)原式
3xy23x
y
29x2
y24y4
9x2
y24y4
例9.解下列各式
(1)已知a2b213,ab6,求ab2,ab2的值。
(2)已知ab
2
,
ab
2
,求
2
2,ab的值。
7
4
a
b
(3)已知aa1
a2
2
2
ab的值。
b
,求a
b
2
2
(4)已知x
1
3,求x
4
14
的值。
x
x
分析:
在公式ab
22
2
2ab
中,如果把
,
2
2
和ab分别
a
b
ab
a
b
看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第
三个。
解:
(1)∵a2b213,ab6
ab2a2b22ab132625
ab2a2b22ab13261
(2)∵ab2
7,ab24
a2
2abb2
7
①
a2
2abb2
4
②
①②得2a2
2
,即a2
b2
11
b
11
2
①②得4ab3,即
ab
3
4
(3)由aa1a2b2
得ab2
2
2
ab
1a2
b2
2ab
1
a
b
1
2
2
ab
2
2
2
2
2
2
(4)由x
1
3,得
x
1
9
2
1
29
2
1
x
x
即x
2
x
211
x
x
x2
1
121
即x4
1
2
121
x4
1
119
x
2
x4
x4
例10.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?
为什
么?
分析:
由于123412552
23451121112
34561361192
得猜想:
任意四个连续自然数的乘积加上1,
都是平方数。
解:
设n,n1,n2,n3是四个连续自然数
则nn
1
n
2
n
3
1
nn
3
n
1
n
2
1
n2
3n
2
2n2
3n
1
n23nn2
3n21
n23n12
∵n是整数,
n2,3n都是整数
n23n1一定是整数
n2
3n1是一个平方数
四个连续整数的积与
1的和必是
一个完全平方数。
例11.计算
(1)x2
x12
(2)3mnp2
解
:
(
1
)x2x12x22
x2
122
x2
x2x212
x1x4x212x32x2
2x
x42x33x22x1
(
2
)
3mnp
2
3m
2
2
2
23mn23mp
2np
2
2
2
np
9mnp6mn6m
p2np
分析:
两数和的平方的推广
abc2
abc2
ab22abcc2
a22abb22ac2bcc2
a2b2c22ab2bc2ac
即
abc2a2b2c22ab2bc2ac
几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2
倍。
二、乘法公式的用法
(一)、套用:
这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清
乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基
础,同时能提高学生的观察能力。
例1.
计算:
5x2
3y25x2
3y2
解:
原式
5x22
3y22
25x4
9y4
(二)、连用:
连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2.计算:
1aa1a21a41
解:
原式1a21a21a4
1a41a4
1a8
例3.计算:
3x2y5z13x2y5z1
解:
原式2y5z3x12y5z3x1
2y
2
3x
2
5z
1
4y2
9x2
25z2
20yz
6x
1
三、逆用:
学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、
右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。
例4.计算:
5a7b8c25a7b8c2
解:
原式
5a
7b
8c
5a
7b
8c
5a
7b
8c
5a
7b
8c
10a14b16c
140ab160ac
四、变用:
题目变形后运用公式解题。
例5.计算:
xy2zxy6z
解:
原式xy2z4zxy2z4z
x
y
2
2
2z
4z
x2
y2
12z2
2xy4xz4yz
五、活用:
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平
方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公
式:
1.a
2
2ab
a2
b2
b
2.a
2
2ab
a2
b2
b
3.a
2
a
2
2a2
b2
b
b
4.a
2
a
2
4ab
b
b
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。
例6.
已知a
b
4,ab
5,求a2
b2的值。
解:
a2
b2
a
b
2
ab
4
2
25
26
2
例7.计算:
abcd2bcda2
解:
原式
2
2
bcad
bcad
2b
2
a
2
c
d
2a2
2b2
2c2
2d2
4bc4ad
例8.已知实数x、y、z满足xy5,z2xyy9,那么x2y3z
(
)
解:
由两个完全平方公式得:
ab
1
2
2
ab
ab
4
从而z2152
x
y
2
9
y
4
25
15
2y
y9
2
4
4
y2
6y
9
y2
6y
9
y
2
3
∴z2
y3
2
0
∴z
0,y
3
∴x2
∴x2y3z22308
三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”.
例1计算(-2x2-5)(2x2-5)
分析:
本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而“-5”
222
是公式(a+b)(a-b)=a-b中的a,而“2x”则是公式中的b.
例2计算(-a2+4b)2
分析:
运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,“-a2”就是公式中的a,
“4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)
(二)、注意为使用公式创造条件
例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
分析:
粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”、“5”两项同号,“y”、“z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.
解:
原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕
=(2x+5)2-(y-z)2
=4x2+20x+25-y+2yz-z2.
例4计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
分析:
若先用完全平方公式展开,运算十分繁冗,但注意逆用幂
的运算法则,则可利用乘法公式,使运算简便.
解:
原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2
=[(a3-1)(a6+a3+1)]2
=(a9-1)2=a18-2a9+1
例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
分析:
此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),
则可运用公式,使问题化繁为简.
解:
原式=(2-1)(2+1)(2
2+1)(24+1)(28+1)
=(2
2-1)(2
2+1)(2
4
+1)(28+1)
=(2
4-1)(2
4+1)(2
8
+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1
(三)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
可叙述为:
多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积
的2倍.
例6计算(2x+y-3)2
解:
原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y.
(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7
(1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;
(2)已知:
x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
分析:
粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形:
x2+y2=(x+y)2-2xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,问
题则十分简单.
解:
(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),将已知条件代入得
100=103-3
xy·10,
∴xy=30
故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40.
(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1.
例8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2.
分析:
直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式
可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而问题容易解决.
解:
原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2
=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]
=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2
=4a2+4b2+4c2
(五)、注意乘法公式的逆运用
例9计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2.
分析:
若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方
差公式,则能使运算简便得多.
解:
原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]
=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac.
例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析:
此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆
用完全平方公式,则运算更为简便.
解:
原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=[(2a+3b)+(4a-5b)]2
222
=(6a-2b)=36a-24ab+4b.
(一)、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:
符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多
项式.理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x+2y-3z)2,若视x+2y为公式中的a,3z为b,则就可用(a-b)2=a2-2ab+b2来解了。
(三)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化
如(3x+5y)(5y-3x)交换
3x
和
5y
的位置后即
可用平方差公式计算了.
2、符号变化
如(-
2m-7n)(2m-7n)变为-(
2m+7n)(2m
-7n)后就可用平方差公式求解了(思考:
不变或不这样变,可以吗?
)3、数字变化如98×102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),
(100-1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化
如(4m+n
)(2m-
n
)变为
2(2m+n
)(2m-
n
)
2
4
4
4
后即可用平方差公式进行计算了.
5、项数变化如(x+3y+2z)(x-3y+6z)变为(x+3y+4z-2z)
(x-3y+4z+2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以
使计算更简便.如计算(a2+1)2·(a2-1)2,若分别展开后再相乘,
则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2+1)(a2-1)]2=(a4-1)2=a8-2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意
逆向(从右到左)运用.如计算(1-12
)(1-12
)(1-12
2
3
4
)(1
-12
)(1-1
2),若分别算出各因式的值后再行相乘,
不仅计算繁难,
9
10
而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公
式,则可巧解本题.
即原式=(1-1
)(1+1
)(1-1
)(1+1
)××(1-1)(1+1)
2
2
3
3
10
10
=1
×3
×2
×4
××9×11
=1
×11
=11
.
2
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