高三二轮复习理数 第1讲 函数的图象与性质教案Word版含答案.docx
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高三二轮复习理数第1讲函数的图象与性质教案Word版含答案
第1讲 函数的图象与性质
1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.
2.对图象的考查主要有两个方面:
一是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题.
3.对函数性质的考查,主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难度较大.
热点一 函数的性质及应用
1.单调性:
单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
2.奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
(2)在公共定义域内:
①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
(3)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.
(4)若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).
(5)图象的对称性质:
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.
3.周期性
定义:
周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足f(a+x)=f(x)(a≠0),则其一个周期T=|a|.
常见结论:
(1)f(x+a)=-f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|,a≠0.
(2)f(x+a)=
⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|,a≠0.
(3)f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于x=
对称.
例1
(1)(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
答案 6
解析 ∵f(x+4)=f(x-2),
∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),
∴f(x)是周期为6的周期函数,
∴f(919)=f(153×6+1)=f
(1).
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f
(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.
(2)(2017届安徽省池州市东至县联考)已知函数f(x)=2016x+log2016(
+x)-2016-x,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>0的解集为( )
A.(-∞,0)B.(0,+∞)
C.
D.
答案 D
解析 f(-x)=2016-x-2016x+log2016(
-x),其中log2016(
-x)=log2016
=-log2016(
+x),则f(-x)=-f(x),所以函数是奇函数,并且函数是单调递增函数.那么原不等式等价于f(3x+1)>-f(x)⇔f(3x+1)>f(-x),
即3x+1>-x⇒x>-
,故选D.
思维升华
(1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1) 跟踪演练1 (1)(2017届湖南长沙雅礼中学月考)若偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45), ,则a,b,c满足( ) A.a C.c 答案 B 解析 因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减, 所以f(x)在[0,+∞)上单调递增. 又 , 所以 , 即b (2)(2017届安徽省池州市东至县联考)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=- ,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(2018)=________. 答案 -8 解析 由条件可得f(x+6)=f(x),函数的周期为6, f(2018)=f(6×336+2)=f (2)=f(-2)=-8. 热点二 函数图象及应用 1.作函数图象有两种基本方法: 一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点. 例2 (1)(2017届郑州第一中学质量检测)函数f(x)= cosx的图象大致为( ) 答案 C 解析 ∵f(-x)= cos(-x) = cosx=-f(x), 所以f(x)为奇函数,排除选项A,B. 又当x∈ 时,f(x)<0,图象在x轴下方,故选C. (2)(2017届菏泽期末)若函数y=f(x)的图象上存在两个点A,B关于原点对称,则称点对[A,B]为y=f(x)的“友情点对”,点对[A,B]与[B,A]可看作同一个“友情点对”,若函数f(x)= 恰好有两个“友情点对”,则实数a的值为( ) A.-2B.2 C.1D.0 答案 B 解析 首先注意到(0,a)没有对称点.当x>0时,f(x)=-x3+6x2-9x+a,则-f(-x)=-x3-6x2-9x-a,即-x3-6x2-9x-a=2(x<0)有两个实数根,即a=-x3-6x2-9x-2(x<0)有两个实数根.画出y=-x3-6x2-9x-2(x<0)的图象如图所示,由图可知当a=2时有两个解. 思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象,要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进行全面分析,有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断,这是判断函数图象问题的基本方法. (2)判断复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后,导函数发生了变化,故导函数和原函数定义域会有所不同,我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值. 跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅰ)函数y= 的部分图象大致为( ) 答案 C 解析 令f(x)= , ∵f (1)= >0,f(π)= =0, ∴排除选项A,D. 由1-cosx≠0,得x≠2kπ(k∈Z), 故函数f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(-x)= =- =-f(x), ∴f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故选C. (2)已知函数f(x)= + ,g(x)=a2x3-2ax2+x+a(a∈R).在同一直角坐标系中,函数f′(x)与g(x)的图象不可能是( ) 答案 B 解析 因为f(x)= + , 所以f′(x)=ax2-x+ , 若a=0,则选项D是正确的,故排除D. 若a<0,选项B中的二次函数的判别式Δ=1-4a· =1-2a2<0,所以a2> ,又a<0,所以a<- . 二次函数f′(x)的图象的对称轴为x= . 三次函数g(x)=a2x3-2ax2+x+a, 所以g′(x)=3a2x2-4ax+1=3a2 , 令g′(x)>0,得x< 或x> , 令g′(x)<0,得 , 所以函数g(x)=a2x3-2ax2+x+a的极大值点为x= ,极小值点为x= . 由选项B中的图象知 < ,但a<- , 所以 > , 所以选项B的图象错误,故选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质 1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分01两种情况,着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质. 2.幂函数y=xα的图象和性质,主要掌握α=1,2,3, ,-1五种情况. 例3 (1)(2017·深圳调研)设a=0.23,b=log0.30.2,c=log30.2,则a,b,c大小关系正确的是( ) A.a>b>cB.b>a>c C.b>c>aD.c>b>a 答案 B 解析 根据指数函数和对数函数的增减性知,因为0log0.30.3=1,c=log30.2 (2)(2017届福建福州外国语学校期中)函数f(x)= 在R上单调递增,则实数a的取值范围为( ) A.(1,2)B.(2,3) C.(2,3]D.(2,+∞) 答案 C 解析 ∵f(x)在R上单调递增, ∴
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