08年华南理工数学分析考研试题及解答.docx
- 文档编号:6991
- 上传时间:2022-09-30
- 格式:DOCX
- 页数:4
- 大小:14.57KB
08年华南理工数学分析考研试题及解答.docx
《08年华南理工数学分析考研试题及解答.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《08年华南理工数学分析考研试题及解答.docx(4页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
08年华南理工数学分析考研试题及解答
2008年华南理工数学分析考研试题及解答
n例1.设f:
Rn?
Rn,且f?
C1?
R?
?
?
,满足f?
x?
?
f?
yx?
y,对于任意 n,都成立.试证明f可逆,且其逆映射也是连续可导的.x,y?
R证明显然,对于任意x,y?
Rn,x?
y,有f?
x?
?
f?
y?
, f是单射,所以f?
1存在, f?
1?
x?
?
f?
1?
y?
?
x?
y,知f?
1连续, f?
x?
?
f?
y?
?
x?
y,得 对任意实数t?
0,向量x,h?
Rn,有f?
x?
th?
?
f?
x?
?
th, f?
x?
th?
?
f?
x?
?
h在中令t?
0,取极限,则有t得Jf(x)h?
h,任何x,h?
Rn,从而必有|Jf(x)|?
0,Jf可逆, 隐函数组存在定理,所以f?
1存在,且是连续可微的。
例2.讨论序列fn?
t?
?
sinnt在?
0,?
?
?
上一致收敛性.nt11解方法一显然fn?
t?
?
?
, nt对任意t?
?
0,?
?
?
,有limfn?
t?
?
0, n?
?
fn?
t?
?
sinntnt?
?
t,ntntt?
0?
limfn?
t?
?
0,关于n是一致的; 对任意?
?
0,当t?
?
?
?
?
?
时,fn?
t?
?
11?
,n?
于是?
fn?
t?
?
在?
?
?
?
?
上是一致收敛于0的,综合以上结果, 故?
fn?
t?
?
在?
0,?
?
?
上是一致收敛于0的. 1 方法二fn?
t?
?
sinntnt?
sinntnt?
nt1?
,ntn即得?
fn?
t?
?
在?
0,?
?
?
上是一致收敛于0的例3、判断?
n?
1?
n在x?
1上是否一致收敛.xn?
?
?
?
例4.设f?
x?
在?
?
?
?
?
?
上一致连续,且?
2f?
x?
dx收敛,证明limf?
x?
?
0. x?
?
2?
xy?
z例5.求有曲面?
?
?
?
2?
1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?
0. ?
ab?
c例6、设D为平面有界区域,f?
x,y?
在D内可微,在D上连续,在D的边界上 f?
x,y?
?
0,在D内f满足方程试证:
在D上f?
x,y?
?
0. ?
f?
f?
?
f.?
x?
y证明因为f?
x,y?
在D上连续,设M?
maxf?
x,y?
, ?
x,y?
?
D则M?
0, 假若M?
0,则存在?
x0y0?
?
D,使得f?
x0y0?
?
M,于是有 ?
f?
f?
x0y0?
?
0,?
x0y0?
?
0,?
x?
y?
?
f?
f?
这与?
?
?
?
x0y0?
?
f?
x0y0?
?
0矛盾, ?
?
x?
y?
假若M?
0,亦可得矛盾. 同理,对m?
minf?
x,y?
,亦有m?
0, ?
x,y?
?
D故f?
x,y?
?
0,?
x,y?
?
D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答 一.求解下列各题1、设 ,数列{x}满足lima?
0nn?
?
xn?
axn?
a。
?
0,证明limn?
?
xn?
a2 1、解0?
lim?
xn?
a2a?
?
lim?
1?
?
,n?
?
x?
an?
?
x?
ann?
?
知lim2a?
1,所以limxn?
a. n?
?
n?
?
x?
an?
cos?
x,当x为有理数f(x)?
?
2、设当x为无理数,?
0,证明f(x)在点xk?
k?
1处连续,而在其它点处不连续。
21?
?
2、证明f?
xk?
?
cos?
?
k?
?
?
0, 2?
?
显然有limf?
x?
?
0?
f?
xk?
,即f?
x?
在点xk处连续; x?
xk对x0?
xk,当x沿着无理点趋向于x0时,f?
x?
极限为0,当x沿着有理点趋向于x0时,极限为cos?
x0?
0,所以limf?
x?
不存在,f?
x?
在x0处不连续, x?
x0结论得证. f?
x?
?
f?
a?
?
f?
x?
?
f?
a?
?
?
1?
?
1?
?
?
?
?
3、若函数?
?
?
x?
?
,fa?
fa?
?
?
?
?
?
2?
f?
?
a?
2?
?
?
f?
?
a?
?
?
?
?
求?
?
?
a?
及?
?
?
?
a?
,其中f?
x?
在x?
a处有二阶导数,且f?
?
a?
?
0。
3、解?
?
a?
?
0, ?
?
?
a?
?
limx?
a?
?
x?
?
?
?
a?
x?
a?
f?
?
a?
?
1f?
?
?
a?
,2?
f?
?
x?
2?
f?
x?
?
f?
a?
?
f?
?
x?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
x?
?
?
?
fa?
fa?
?
?
?
?
?
,3?
f?
?
a?
?
2?
?
?
f?
?
a?
?
?
?
?
?
?
?
a?
?
limx?
a?
?
?
x?
?
?
?
?
a?
x?
a f?
?
x?
?
f?
?
a?
2?
f?
x?
?
f?
a?
?
f?
?
x?
?
?
1?
1?
?
?
?
?
?
?
lim?
fa?
fa?
?
?
?
?
?
3x?
ax?
a?
?
f?
?
a?
2?
?
?
f?
?
a?
?
?
?
?
f?
?
?
a?
2f?
?
a?
f?
?
a?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
fa?
fa?
?
?
?
?
?
3?
f?
?
a?
2?
?
?
f?
?
a?
?
?
?
?
3 ?
f?
?
?
a?
?
2?
1?
?
?
?
.fa?
fa?
?
?
?
?
?
f?
?
a?
?
2?
4、证明级数 ?
?
(?
1)n?
0?
nxn(1?
x),在[0,1]上绝对收敛;在[0,1]上一致收敛; 但 ?
x(1?
x)在[0,1]上并不一致收敛. nn?
04、证明:
显当x?
?
1时,?
x(1?
x)收敛,当0nn?
0?
?
x?
1时,?
xn(1?
x)收敛, n?
0?
于是 ?
(?
1)x(1?
x)在[0,1]上绝对收敛; nnn?
0命an(x)?
(?
1),bn(x)?
nx(1?
x),显然|?
(?
1)k|?
1, k?
0nnnnnb(x)?
x(1?
x)?
对每一x?
[0,1],{bn(x)}是递减的,n, (n?
1)n?
1nn1n1?
?
()?
0,?
?
supb(x)nn?
1n1n?
1(n?
1)x?
[0,1]1?
n{bn(x)}递减且一致收敛于0; 故狄利克雷判别法知, n?
(?
1)x(1?
x)在[0,1]上一致收敛; nnn?
0?
于Sn(x)?
?
x(1?
x)?
1?
xkk?
0n?
1,在(0,1)上不一致收敛,所以 ?
x(1?
x)在 nn?
0?
[0,1]上不一致收敛。
1sin(k?
)t?
2dt?
?
(k?
0,1,2,?
).5、.证明?
0tsin21sin(k?
)t2?
1?
2cost?
?
?
2coskt,5、证明证法一 tsin24 1sin(k?
)t?
2dt?
?
(k?
0,1,2,?
).得?
0tsin2?
sin(2k?
1)t?
sin2ktcost?
cos2ktsintdt?
?
dt证法二Ik?
?
00sintsint?
sin2ktcost?
?
?
dt?
?
cos2ktdt00sint?
sin(2k?
1)t?
sin(2k?
1)t?
?
dt02sint11?
Ik?
Ik?
1,所以,Ik?
Ik?
1,k?
1,2,?
,22?
sintdt?
?
,而I0?
?
0sint于是Ik?
Ik?
1?
?
?
I2?
I1?
I0?
?
, sin(2k?
1)tsin(2k?
1)t?
?
t?
u0sin(2k?
1)(?
?
u)dt,再?
dt?
?
?
(?
du)?
?
20sintsintsin(?
?
u)22?
?
?
sin(2k?
1)t?
sin(2k?
1)t?
dt?
,?
2dt?
,k?
1,2,?
;从而?
200sint2sint2?
?
1sin(k?
)t?
2dt?
?
(k?
0,1,2,?
)。
得?
0tsin26、计算下列曲面围成的立体的体积:
?
x2y2z2?
x2y2?
?
,,常数a,b,c?
0。
?
?
?
?
22?
a2b2c2?
ab?
?
6、解令x?
arsin?
cos?
y?
brsin?
sin?
z?
crcos?
,并利用对称性,即得到体积 ?
?
sin?
22 V?
8?
20d?
?
2d?
?
00abcrsin?
dr?
8?
abc23?
?
20sin4?
d?
4?
abc31?
?
2?
?
?
?
abc. ?
34224kk?
二、求极限lim?
(1?
)sin2。
n?
?
nnk?
1n二、解法1直接化为黎曼和的形式有困难. 注意到sinx=x+O(x), 35
n?
k3?
3?
?
k?
?
k?
?
k?
?
k?
lim?
?
1?
?
sin2?
lim?
?
1?
?
?
2?
O?
6?
?
n?
?
n?
?
n?
nn?
?
nk?
1?
k?
1?
?
n?
?
n33nk3?
3?
k?
k?
于|?
?
1?
?
O(6)|?
?
2C6?
0,(n?
?
), n?
nnk?
1?
k?
1n所以 nk?
?
k?
?
k?
k?
lim?
?
1?
?
sin2?
lim?
?
1?
?
2n?
?
n?
?
n?
nn?
nk?
1?
k?
1?
n1kk215?
.?
?
lim?
(?
2)?
?
?
(x?
x2)dx?
0n?
?
6nnk?
1nn解法2利用x-13x n?
nnk?
1?
k?
1nn1kk215?
?
k?
k?
,lim?
?
1?
?
2?
?
lim?
(?
2)?
?
?
(x?
x2)dx?
0n?
?
n?
?
n?
n6nnk?
1?
k?
1nn所以limkk?
5?
.(1?
)sin?
?
2n?
?
nn6k?
1n三、设L为单位圆x2?
y2?
1的正向,计算积分 ey[(xsinx?
ycosx)dx?
(ysinx?
xcosx)dy]。
22?
x?
yL三、解设原式?
?
Pdx?
Qdy,直接计算可得 L?
Q?
P?
,(x,y)?
(),?
x?
y我们利用“挖奇点”的方法。
做一个充分小的圆周C:
x2?
y2?
?
2,方向逆时针。
L与C所包围的区域记为 D?
,格林公式得 ?
Pdx?
Qdy?
?
Pdx?
Qdy?
?
?
(LCD?
?
Q?
P?
)dxdy?
x?
y6 ?
0,所以?
Pdx?
Qdy?
?
Pdx?
Qdy, LC再应用一次格林公式及积分中值定理,得 C?
Pdx?
Qdy?
1?
2C?
e[(xsinx?
ycosx)dx?
(ysinx?
xcosx)dy] ye?
?
cosxdxdyDCy?
?
?
2?
2?
2?
2?
ey?
cosx?
?
?
?
2 ?
?
2?
ey?
cosx?
, 令?
?
0?
,得 ?
?
0lim(?
2?
ey?
cosx?
)?
?
2?
e0cos0?
?
2?
,?
ey所以?
2[(xsinx?
ycosx)dx?
(ysinx?
xcosx)dy]?
?
2?
。
2x?
yL四、计算积分?
?
f(x)dydz?
g(y)dzdx?
h(z)dxdy,f(x),g(y),h(z)为连续函数, ?
其中?
:
[0,a]?
[0,b]?
[0,c]的边界,外侧. 四、解 ?
?
f(x)dydz?
g(y)dzdx?
h(z)dxdy ?
?
?
?
(f(x)cos(n,x)?
g(y)cos(n,y)?
h(z)cos(n,z))d?
; 首先计算 ?
?
h(z)dxdy?
?
h(z)cos(n,z)d?
,在长方体的六个面上,显然在长方体的四 ?
?
个侧面上,cos(n,z)?
0,在上底面的上侧cos(n,z)?
1,在下底面的下侧cos(n,z)?
?
1;于是同理故 ?
?
h(z)dxdy?
?
h(z)cos(n,z)d?
?
(h(c)?
h(0))ab, ?
?
z(f(a)?
f(0))bc,?
?
g(x)dzdx?
(g(b)?
g(0))ca,?
?
f(x)dyd?
?
?
?
?
f(x)dydz?
g(y)dzdx?
h(z)dxdy ?
?
(f(a)?
f(0))bc?
(g(b)?
g(0))ca?
(h(c)?
h(0))ab. 五、讨论积分?
五、解 7 ?
?
0sinxdx,?
p?
0?
,的敛散性 xp?
sinxsinx?
1,px?
0x?
sinxsinx1?
当p?
1时,lim,px?
0?
x?
sinx2sinx?
0,当p?
1时,lim?
px?
0x?
sinx2sinxdx收敛,所以?
p0x?
sinx?
?
sinxdx的敛散性,只考虑?
2xp?
sinx1lim?
1,x?
?
?
sinx1?
px当p?
1时,lim?
sinx112?
?
?
,当x充分大,pppsinxx?
sinxx1?
xpx2dx收敛,p1x?
?
sinxdx绝对收敛,于是,当p?
1时,?
0xp?
sinx当p?
1时,?
?
?
sinxsinx11sinx?
?
,当x充分大,pppsinxx?
sinxx1?
2xpx当0?
p?
1时,?
?
?
1sinxdx发散,p2x?
?
?
0sinxdx发散.px?
sinx五、讨论如下积分的敛散性.?
?
?
2sin2xdx,?
p?
0?
,ppx?
x?
sinx?
sinxdx,?
p?
0?
, 2xp?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 08 年华 理工 数学分析 考研 试题 解答
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)