平行线分线段成比例经典例题与变式练习精选题目.docx
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平行线分线段成比例经典例题与变式练习精选题目
平行线分线段成比例
知识梳理
平行线分线段成比例定理及其推论
1.平行线分线段成比例定理
如下图,如果
,则
,
,
.
2.平行线分线段成比例定理的推论:
如图,在三角形中,如果
,则
3.平行的判定定理:
如上图,如果有
,那么
∥
。
专题讲解
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】如图,
,且
若
,求
的长。
【例2】如图,已知
,若
,
,
,求证:
.
【巩固】如图,
,
,垂足分别为
、
,
和
相交于点
,
,垂足为
.证明:
.
【巩固】如图,找出
、
、
之间的关系,并证明你的结论.
【例3】如图,在梯形
中,
,
,过对角线交点
作
交
于
,求
的长。
【巩固】(上海市数学竞赛题)如图,在梯形
中,
,
分别是
的中点,
交
于
,
交
于
,求
的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题
【例4】(2012年北师大附中期末试题)
(1)如图
(1),在
中,
是
的中点,
是
上一点,且
,
连接
并延长,交
的延长线于
,则
_______.
(2)如图
(2),已知
中,
,
,
与
相交于
,则
的值为()
A.
B.1C.
D.2
【例5】(2011年河北省中考试题)如图,在
中,
为
边的中点,
为
边上的任意一点,
交
于点
.
(1)当
时,求
的值;
(2)当
时,求
的值;
(3)试猜想
时
的值,并证明你的猜想.
【例6】(2013年湖北恩施中考题)如图,
是
的中线,点
在
上,
是
延长线与
的交点.
(1)如果
是
的中点,求证:
;
(2)由
(1)知,当
是
中点时,
成立,若
是
上任意一点(
与
、
不重合),上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明,若不成立,请说明理由.
【巩固】(天津市竞赛题)如图,已知
中,
是
边上的中线,
是
上的一点,且
,延长
交
于
。
求证:
。
【例7】(宁德市中考题)如图,
中,
为
边的中点,延长
至
,
延长
交
的延长线于
。
若
,求证:
。
【巩固】(济南市中考题;安徽省中考题)如图,
中,
,若
分
别是
的中点,则
;
若
分别是
的中点,则
;
若
分别是
的中点,则
;
…………
若
分别是
的中点,则
_________.
专题三、利用平行线转化比例
【例8】如图,在四边形
中,
与
相交于点
,直线
平行于
,且
与
、
、
、
及
的延长线分别相交于点
、
、
、
和
.
求证:
【巩固】已知,如图,四边形
,两组对边延长后交于
、
,对角线
,
的延长线交
于
.求证:
.
【例9】已知:
为
的中位线
上任意一点,
、
的延长线分别交对
边
、
于
、
,求证:
【例10】在
中,底边
上的两点
、
把
三等分,
是
上的中
线,
、
分别交
于
、
两点,求证:
【例11】如图,
、
为
边
上的两点,且满足
,一条
平行于
的直线分别交
、
和
的延长线于点
、
和
.
求证:
.
【例12】已知:
如图,在梯形
中,
,
是
的中点,分别连
接
、
、
、
,且
与
交于点
,
与
交于
.
(1)求证:
(2)若
,求
的长.
【巩固】(山东省初中数学竞赛题)如图,在梯形
中,
,
,若
,且梯形
与梯形
的周长相
等,求
的长。
【例13】(山东省竞赛题)如图,
的对角线相交于点
,在
的延
长线上任取一点
,连接
交
于点
,若
求
的值。
【例14】已知等腰直角
中,
、
分别为直角边
、
上的点,且
,过
、
分别作
的垂线,交斜边
于
,
.
求证:
.
过手练习
【习题1】如已知
,
,求证:
.
【习题2】在
中,
,
的延长线交
的延长线于
,
求证:
.
【习题3】如图,在
的边
上取一点
,在
取一点
,使
,
直线
和
的延长线相交于
,求证:
专题讲解
1.选择题
(1)如图5-27,△ABC中,D在AB上,E在AC上,下列条件中,能判定DE∥BC的是( )
图5-27
A.
B.
C.
D.
(2)如图5-28,
,
与
交于点P,PA=a,AB=b,BC=c,PD=d,DE=e,EF=f,则bf=( )
图5-28
A.ab B.bd C.ae D.ce
(3)如图5-29,△ABC中,
,则OE∶OB=( )
图5-29
A.
B.
C.
D.
(4)如图5-30,已知BN∥AM,ND∥MC,那么有( )
图5-30
A.
B.
C.
D.以上答案都不对
(5)如图5-31,H为□ABCD中AD边上一点,且AH=
DH,AC和BH交于点K,则AK∶KC等于( )
图5-31
A.1∶2 B.1∶1 C.1∶3 D.2∶3
2.填空题
(1)如图5-32,梯形ABCD中,AD∥BC,延长两腰交于点E,若AD=2,BC=6,AB=4,则
=________,
=________;
图5-32
(2)如图5-33,梯形ABCD中,DC∥AB,DC=4,AB=7,且MN∥PQ∥AB,DM=MP=PA,则MN=________,PQ=________;
图5-33
(3)如图5-34,梯形ABCD中,AB∥CD,M为AB中点,分别连结AC、BD、MD、MC,且AC与MD交于E,BD与MC交于F,则EF与AB的位置关系是________;
3.如图5-35,△ABC中,M为AC的中点,E为AB上一点,且
,连结EM并延长,交BC的延长线于D,求证:
BC=2CD.
4.如图5-36,在△ABC中,EF∥CD,DE∥BC,求证:
.
5.如图5-37,△ABC中,AF∶FD=1∶5,BD=DC,求:
AE∶EC.
6.如图5-38,M为□ABCD的边BC的中点,F为DC边上的点,BF交AM于N,交AC于E,且AN=3MN,求FC∶AB的值.
7.如图5-39,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC交AC于E,连结CD,过E作EF∥CD交AB于F,求证:
AD是AF和AB的比例中项.
8.如图5-40,已知△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于D,F为BC中点,过F作BC垂线交AB于E,BD=6cm,DC=4cm,AB=8cm,求AE、BE的长.
9.如图5-41,已知△ABC中,∠ACB=90°,
∶
=1∶3,BC=12cm,FE⊥BC于E,求EB的长.
10.如图5-42,已知:
□ABCD对角线交于O,OE⊥BC于E,交AB的延长线于F,若AB=a,BC=b,BF=c,求BE的长.
参考答案
1.
(1)A
(2)D (3)A (4)B (5)C
2.
(1)
,
(2)5,6 (3)平行
3.提示:
过点C作CN∥DE交AB于N.
4.略 5.1∶10 6.
7.略 8.
,
9.3cm
10.
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