高中各种函数图像画法与函数性质.docx

高中各种函数图像画法与函数性质.docx

《高中各种函数图像画法与函数性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中各种函数图像画法与函数性质.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中各种函数图像画法与函数性质

一次函数

（1）函数

1、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

一次

函数

，

符号

图象

性质

随

的增大而增大

随

的增大而减小

二次函数

图像

定义域

对称轴

顶点坐标

值域

单调区间

递减

递增

递增

递减

二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于

轴对称

关于

轴对称后，得到的解析式是

；

关于

轴对称后，得到的解析式是

2.关于

轴对称

关于

轴对称后，得到的解析式是

；

关于

轴对称后，得到的解析式是

；

3.关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是

；

关于原点对称后，得到的解析式是

4.关于顶点对称（即：

抛物线绕顶点旋转180°）

关于顶点对称后，得到的解析式是

；

关于顶点对称后，得到的解析式是

．

5.关于点

对称

关于点

对称后，得到的解析式是

反比例函数

1、反比例函数图象：

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

2、性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

　　2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：

x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

　10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

　13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点

指数函数

概念：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：

⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质

规律：

1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：

“大增小减”。

即：

当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数

比较幂式大小的方法：

1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；

4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

　　在f（X）后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=ax在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，所以它存在反函数，

我们把指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的反函数称为对数函数，并记为y=logax（a＞0，a≠1）.

因为指数函数y=ax的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞），所以对数函数y=logax的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）.

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=logax（a＞0，a≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log

x,y=log

x的草图

图

象

a＞1

a＜1

性

质

（1）x＞0

（2）当x=1时，y=0

（3）当x＞1时，y＞0

0＜x＜1时，y＜0

（3）当x＞1时，y＜0

0＜x＜1时，y＞0

（4）在（0，+∞）上是增函数

（4）在（0，+∞）上是减函数

补充

性质

设y1=logaxy2=logbx其中a＞1，b＞1（或0＜a＜10＜b＜1）

当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2

当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2

比较对数大小的常用方法有：

（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

（2）若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

（3）若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

（4）若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

名称

指数函数

对数函数

一般形式

y=ax（a＞0，a≠1）

y=logax（a＞0，a≠1）

定义域

（-∞，+∞）

（0，+∞）

值域

（0，+∞）

（-∞，+∞）

函

数

值

变

化

情

况

当a＞1时，

当0＜a＜1时，

当a＞1时

当0＜a＜1时，

单调性

当a＞1时，ax是增函数；

当0＜a＜1时，ax是减函数.

当a＞1时，logax是增函数；

当0＜a＜1时，logax是减函数.

图像

y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.

幂函数

幂函数

随着

的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点

1

时，幂函数图像过原点且在

上是增函数．

2

时，幂函数图像不过原点且在

上是减函数．

3任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数

偶函数

非奇非偶函数

定义域

R

R

R

奇偶性

奇

奇

奇

非奇非偶

奇

在第Ⅰ象限的增减性

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递减

幂函数

（

R，

是常数）的图像在第一象限的分布规律是：

①所有幂函数

（

R，

是常数）的图像都过点

；

②当

时函数

的图像都过原点

；

③当

时，

的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如

）；

④当

时，

的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如

）

4

时，

的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如

5

时，

的的图像不过原点

，且在第一象限是“下滑”曲线（如

）

当

时，幂函数

有下列性质：

（1）图象都通过点

；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，

时，图象是向下凸的；

时，图象是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点

后，图象向右上方无限伸展。

当

时，幂函数

有下列性质：

（1）图象都通过点

；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与

轴无限地接近；向右无限地与

轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点

后，

越大，图象下落的速度越快。

无论

取任何实数，幂函数

的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

对号函数

函数

（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，

（当且仅当

即

时取等号），由此可得函数

（a>0,b>0,x∈R+）的性质:

当

时，函数

（a>0,b>0,x∈R+）有最小值

，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。

函数

（a>0,b>0）在区间（0，

）上是减函数，在区间（

，+∞）上是增函数。

因为函数

（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数

（a>0,b>0,x∈R-）的性质：

当

时，函数

（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-

，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。

函数

（a>0,b>0）在区间（-∞，-

）上是增函数，在区间（-

，0）上是减函数。