一线三等角型相似三角形.docx
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一线三等角型相似三角形
第七讲一线三等角型相似三角形
例1如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,/EDI=60°
(1)求证:
△BD0ACFD
(2)当BD=1,FC=3时,求BE
例2:
(1)在ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点
P不与点C、点B重合),且保持■APQ=/ABC.
1若点P在线段CB上(如图),且BP=6,求线段CQ的长;
2
若BP二x,CQ二y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
备用图备用图
(2)正方形ABCD的边长为5(如下图),点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与
点C、点B重合),且保持■APQ=90.当CQ=1时,求出线段BP的长.例3:
已知在梯形ABCD中,AD//BGAD (1)如图8,P为AD上的一点,满足/BPC=/A. 1求证;△ABMADPC 2求AP的长. APD BC (2)如果点P在AD边上移动(点P与点AD不重合),且满足/BPE=ZA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q那么 1当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域; 2当CE=1时,写出AP的长. AD 例4: 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB二CD二BC=6,AD=3•点M为边BC的中点,以M为顶点作.EMF=/B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF• (1)求证: △MEFBEM; (2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长; (3) 若EF_CD,求BE的长. 相关练习: 1、如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=10,D是BC边上的一个动点,点E在AC 边上,且.ADE• 求证: △ABBADCE 如果BD=x,AE=y,求y与x的函数解析式,并写出自变量 当点D是BC的中点时,试说明厶ADE是什么三角形,并说明理由. 2、如图,已知在厶ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,B[=2,E是BC上一动点,联结DE并作NDEF=NB,射线EF交线段AC于F. (1)求证: △DBE^AECF (2)当F是线段AC中点时,求线段BE的长; (3)联结DF,如果△DEF-与^DBE相似,求FC的长. 3、已知在梯形ABCDKAD//BCAD (1)如图,P为BC上的一点,且BF=2•求证: △BEF^ACPD (2)如果点F在BC边上移动(点F与点BC不重合),且满足/EFf=ZC,PF交直线CD于点F,冋时交直线AD于点M那么 ①当点F在线段CD的延长线上时,设BP=x,DF=y,求y关于x的函数解析式,并 写出函数的定义域; D ②当SDMF E 9 Sbep时,求BP的长. 4: A E A D B' P C B C (第25题图) (备用图) 4、如图,已知边长为3的等边ABC,点F在边BC上,CF-1,点E是射线BA上一 动点,以线段EF为边向右侧作等边EFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N, (1)写出图中与BEF相似的三角形; (2)证明其中一对三角形相似; (3)设BE=x,MN二y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (4)若AE=1,试求GMN的面积. 一线三直角型相似三角形备用图 例1、已知矩形ABCD中,CD=2AD=3点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点 P作PE_CP,交边AB于点E,设PD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。 BC AC2 例2、在ABC中,.C=90°,AC=4,BC=3,0是AB上的一点,且型=2,点P是 AB5 AC上的一个动点,PQ_CP交线段BC于点Q,(不与点B,C重合),设AP二x,CQ二y, 试求y关于x的函数关系,并写出定义域。 【练习1】 3 在直角MBC中,NC=90°,AB=5,tanB=—,点D是BC的中点,点E是AB边上的动 4 点,DF_DE交射线AC于点F (1)、求AC和BC的长 (2)、当EF//BC时,求BE的长。 (3) 、连结EF,当也DEF和AABC相似时,求BE的长。 F D 【练习2】 在直角三角形ABC中,.C=90°,AB=BC,D是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动 点,(与A,C不重合),DF_DE,DF与射线BC相交于点F. (1)、当点D是边AB的中点时,求证: DE=DF (2)、当型,求匹的值 DBDF AD1 (3)、当AC=BC=6,——=—,设AE=x,BF=y,求y关于x的函数关系式,并写出DB2 定义域 3 【练习4】]如图,在: ABC中,.C=90,AC=6,tanB,D是BC边的中点, 4 E为AB边上的一个动点,作.DEF=90,EF交射线BC于点F•设BE=x,BED的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2) 如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似,求BED的面积• 【练习5】、(2009年黄浦一模25) 4如图,在梯形ABC中,ABCD,AB二2,AD二4,tanC 3 ■ADC=/DAB=900,P是腰BC上一个动点(不含点B、C),作PQ_AP交CD于点 Q.(图1) ⑴求BC的长与梯形ABCD的面积; (2)当PQ=DQ时,求BP的长;(图2) (3)设BP二x,CQ二y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域. 相似三角形作业3 1、如图AB//CD//EF,则图中相似三角形的对数为() A、1对B、2对C、3对D4对 AB 2、如图,DE与BC不平行,当一=时, AC AABC与AADE相似。 3、如图,四边形ABCD是平行四边形,AE±BC于E,AF丄CD于F. ⑴AABE与AADF相似吗? 说明理由. ⑵AAEF与AABC相似吗? 说说你的理由. 4、.如图,D为AABC内一点,E为AABC外一点,且/1=Z2,Z3=74. (1)AABD与ACBE相似吗? 请说明理由⑵AABC与ADBE相似吗? 请说明理由 5、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子,假设图中的所有点、线 都在同一平面内,回答下列问题: (1)图中共有个三角形• (2)图中有相似(不包括全等)三角形吗? 如果有,就把它们 6、如图,AB丄BC,DCLBC,垂足分别为BC,且AB=8 在点P使厶ABP与△DCP相似? 若有,有几个? 并求出此时BP的长,若没有,请说明理由。 7、已知: 如图,CE是RtAABC的斜边AB上的高,BG丄AP. 求证: ce2=ed-ep. 8、.如图,在直角梯形ABCD中,AB//CD,DA_AB,CD=2,AB=3,AD=7,在AD 上能否找到一点P,使三角形PAB和三角形PCD相似? 若能,共有几个符合条件的点P? 并求相应PD的长。 若不能,说明理由。 9、如图: AB是等腰直角三角形ABC的斜边,点M在边AC上,点N在边BC上,沿直线MN 将厶MCN翻折,使点C落在AB上,设其落点为P, ①当P是边AB中点时,求证: PACM PB一CN PACM ②当p不是边AB中点时,矿而是否仍成立? 请证明你的结论;
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