03第三章非惯性系质点动力学.docx
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03第三章非惯性系质点动力学
第三章非惯性系质点动力学
课后作业题
3-1.如习题3-1图所示,一小车沿倾角为二的光滑斜面滑下。
小车上悬挂
一摆锤。
当摆锤相对小车静止时,摆线与铅垂线的夹角为多大?
解:
以斜面为参考系(惯性系),以小车与摆锥整体为研究对象,应用牛顿
第二定律有:
Mgsinv-Ma
以小车为参考系(加速直线运动的非惯性系),以水平向右和向上为x,y的
正方向,如习题3-1图所示,以摆球为研究对象,加上沿斜面向上的惯性力ma后,对摆球应用牛顿第二定律:
x方向:
Tsin:
=macos^
y方向:
Tcos二1masinr二mg
两式联立得:
tg〉=tgv,即:
-
V
3-2.在卡车的尾部通过一根绳子拖着一根粗细均匀的圆木。
绳长为d,圆
木长为I,绳与卡车的连接点距地高h。
问卡车必须以多大的加速度a行驶,才能使圆木与地面脱离?
解:
以车为参考系(加速直线运动的非惯性系),以圆木为研究对象。
设圆木与地面间夹角为二,加上惯性力-ma后,圆木处于平衡状态,圆木脱离
第一篇:
质点基本运动规律第三章非惯性系下质点动力学49
地面条件是
水平方向:
圆木与地面相互作用力为零。
Tcosv-ma
竖直方向:
Tsinv-mg
由习题3-2图所示的几何关系得:
sin-
丨+d
联立得:
a=g..(Id)2-h2。
h和
3-3.在一体积为V,质量为m0的铁盒内置有一阿特伍德机,已知两物体的
质量分别为mi和m2。
现将此铁盒放入密度为「的液体中,如习题3-3图
所示,试求铁盒在下沉过程中的加速度。
忽略液体对铁盒的阻力作用。
习題3-3图
解:
习题3-3图所示,以液体为参考系(惯
性系),向下为正方向,设mi,m2之间的绳中张力为T。
以mo为研究对象有:
m°g•2T-「Vg=m°a
以铁盒为参考系(加速直线运动的非惯性系),设向下为正方向,分别以m1,m2为研究对象,分别加上-mi,-m?
a的惯性力,mi、m?
相对于铁盒具有等值的加速度a相,应用牛顿第二定律:
对m1:
mig-T-m1^m1a相
对m2:
m2g-T=m2(_a相)
联立解得:
a=(m」mXmH如%。
m0(m<^m2p^4m1m2
3-4.女口习题3-4图所示,质量为m2=2kg和m3=1kg的两个物体分别系在一根跨过滑轮B的细绳的两端,而滑轮B又与质量为mj=3kg的物体
系在另一根跨过定滑轮A的细绳的两端。
试求:
(1)mi、m2和m3的加速度ai、a?
和a3;
(2)跨过滑轮A的绳和跨过滑轮B的绳中张力Fta、Ftb。
解:
设竖直向下为正方向,B的加速度为aB,跨过滑轮AB细绳的两端拉
力分别为Fta、Ftb。
以滑轮A为参考系(惯性系),以m<)为研究对象有:
gg—Fta=0(—aB),且Fta=2Ftb
以B为参考系(加速直线运动的非惯性系),以m2,mb为研究对象,两者相对B具有等值的加速度a相,仍以竖直向下为正方向,对m2、m3分别加
上-m^aB和-m^aB的惯性力后,应用牛顿第二定律:
对mi?
:
m)2g-Ftb-=m2a相
对m3:
m^g-Ftb-m3aB=mi3(-a相)
代入数据联立解得:
Ftb
(1)a!
244816
芍g,Ft「石g,aB.石g,a卄石g
1CLC/2
=-aBg:
0.58m/s,
B仃m
52
a2=a相aBg:
-2.9m/s,
17
(2)FTA二4%=27.7N,FTB=24g=13.8N。
17TB17
3-5.一质量为,倾角为二的斜面体放在水平面上,在斜面体上有一质量
为m的物体。
为使m不与斜面发生相对运动,现用一水平力F作用在m0
上,如习题3-5图所示。
(1)若所有接触面均光滑,F应多大?
(2)若m与之间的摩擦系数为J,而与水平面间无摩擦,求F的范围。
解:
在m不与斜面发生相对运动时,以地面为参考系,对m与m0整体应
用牛顿第二定律有:
F=(mm0)a
以m°为参考系(加速直线运动的非惯性系),沿斜面向下和垂直斜面向上
为x,y的正方向,以m为研究对象,加上水平向左的惯性力ma后,对m应
用牛顿第二定律:
x方向:
mgsinv-f—macosv-0
y方向:
N-mgcos:
-masin:
-0
m与m0不发生滑动的极值条件为:
f二NJ
联立可得:
所有接触面均光滑时,」=0,此时,F=(m0•m)gtan二。
习趣3-5禹
3-6.一摩托车以36km/h的速率
在地面上行驶。
其轮胎与地面间的摩擦系数J为0.3。
试求:
(1)摩托车在转弯时轨道的最小曲率半径;
(2)摩托车与铅垂线之间的最大倾斜角。
解:
设摩托车与地面间的摩擦力为f,弯道的曲率半径为R,以摩托车为
2
参考系(匀角速转动的非惯性系),加上水平方向的惯性离心力叱后,摩
R
托车处于平衡状态:
2
水平方向受力平衡:
f-敗=0
R
竖直方向受力平衡:
N-mg=0
相对摩托车质心力矩平衡:
flCOST-Nlsinr,其中I为摩托车与地接触
点到摩托车质心间的距离。
最大静摩擦力条件:
f_N」
联立得:
最小半径Rmin=34m
最大倾角tan^max=」=0.3,Vmax=16.7°。
3-7.一根绳子的两端分别固定在顶板和底板上,两固定点位于同一铅垂线,
相距为h。
一质量为m的小球系于绳上某点处,当小球两边的绳均被拉直时,两绳与铅垂线的夹角分别为和匕,如习题3-7图所示。
当小球以一
定的速度在水平面内做匀速圆周运动时,两绳均被拉直。
试问:
(1)若下面的绳子中的张力为零,则小球的速度为多大?
(2)若小球的速度是
(1)小题中求得的速度的2倍,则上、下两段绳中的张力各为多大?
解:
以小球为参考系(匀角速转动的非惯性)
分别为Fti、Ft2,加上水平方向的惯性离心力
,小球上、下两侧绳中的张力
2
m—后,对小球应用牛顿第
R
二定律:
(2)若v1=.2v,联立可求得:
2tan弓tan二2mgmg
i,Ft2:
tan可tanr2cos弓cot弓cot二2sin二2
习趣3-7漓
3-8.一小物体放在一半径为R的水平圆盘边缘上,
小物体与圆盘间的静摩擦系数为J。
若圆盘绕其轴的角速度逐渐增大到一
个值时,小物体滑出圆盘并最终落到比盘面低h的地面上。
问从它离开圆
盘的那一点算起,小物体越过的水平距离多大?
解:
设小物体落下时越过的水平距离为I,下落时间为t,有:
h=】gt2,I二vt
2
其中,v=R•为物体刚好离开圆盘时相对地面的速度(此时,物体相对圆盘的速度近似为零)。
设小物体质量为m,与圆盘的摩擦力为f,以圆盘为参考系(因为圆盘绕其轴的角速度逐渐增大,所以可将其在短时间内视为匀角速转动的非惯性系)。
小物体恰好滑出圆盘时受最大静摩擦力f=丄mg,加上沿圆盘径向
2
方向的惯性离心力m,'2R二咏后,小物体相对圆盘处于平衡状态,对其
R
2
应用牛顿第二定律:
0=」mg-皿-
yR
联立可得:
I=冷刃Rh。
3-9.一根光滑的钢丝弯成如习题3-9图所示的形状,其上套有一小环。
当
钢丝以恒定角速度-■绕其竖直对称轴旋转时,小环在其上任何位置都能相对静止。
求钢丝的形状(即写出y与x的关系)。
联立积分得:
y^1x2。
2g
3-10.一圆盘绕其竖直的对称轴以恒定的角速度「旋转。
在圆盘上沿径向
开有一光滑小槽,槽内一质量为m的质点以v0的初速从圆心开始沿半径向外运动。
试求:
(1)质点到达习题3-10图所示位置(即y=y0)时相对圆盘的速度v;
(2)质点到达该处所需要的时间t;
(3)质点在该处所受到的槽壁对它的侧向作用力F。
解:
以盘为参考系(匀角速度转动的非惯性系),以质点为研究对象,加上
径向的惯性离心力后,对质点应用牛顿第二定律有:
在y方向上:
2dv
m■y=ma=mdt
两边同时乘以
2dv
dy得:
m,ydy二m—dy二mvdvdt
两边积分可得:
2222
v-v。
y
(1)y=yo,代入上式解得:
y=v22yo;
(3)该处槽壁对质点的侧向作用力F与科里奥利力的大小相等,为:
F二2mv■
=2^.v22y2,方向为沿质点径向运动方向的左方。
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- 03 第三 惯性 质点 动力学
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