三维欧氏空间中的非可展直纹面.docx
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分类号 密级
UDC
学位论文
三维欧氏空间中的非可展直纹面
作者姓名:
武娟
指导教师:
刘会立教授
东北大学理学院
申请学位级别:
硕士
学科专业名称:
基础数学
学科类别:
理学
论文提交日期:
2014年6月 论文答辩日期:
2014年6月
学位授予日期:
2014年7月答辩委员会主席:
评 阅 人 :
、
东北大学
2014年6月
万方数据
AThesisinFundamentalMathematics
Someun-developableruledsurfacesin
Euclidean3-space
ByJuanWu
Supervisor:
ProfessorHuiliLiu
NortheasternUniversity
June2014
万方数据
独创性声明
本人声明,所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的.论文中取
得的研究成果除加以标注和致谢的地方外,不包含其他人己经发表或
撰写过的研究成果,也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料.与
我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的
说明并表示谢意.
学位论文作者签名:
日期:
学位论文版权使用授权书
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即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的
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.
复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅.本人同意东北大学可以将学位
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作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后:
两年n
一年半□
年
半年
V
学位论文作者签名:
导师签名:
(
>
签字曰期:
:
)
--
万方数据
东北大学硕士学位论文 摘要
三维欧氏空间中的非可展直纹面
摘要
微分几何是一门历史悠久而且至今仍然生命力旺盛的学科,近几年来它对其
它自然学科的影响也是越来越深刻和广泛.曲面论和曲线论是微分几何中两大重
要的内容,其中直纹面因具有良好的性质而在曲面论中占据十分重要的地位.在三
维欧氏空间中的直纹面根据它的高斯曲率可以将其分为两大类.•可展的直纹面以
及非可展的直纹面.对于可展的直纹面来说,研究己经相当成熟,包括直纹面的形
式,分类,性质等等,但是对于非可展的直纹面,研究的就相对较少.
本文的主要内容就是研究非可展的直纹面,首先利用非可展直纹面腰曲线的
存在唯一性,将腰曲线选为直纹面的准线,并取6(幻为单位球面曲线,其中〃为其弧长参数.之后建立该球面曲线的Frenet标架,计算Frenet公式,并用Frenet标架表不即a\u)=+/uy.本文以e为前提,得到Y(w)=(又++我们主要讨论的分类.针对(乂+c//)=0,+=p以及=⑻这三种情况,研究直纹面的表示,以及直纹面所具有的一些基本性质,包括曲面的高斯曲率,平均曲率,第一和第二基本形式等等.
关键词:
三维欧氏空间;直纹面;非可展直纹面;高斯曲率
-II—
万方数据
东北大学硕士学位论文 Abstract
SomespecialruledsurfacesinEuclidean
3-space
Abstract
Differentialgeometryisasubjectwhichhasalonghistory.However,thelifeforceofthissubjectisstillbloominguntilnow.Ithasadeeperinfluenceonotherbranchesofmathematicsinrecentyears,andexpendsitsrangeofinfluencetoothersubjectsmoreandmore.Curvetheoryandsurfacetheoryaretwoimportantelementsindifferentialgeometry.Ruledsurfacewhichhasgoodcharactersoccupiesveryimportantpositioninsurfacetheory.In3-dimensionalEuclideanspaceruledsurface
canbedevelopablesurface,orun-developablesurfacebyitsGaussiancurvature.The
charactersofthedevelopablesurfaceareclearuntilnow,butthestudyoftheun-
developablesurfaceisrare.
WedenotetheEuclidean3-spacebyE3andaregularparametersurfacewiththe
9= +
parametersuandvinE3byr(u,v)=a(u)+vb(u).Atfirst,letr(uv) a(u)vb(u)
beaun-developableruledsurfacein£3andb2(w)=1,theparameteru
isthearc
lengthparameterofb(u)asaunitsphericalcurveinE3,.Furthermore,weassumethat
•
?
du
thebasecurvea(u)oftheruledsurfacer(wv)isthestrictionlineofthesurfacethatmeans{a\u\b\u))=Q,hereweusea=—daThenwecalculatetheFrenetformulaand
expressa\u)thebyit.Inthispaper,
weletK
^
=C,wecangetthefunction
asa\u)=(X-bcfi)x+c{ju,wegetsometypesofun-developablesurfacebydiscussingtheparameters,whentheyare(A+c/u)=0,(A+cju)=/?
or(又+cju)=p(u).Finallywecanstudythecharactersoftheseun-developablesurfaces,suchastheGausscurvature,meancurvature,thefirstandsecondfundamentalforms.
-Ill一
万方数据
东北大学硕士学位论文 Abstract
Keywords:
Euclidean3-space;ruledsurfaces;un-developablesurface;
Gausscurvature
万方数据
一IV-
东北大学硕士学位论文 目录
目录
独创性声明
摘要 II
Abstract in
第1章引言
1.1微分几何的过去与未来
L2微分几何在中国 4
1.3欧氏几何 5
1.4非欧氏几何 6
1.5本文的主要内容、研宄目的及意义 8
第2章预备知识 9
2.1三维欧氏空间 9
2.2三维欧氏空间中的标架 9
2.3三维欧氏空间中的内积、外积、混合积 10
2.4三维欧氏空间中的曲线以及曲线的Frenet公式 12
2.5曲面的基本量 16
2.5.1曲面的第一基本量 16
2.5.2曲面的第二基本量 16
2.5.3曲面的高斯曲率和平均曲率 16
2.6三维欧氏空间中的直纹面 18
2.6.1直纹面的定义 18
2.6.2可展直纹面的定义 18
2.6.3非可展直纹面的定义 18
2.6.4直纹面的性质 19
2.6.5直纹面的基本量 25
第3章主要结论及证明 27
一V一
万方数据
东北大学硕士学位论文 目录
3.1当又+/=0时 30
3.1.1直^纹面的形式 30
3.1.2直纹面的高斯曲率和平均曲率 31
3.2当又+//c=户(常数)关0时 33
3.2.1直纹面的形式... 33
3.2.2直纹面的基本量 34
3.2.3直纹面的例子 35
3.3当又+c"=p(w)(;?
(w)为关于w的函数)时 37
3.3.1直纹面的形式 37
3.3.2直纹面的一些相关量 37
第4章总结 40
参考文献 41
致谢 43
万方数据
—VI—
东北大学硕士学位论文 第1章引言
第1章引言
几何学是一门具有悠久历史的科学,一直居于数学发展的主流地位.从Euclid几何学、解析几何学到微分几何、罗氏几何,再到黎曼几何,都显示着几何的重要性及发展潜力.微分几何是几何学的重要组成部分.伴随着微积分在数学各个分支
中的应用以及解析几何的确立,微分几何在18世纪得到广泛发展.19世纪,它己经成为数学的一个非常重要的分支.进入20世纪,由于黎曼几何成为爱因斯坦广义相对论的数学基础,微分几何更是引起了研究的热潮.纵观微分几何的发展,它不仅深刻地影响了20世纪数学的发展,而且深刻地影响了20世纪物理学的发展,成为20世纪数学研究的一个主流方向.
L1微分几何的过去与未来
微分几何学肇始于17世纪微积分的创立.1718世纪,由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分及由此引发的分析运动,对数学和整个科学界带来了极大的刺激.正是分析方法的应用,开拓了一个新的数学分支一一微分几何[1].微分几何是以微积分和代数学为基础的学科,伴随着微积分在数学各个分支中的应用以及解析几何的确立,微分几何在18世纪得到了广泛的发展.到19世纪,微分几何己经成为数学的一个非常重要的分支,它渗透到各数学分支和理论物理等学科
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- 关 键 词:
- 三维 空间 中的 非可展直纹面