第5章资产组合计算.docx

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第5章资产组合计算

第5章资产组合计算

资产组合是实务性比较强的内容，通过本章的学习，要求读者掌握协方差与相关系数之间的相互推导，熟悉资产组合基本理论，学会用MATLAB计算投资组合基本参数，如均值与方差、资产组合VaR，重点掌握资产组合有效前沿的计算，能够处理无风险利率以及借贷关系情况下的最优投资组合，会用MATLAB规划工具箱求解投资组合最优化问题。

5.1资产组合基本原理

证券投资组合理论（PortfolioTheory）主要研究如何配置各种不同的金融资产，实现资产组合的最佳投资配置。

1952年美国学者马克维茨创立了资产组合理论，该理论在实践中得到广泛运用。

5.1.1收益率序列与价格序列间的转换

1．将收益率序列转换为价格序列

在处理金融时间序列时，有时需要把收益率序列转换为价格序列。

在MATLAB中将收益率序列转换为价格序列的函数是ret2tick。

调用方式

[TickSeries,TickTimes]=ret2tick（RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime,Method）

输入参数

RetSeries%收益率序列

StartPrice%（0ptional）起始价格，默认值是1

RetIntervals%（0ptional）收益率序列的时间间隔，默认值是l

StartTime%（optional）价格开始计算的时间，默认值是0

Method%（Optionl）转换方法。

Method='Simple'表示简单,

;Method＝'Continous'表示连续法，

。

输出参数

TickSeries%价格序列

TickTimes%与价格对应的时间序列

例5-1己知资产收益率以及时间间隔如表5.1所示

表5.1资产收益率及时间

收益率

0.10

0.05

-0.05

时间间隔（天）

182

91

92

起始价格为10元，起始时间为2000年12月18日，试求该资产价格时间序列，收益率采用离散方法。

在MATLAB中执行以下命令：

RetSeries=[0.10,0.05,-0.05]';

RetIntervals=[182,91,92]';

StartPrice=10;

StartTime=datenum（'18-Dec-2000'）;

[TickSeries,TickTime]=ret2tick（RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime）

datestr（TickTimes）

ans=

18-Dec-2000

18-Jun-2001

17-Sep-2001

18-Dec-2001

这样就把收益率时间序列转换为价格时间序列，结果如表5.2所示。

表5.2资产各时间的价格

时间

18-Dec-2000

18-Jun-2001

17-Sep-2001

18-Dec-2001

价格

10.0000

11.0000

11.5500

10.9725

收益率

-

0.10

0.05

-0.05

时间间隔

-

182

91

92

2．将价格序列转换为收益率序列

MATLAB中将价格序列转换为收益率序列的函数是tick2ret。

调用方式

[RetSeries,RetIntervals]=tick2ret（TickSeries,TickTimes,Method）

输入参数

TickSeries%价格序列

TimeTimes%价格序列对应的时间

Method%（Optionl）计算收益率的，Method='Simple'表示算术收益率;Method＝'Continous'表示连续法，即为对数计算法。

输出参数

RetSeries%收益率序列

RetIntervals%收益率时间间隔

例5-2已知股票的价格时间序列如表5.3所示。

表5.3股票各时间对应的价格

时间

0

6

9

12

价格

100

110

115

110

求出该股票的收益率时日序列。

在MATLAB中执行以下命令：

TickSeries=[100;110;115;110];

TickTimes=[0;6;9;12];

[RetSeries,RetIntervals]=tick2ret（TickSeries,TickTime）

5.1.2协方差矩阵与相关系数矩阵间的转换

MATLAB中的corr2cov函数可以把相关系数矩阵转换为协方差矩阵

调用方式

Covariances=corr2cov（STDs,Correlations）

输入参数

STDs%标准差矩阵

Correlations%相关系数矩阵

输出参数

Covariance%协方差矩阵

例5-3已知资产组合中有3个品种，每个品种的资产收益率、标准差和相关系数如表5.5所示。

表5.5的相关数据

Returns=[0.1,0.15,0.12];

STDs=[1,0.8,0.18];

Correlations=[1,0.8,0.4;0.8,1,0.3;0.4,0.3,1];

Covariances=corr2cov（STDs,Correlations）

5.1.3资产组合收益率与方差

MATLAB中计算资产组合回报与方差的函数是portstats。

调用方式

[PortRisk,PortReturn]=portstats（ExpReturn,ExpCovariance,PortWts）

输入参数

ExpReturn%期望收益率向量

ExpCovariance%资产的协方差矩阵

PortWts%资产权重向量

输出参数

PortRisk%总资产的标准差

PortReturn%%总资产的收益

例5-4某资产组合中有3种资产A、B、C．组合中各资产的预期收益率分别为0.1,0.2,0.15,权重分别为0．4,0．2,0．4，具体数据见程序

ExpReturn=[0.1,0.2,0.15];

ExpCovariance=[0.0100,-0.0061,0.0042;-0.0061,0.0400,-0.0252;0.0042,-0.0252,0.0225]

PortWts=[0.4,0.2,0.4;0.2,0.4,0.2];

[PortRisk,PortReturn]=portstats（ExpReturn,ExpCovariance,PortWts）

PortRisk=

0.0560

0.0550

PortReturn=

0.1400

0.1300

从上述结果可以看到，这两个资产组合的标准差分别为0.056、0.055，资产回报分别0.1400,0.1300

例5-5假设资产组合中有5种资产，收益分别为0.1，0.12,0.14,0.16,0.2，方差分别为0.02,0.03,0.01,0.05,0.02,资产收益率各不相关，各资产权重分别为0.1,0.2,0.3,0.2,0.2,计算该组合的收益率与方差。

returns=[0,1,0.12,0.14,0.16,0.2];

variances=[0.02,0.03,0.01,0.05,0.02];

ws=[0.1,0.2,0.3,0.2,0.2];

mean=sum（returns.*ws）

variance=sum（variance.*ws.^2）

5.1.4资产组合VaR（ValueAtRisk）

一般被称为“风险价值”或“在险价值”，指在一定的置信水平下，某一金融资产（或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。

假定JP摩根公司在2004年置信水平为95％的日VaR值为960万美元，具含义指该公司可以以以95％的把握保证，2004年某一特定时点上的金融资产在未来24小时内，由于市场价格变动带来的损失不会越过960万美元，或者说，只有5％的可能损失超过960万美元。

与传统风险度量手段不同，VaR完全是基于统计分析基础上的的风险度量技术，它的产生足JP摩根公司用来计算市场风险的产物。

例5-6假设投资者拥有两种资产，资产总价他为10000000元，资产权重分别为1／4与3／4，这两种资产日波动率的均值分别为0.003,0.002，标准差分别为0.02,0.01，这两种资产之间的相关系数为0.8，时间为10天，给定置信度为99％，求该资产VaR。

首先求总资产方差，公式如下

其中，

分别为资产组合权重，

为单个资产标准差，

为为这两种资产之间的相关系数。

一般地，可将式（5.1）用向量与矩阵形式表示，记

，表示各资产的权重，

表示各种资产的标准差，资产协方差矩阵记入cov，则式（5.1）可以改写为如下形式：

（5.2）

记号

表示向量转置。

如果记

，则有

有了资产组合方差，就可以计算出Var数值。

从正态分布表中可以查到对应于置信度99％（

）的

，在各种资产都是服从正态分布的假设下，资产Var值为

（5.4）

具体来讲，计算Var的步骤如下。

第1步：

输入资产权重向量w、各资产的标准差sigma、资产之间的相关系数cov，注意协方差矩阵一定是对称矩阵，需要计算时间长度

。

第2步：

权重向量点乘标准差向量。

第3步：

计算资产总的标准差

。

第4步：

对于给定置信度

，查正态分布表找到

第5步：

计算Varmit算Vat，

在Command窗口中执行如下命令：

w=[1/4,3/4];ret=[0.003,0.002];sigma=[0.02,0.01];

corrcoef=[1,0.8;0.8,1];delta=10;

pret=delta*dot（w,ret）

sig=w.*sigma;

tsig=sig*cov*sig'*delta;

var=10^7*（pret-2.3263*sqrt（tsig））

10天VaR值为649300元。

实际上MATLAB中有专门计算Var值的函数，MATLAB巾的portrisk函数可以计算资产组合Var值，注意输入总资产期望收益与标准差，而不是组合中各种种资产的预期收益率与标准差。

调用方式

ValueAtRisk=portrrisk（PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue）

输入参数

PortReturn%总资产的回报

PortRisk%总资产的标准差

RiskThreshold%概率阈值，默认值为0.05

PortValue%资产总的价值

输出参数

ValueAtRisk%概率阈值下的单资产var值

例5-7已知资产年回报率为0.0029，标准差为0.0308，资产现在价值为1亿，求1%水平下资产在险价值。

在MATLAB中执行以下命令：

PortReturn=0.0029;

PortRisk=0.0308;

RiskThreshold=0.01;

PortValue=1;

ValueAtRisk=portvrisk（PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue）

该资产var等于0.0688，即该资产损失0.0688亿的可能性为1％。

需注意的是金融资产一般并不是正态，而是呈现出肥尾特征，其Var较正态分布大。

5.2资产组合有效前沿

由于证券市场投资存在巨大风险，一般不主张把投资集中在一种产品上。

如果一个投资者投资于深证东泰股份（000506），2001年8月10日收盘价为14．10元，到了2006年2月21日收盘价为1.54元，跌幅高达89.08％，如果再要回到原来价位需要上涨9.15倍，这样的机会是几乎不可能的，如果投资名踩中这样的陷阱恐怕很难再有翻身的机会。

运用组合理论可以有效地降低投资风险，其核心思想是在目标收益率给定的情况下，要求资产组合风险最小。

资产组合理论是由马克维茨（H．Markowitz）1952年提出均值方差理论模型

其中，

是协方差矩阵

，

表示第

种资产的收益率，

表示第

种资产在总资产中所占的份额。

5.2.1两种风险资产组台收益期望与方差

假设有两种资产A、B，其收益率分别用

表示，协方差分别为

，记资产组合组合为

，资产组合收益率、方差分别为

，

分别表示投资的权重，则有

该资产组合期望收益率与方差为

这样资产组合收益率均值与方差如图5.1所示。

图51资产组合收益率均值与方差

MATLAB工具箱中包含了资产均值方差有效前沿函数，这些都是基于MATLAB中的最优化理论工具箱。

马克维茨资产组合理论就是寻找一个有效组合。

所谓有效组合是指在同样风险水平下具有最高收益，这样不同收益及与最小风险构成有效前沿。

在不允许卖空情况下，求解有效组合目标函数为

这是一个约束条件为线性且含有不等式的二次规划方程，给定一个组合收益率就有个最小方差，组合收益与最小方差构成有效前沿关系，有效前沿如图5.2所示。

522均值方差有效前沿

MATLAB中计算均值方差有效前沿的函数为frontcon。

调用方式

[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon（ExpReturn,ExpCovariance,

NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds）

输入参数

ExpReturn%资产组合中每项资产预期回报，为一行向量

ExpCovariance%各种资产之间的协方差矩阵，为对称矩阵

NumPorts%（Optional）在资产组合有效前沿上的点的个数，默认值是10个点。

PortReturn%（Optional）有效前沿上每个点的回报

AssetBounds％（Optional）每种资产权重的上限、下限区间

Groups%（Optional）如果G（i,j）=1表示第i个资产属于第j个群，G（i，j）=0表示第i个资产不属于第j个群

GroupBounds%（Optional）每种种群权重约束区间，默认值规定下限为0，上限为l

输出参数

PortRisk%组合的标准差

PortReturn%组合的回报

PortWts%组合中每个资产的权重

例5-8考虑一个三资产组合，分别为资产1、资产2与资产3，其预期收益率分别为0.2、0.1、0.15，资产协方差矩阵如表5.7所示，求该资产组合有效前沿。

在MATLAB中执行如下命令

ExpReturn=[0.1,0.2,0.15];

ExpCovariance=[0.0100,-0.0061,0.0042;-0.0061,0.0400,-0.0252;0.0042,-0.0252,0.0225];

NumPorts=4;

[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon（ExpReturn,ExpCovariance,

NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds）

5.2.3带约束条件资产组合有效前沿

投资组合中的问题很少有简单的约束，大多数情况下是多种约束，例如监管当局为了控制风险，对资产组中每种资产的比例加以种种限制，这时就需要考虑多种约束条件下的最优组合问题。

MATLAB利用均值-方差理论求解资产组合问题，首先是将约束条件写成矩阵形式，例如

或者

形式。

下面用一个例了说明。

例5-9某资产组合中有5种资产构成，第i种资产的预期回报率为

为第

种资产在总资产中的权重，考虑

具有如下形式：

上述约束条件写成矩阵形式如下

A=[1,0,0,0,0,0.35;0,1,0,0,0,0.30;0,0,1,0,0,0.40;0,0,0,0,1,0.50

-1,0,0,0,0,0;0,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,0,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0;-1,-1,0,0,0,-0.2;-1,-1,-1,0,0,-0.3;1,1,0,0,0,0.6;1,1,1,0,0,0.7]

注意约束条件

可以分解成两个约束条件：

和

，分别对应于矩阵的第l行和第6行。

下面我们计算约束条件下资产

组合有效前沿。

调用方式

[PortRisk,PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,ConSet）

输入参数

ExpReturn%资产的期望回报率

ExpCovariance%资产的协方差

NumPorts%（Optional）资产组合中投资品种的个数

PortReturn%Optional）要求组合的回报率

ConSet%（Optional）约束条件

输出参数

PortRisk%资产组合的风险

PortReturn%资产组合的回报

PortWts%组合中各种资产的权重

例5-10设有两种资产，其回报率分别为0.1,0.3,协方差矩阵为

约束条件为

，求该资产组合有效前沿。

在MATLAB中执行如下命令：

ret=[0.1,0.3];cov=[0.02,0;0,0.04];

constr=[1,1,1;1,0,0.2;-1,0,0;0,-1,-0.3];

portopt（ret,cov,[],[],constr）

图5.3含约束条件均值方差有效前沿示意图

例5-11各资产的相关系数矩阵、预期回报率和标准差如表5.8所示

试给出有效前沿。

在MATLAB中执行如下命令

Returns=[0.1,0.15,0.12];STDs=[0.2,0.25,0.18];Correlations=[1,0.8,0.4;0.8,1,0.3;0.4,0.3,1];

Covariances=corr2cov（STDs,Correlations）

portopt（Returns,Covariances,20）%绘出组合的有效前沿

%然后选择权重

rand（'state',0）;

Weights=rand（1000,3）;

Total=sum（Weights,2）;

Weights（:

1）=Weights（:

1）./Total;

Weights（:

2）=Weights（:

2）./Total;

Weights（:

3）=Weights（:

3）./Total;

输入资产组合有效前沿，以及相关资产组合，绘出各个资产组合风险与收益，代码如下：

[PortRisk,PortReturn]=portstats（Returns,Covariances,,Weights）;

holdon

plot（PortRisk,PortReturn,'.r'）

title（'均值-方差有效前沿以及各个资产组合风险与收益'）

xlabel（'风险（标准差）'）

ylabel（'期望收益率'）

holdoff

这样资产组合有效前沿和各种资产组合风险与收益点如图5.4所示。

均值-方差有效前沿以及各种资产组合风险与收益

5.2.4考虑无风险资产及借贷情况下的资产配置

资产组合有效前沿上的点很多，如何选择一个有效点呢?

投资者需要根据目标函数权衡风险与回报。

MATLAB中投资者目标函数如下：

其中，

表示未来回报，

表示投资者风险厌恶系数，一般在2-4之间，

是资产标准差。

投资者决策就是使目标函数最大化，然后对资产进行配置。

MATLAB中考虑无风险资产时的资产配置函数是portalloc,其功能是根据风险-收益最优原则配置每项资产，其中包括无风险资产。

调用方式

[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]

=portalloc（PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion）

输入参数

PortRisk%有效前沿上每项资产的方差

PortReturn%有效前沿上每项资产的回报

PortWts%有效前沿上每项资产的权重

RisklessRate%无风险利率

BorrowRate%（Optional）借款利率，默认为没有借贷

RiskAversion%（Optional）投资者的风险厌恶系数，大多数投资者的风险厌恶系数在2～4之间，通常选择3

输出参数

RiskyRisk％风险资产部分的标准差

RiskyReturn％风险资产部分的回报

RiskyWts％风险资产的权重

RiskyFraction％总资产中风险资产的分数

OverallRisk％总资产的标准差

Overa11Return％总资产的回报

例5.12已知一个组合中含有3种资产，每种资产的预期回报与协方差矩阵如表5.9所示。

表5.9各种资产的预期回报、协方差

资产A

资产B

资产C

预期回报

0.1

0.2

0.15

协

方

差

资产A

0.005

-0.010

0.004

资产B

-0.010

0.04

-0.002

资产C

0.004

-0.002

0.023

无风险利率为0.08，借贷利率为0.12，投资者的风险厌恶系数为3，要求考虑无风险资产和借贷情况下的最优资产配置。

在MATLAB中执行如下命令：

ExpReturn=[0.1,0.2,0.15];

ExpCovariance=[0.005,-0.010,0.004;-0.010,0.040,-0.002;0.004,-0.002,0.023];

[PortRisk，PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance）;

%由于没有输入位于有效前沿上的点的数目，MATLAB默认有效前沿上选取10个点，每个点代表一种组台，每个组合的标准差保存在PortRisk中，收益率保存在PortReturn中，组合中各资产的权重保存在PortWts中。

下面调用portalloc函数求出考虑无风险资产，以及允许借货时的资产配置，代码如下：

RisklessRate=0.08;

BorrowRate=0.12;

[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]=portalloc（PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion）

从结果表明，最优组合的标准差为0.1283,收益率为0.1788，每项资产的权重分别为0.0265、0.6023、0.3712。

总资产中风险资产配置的权重为1.1898，总资产的回报率为0.1899，总资产的标难差为0.1527。

如果选取有效前沿上的20个点，得到结果如下：

[PortRisk,PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance,20）;

[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyF