最全高数基本初等函数概念图像及性质完整版.docx
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最全高数基本初等函数概念图像及性质完整版
基本初等函数
.幂函数(a为实数)
要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形
.
.指数函数
定义域:
,
值域:
,
图形过(0,1)点,a>1时,单调增加;a时,单调减少。
今后用的较多。
.对数函数
定义域:
,
值域:
,
与指数函数互为反函数,图形过(1,0)点,a>1时,单调增加;a<1时,单调减少。
.三角函数
,奇函数、有界函数、周期函数
;
,偶函数、有界函数、周期函数
;
,的一切实数,奇函数、
周期函数
,的一切实数,奇函数、
周期函数;
,
.反三角函数
;;
;。
以上是五种基本初等函数,关于它们的常用运算公式都应掌握注:
(1)指数式与对数式的性质
。
由此可知,今后常用关系式,
如:
(2)常用三角公式
积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
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《二次函数的应用》中考题集锦
10题已知抛物线y
x2
mx2m2(m0)
.
(1)求证:
该抛物线与
x轴有两个不同的交点;
(2)过点P(0,n)作
y轴的垂线交该抛物线于点
A和点B(点A在点P的左边),是否存在
实数m,n,使得AP
2PB?
若存在,则求出
m,n满足的条件;若不存在,请说明理由.
答案:
解:
(1)证法1:
2
9m2,
yx2
mx2m2
x
m
2
4
当m
0时,抛物线顶点的纵坐标为
9m2
0,
4
顶点总在x轴的下方.
而该抛物线的开口向上,
该抛物线与x轴有两个不同的交点.
(或者,当m0时,抛物线与y轴的交点(0,2m2)在x轴下方,而该抛物线的开口向上,
该抛物线与x轴有两个不同的交点.)
证法2
:
m2
41(2m2)9m2,
当m
0
时,9m2
0,
该抛物线与x轴有两个不同的交点.
(2)存在实数m,n,使得AP
2PB.
设点B的坐标为(t,n),由AP
2PB知,
y
①当点B在点P的右边时,t
0
,点A的坐标为(
2t,n),
A
PB
x
且t,2t
是关于x的方程x2
mx
2m2
n的两个实数根.
O
m2
4(2m2
n)9m2
4n0,即n
9m2.
4
且t(2t)
m(I),t
(2)t
2
(II)
mn
由(I)得,tm,即m0
.
将tm代入(II)得,n
0.
y
当m
0
且n
0时,有AP
2PB.
②当点B在点P的左边时,t
0
,点A的坐标为(2t,n),
且t,2t是关于x
的方程x
2
mx
2m
2
n的两个实数根.
x
O
m2
4(2m2
n)9m2
4n0,即n
9m2.
4
ABP
且t2t
m(I),t2t
2m2
n(II)
由(I)得,t
m
0.
3
,即m
将t
m代入(II)得,n
20m2
且满足n
9m2
.
3
20
9
4
当m
0且n
m2时,有AP
2PB
9
第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下,滑下的距离
S(米)与时间
t(秒)间的关系式为
S10tt2,若滑到坡底的时间为
2秒,则此人下滑的
高度为(
)
A.24米
B.12米
C.12
3米
D.6米
答案:
B
第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的
3
月25
日起的180天内,绿茶市场销售单价
y(元)与上市时间
t(天)的关系可以近似地用
如图
(1)中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价
z(元)与上市时间
t(天)的关系可以近似地用如图(
2)的抛物线表示.
y(天)
z(元)
160
60
140
(180,92)
50
120
40
100
85
80
3
60
20
40
10
20
140
160
100
120
O
204060
80100120150180
t(天)
O
20
40
6080
110
140
160180
t(天)
(1)直接写出图(
1)中表示的市场销售单价
y(元)与上市时间
t(天)(t
0
)的函数关
图
(1)
图
(2)
系式;
(2)求出图
(2)中表示的种植成本单价z(元)与上市时间
t(天)(t0)的函数关系式;
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最
大?
(说明:
市场销售单价和种植成本单价的单位:
元/
500克.)
答案:
解:
(1)依题意,可建立的函数关系式为:
2
t
160(0
t
,
3
120)
y80(120
≤
t
,
150)
2
20(150
≤
t
≤
.
t
180)
5
(2)由题目已知条件可设
z
a(t110)2
20.
85
图象过点(60,),
3
85
a(60110)2
20.a
1
.
3
300
zz1(t110)220(t0).300
(3)设纯收益单价为
W元,则W=销售单价
成本单价.
2
160
1
110)
2
20(0
t
,
t
(t
120)
3
300
故
W80
1
(t
2
20
(120
≤
t
,
300
110)
150)
2
20
1
2
20(150
≤
t
≤.
t
(t110)
180)
5
300
化简得
1
2
100
(0
,
(t10)
t120)
300
W1(t110)260(120≤t150),300
1
2
56(150
≤
t
≤
.
(t
170)
180)
300
①当W
1
(t
10)2
100(0t
120)时,有t10时,W最大,最大值为100;
300
②当W
1
(t
110)
2
60(120≤t
150)时,由图象知,有t120时,W最大,最大
300
值为59
2;
3
③当W
1
(t
170)
2
56(150≤t≤180)时,有t170时,W最大,最大值为56.
300
综上所述,在t10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.
第13题如图,足球场上守门员在
O处开出一高球,球从离地面
1米的
A处飞出(
A在
y轴
上),运动员乙在距
O点
6米的
B处发现球在自己头的正上方达到最高点
M
,距地面约
4米
高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?
(取
437)
(3)运动员乙要抢到第二个落点
D,他应再向前跑多少米?
(取
265)
y
4
M
2
1A
O
B
C
Dx
答案:
解:
(1)(3分)如图,设第一次落地时,
抛物线的表达式为
y
a(x
6)2
4.
y
由已知:
当x0时y
1.
即136a4,a
1.
4
M
12
E
F
N
表达式为y
1
2
4.
2
(x6)
1
A
1
x2
12
O
B
C
Dx
(或y
x
1)
12
1
(2)(3分)令y
0,
(x
6)2
4
0.
12
(x
6)2
48.x
4
3
6≈13,x
436
0(舍去).
1
2
足球第一次落地距守门员约
13米.
(3)(4分)解法一:
如图,第二次足球弹出后的距离为
CD
根据题意:
CD
EF(即相当于将抛物线
AEMFC向下平移了
2个单位)
2
1(x6)2
4解得x
626,x
2
626.
12
1
CD
x1
x2
4
6≈10.
BD
13
610
17(米).
解法二:
令
1(x6)2
40.
12
解得x1643(舍),x2
64
3≈13.
点C坐标为(13,0).
设抛物线CND为y
1(x
k)2
2.
12
将C点坐标代入得:
1(13
k)2
20.
12
解得:
k11326
13(舍去),
k264326≈67518.
y1(x18)22
12
令y
0,0
1(x18)2
2.
12
x1
182
6(舍去),x2
1826≈23.
BD23617(米).
解法三:
由解法二知,k18,
所以CD
2(18
13)
10,
所以BD
(13
6)10
17.
答:
他应再向前跑17米.
第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚
种植蔬菜.通过调查得知:
平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费
2.7
万元;购置滴灌
设备,这项费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为
0.9
;另外每公顷种
植蔬菜需种子、化肥、农药等开支
0.3万元.每公顷蔬菜年均可卖
7.5万元.
y(万元),
(1)基地的菜农共修建大棚
x(公顷),当年收益(扣除修建和种植成本后)为
写出y关于x的函数关系式.
(2)若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益,工作组应建议他修建多少公项大棚.(用分数表示即可)
(3)除种子、化肥、农药投资只能当年受益外,其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用.如果按3年计算,是否修建大棚面积越大收益越大?
修建面积为多少时可以得到最大收益?
请帮
工作组为基地修建大棚提一项合理化建议.
答案:
(1)y
7.5x
2.7x0.9x2
0.3x
0.9x2
4.5x.
(2)当0.9x2
4.5x
5时,即9x2
45x
500,x1
5
,x2
10
3
3
从投入、占地与当年收益三方面权衡,应建议修建
5公顷大棚.
(3)设3
Z(万元)
3
年内每年的平均收益为
Z7.5x
0.9x0.3x2
0.3x
0.3x2
6.3x
2
0.3x10.533.075(10分)
不是面积越大收益越大.当大棚面积为
10.5公顷时可以得到最大收益.
建议:
①在大棚面积不超过
10.5公顷时,可以扩大修建面积,这样会增加收益.
②大棚面积超过
10.5
公顷时,扩大面积会使收益下降.修建面积不宜盲目扩大.
③当0.3x2
6.3x
0时,x1
0,x221.大棚面积超过21公顷时,不但不能收益,反
而会亏本.(说其中一条即可)
第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品,
每件的生产成本为
18元,按定价40
元出售,每月可销售20万件.为了增加销量,公司决定采取降价的办法,经市场调研,每降价1元,月销售量可增加2万件.
(1)求出月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(2)求出月销售利润z(万元)(利润=售价-成本价)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(3)请你通过
(2)中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围,使月销售利润不低于480万元.
答案:
略.
第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m,宽为2m,隧道最高点
P位于AB的中央且距地面6m,建立如图所示的坐标系
(1)求抛物线的解析式;
(2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过,为什么?
(3)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么?
y
P
AB
OCx
答案:
(1)由题意可知抛物线经过点
A
0,2,P4,6,B8,2
设抛物线的方程为
y
ax2
bx
c
将A,P,D三点的坐标代入抛物线方程.
解得抛物线方程为
y
1
x2
2x2
4
(2)令y
4,则有
1x2
2x
2
4
4
解得x1
422,x2
422
x2x1
42
2
货车可以通过.
(3)由
(2)可知1
x2x1
2
2
2
2
货车可以通过.
第17题如图,在矩形
ABCD中,AB2AD,线段EF
10.在EF上取一点M,分别以
EM,MF为一边作矩形
EMNH、矩形MFGN,使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN
x,当
x为何值时,矩形EMNH的面积S有最大值?
最大
D
C
值是多少?
A
B
H
N
G
EMF
答案:
解:
矩形MFGN∽矩形ABCD,
MN
MF.
AD
AB
AB
2AD,MN
x,
MF
2x.
EM
EF
MF
102x.
S
x(10
2x)
2x2
10x
2
25
2x
5
2
.
2
当x
5时,S有最大值为25.
2
2
第18题某企业信息部进行市场调研发现:
信息一:
如果单独投资A种产品,则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正
比例函数关系:
yAkx,并且当投资5万元时,可获利润2万元.
信息二:
如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二
次函数关系:
yBax2bx,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,
可获利润3.2万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;
(2)如果企业同时对A,B两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少?
答案:
解:
(1)当x
5时,
y1
,
,
0.4,
22
5k
k
yA
0.4x,当x
2时,yB
2.4;当x
4时,yB3.2.
2.4
4a
2b
3.2
16a
4b
a
0.2
解得
1.6
b
yB
0.2x2
1.6x.
(2)设投资B种商品x万元,则投资
A种商品
(10
x)万元,获得利润W万元,根据题意可
得
- 配套讲稿:
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