圆的切线证明题.docx

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圆的切线证明题

细说如何证明圆的切线

1、证切线---------------90°〔垂直〕

2、有90°------------------证全等

3、有⊥------------------证∥，错过来

4、利用角+角=90°

关注：

等腰〔等边〕三线合一；中位线；直角三角形

1〔2021中考〕.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,

（1）求证：

PB为⊙O的切线；

2⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，假设AD∥OC交⊙O于D，求证：

CD是⊙O的切线。

3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：

DM与⊙O相切.

4（2021年市）：

如图，

中，

，以

为直径的

交

于点

，

于点

．

〔1〕求证：

是

的切线；

5：

如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．

（1）试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．

（2）当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．

6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，∠CDB=∠OBD=30°．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影局部的面积．

7.〔2021中考〕：

如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。

（1）求证：

直线AC是圆O的切线；

（2）如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。

8、〔2021•〕如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

∠CAB．〔1〕求证：

直线BF是⊙O的切线；

c:

\iknow\docshare\data\cur_work\.jyeoo\

9⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：

PC＝CD。

10〔2021年省9分〕如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

〔1〕求证：

∠BCA=∠BAD；〔3〕求证:

BE是⊙O的切线。

11〔7分〕〔2021•〕如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A

〔1〕求证：

BC为⊙O的切线；

〔2〕求∠B的度数．

细说如何证明圆的切线

5、证切线---------------90°〔垂直〕

6、有90°------------------证全等

7、有⊥------------------证∥，错过来

8、利用角+角=90°

关注：

等腰〔等边〕三线合一；中位线；直角三角形

1〔2021中考〕.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,

（1）求证：

PB为⊙O的切线；

2⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，假设AD∥OC交⊙O于D，求证：

CD是⊙O的切线。

   点悟：

要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

   证明：

连结OD。

   ∵AD∥OC，

   ∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA

   ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD

   ∴∠COB＝∠COD

   ∵CO为公用边，OD＝OB

   ∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC

   ∵BC是切线，AB是直径，

   ∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，

   ∴CD是⊙O的切线。

   点拨：

辅助线OD构造于“切线的判定定理〞与“全等三角形〞两个根本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。

3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：

DM与⊙O相切.

D

3（2021年市）：

如图，

中，

，以

为直径的

交

于点

，

于点

．

〔1〕求证：

是

的切线；

〔2〕假设

，求

的值．

〔1〕证明：

，

又

，

又

于

，

，

是

的切线

4：

如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．

（1）试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．

（2）当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．

如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，∠CDB=∠OBD=30°．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）求弦BD的长；

（3）求图中阴影局部的面积．

5.〔2021中考〕：

如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。

（1）求证：

直线AC是圆O的切线；

（2）如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。

6、〔2021•〕如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

∠CAB．

〔1〕求证：

直线BF是⊙O的切线；

 例6.⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：

PC＝CD。

   点悟：

要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角〔或等角〕的余角相等证题。

   证明：

连结OD，那么OD⊥CE。

   ∴∠EDA＋∠ODA＝90°

   ∵OA⊥OB

   ∴∠A＋∠P＝90°，

   又∵OA＝OD，

   ∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA

   ∵∠EDA＝∠CDP，

   ∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD

   点拨：

在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。

c:

\iknow\docshare\data\cur_work\\

7〔2021年省9分〕如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

〔1〕求证：

∠BCA=∠BAD；

〔2〕求DE的长；

〔3〕求证:

BE是⊙O的切线。

【答案】解：

〔1〕证明：

∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。

∵∠BCA=∠BDA〔圆周角定理〕，

∴∠BCA=∠BAD。

〔2〕∵∠BDE=∠CAB〔圆周角定理〕，∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，∴

。

∵BD=BA=12，BC=5，∴根据勾股定理得：

AC=13。

∴

，解得：

。

〔3〕证明：

连接OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵

，

∴△ABO≌△DBO〔SSS〕。

∴∠DBO=∠ABO。

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。

∴OB∥ED。

∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。

∴OB⊥BE。

∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。

8．〔7分〕〔2021•〕如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A

〔1〕求证：

BC为⊙O的切线；

〔2〕求∠B的度数．

考点：

切线的判定与性质；菱形的性质．

分析：

〔1〕连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS〞可判断△ABC≌△CBO，那么∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；

〔2〕由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，那么∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，那么∠BOC=2∠ODC，

由于CB=CD，那么∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．

解答：

〔1〕证明：

连结OA、OB、OC、BD，如图，

∵AB与⊙切于A点，

∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BA=BC，

在△ABC和△CBO中

，

∴△ABC≌△CBO，

∴∠BOC=∠OAC=90°，

∴OC⊥BC，

∴BC为⊙O的切线；

〔2〕解：

∵△ABC≌△CBO，

∴∠AOB=∠COB，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BD平分∠ABC，CB=CD，

∴点O在BD上，

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，

而OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠BOC=2∠ODC，

而CB=CD，

∴∠OBC=∠ODC，

∴∠BOC=2∠OBC，

∵∠BOC+∠OBC=90°，

∴∠OBC=30°，

∴∠ABC=2∠OBC=60°．

点评：

此题考察了切线的判定与性质：

过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考察了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．

〔19〕（08中考试题）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么它的切圆半径是〔B〕

A．

B．1C．2D．