江苏省淮安宿迁连云港徐州苏北四市届高三上学期期.docx
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江苏省淮安宿迁连云港徐州苏北四市届高三上学期期
淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研
数学Ⅰ2016.1
一、填空题
1.已知集合},0{aA=,}3,1,0{=B,若}3,2,1,0{=BA,则实数a的值为.
2.已知复数z满足42
-=z,若z的虚部大于0,则=z.
3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在hkm/9050-的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在hkm/70以下的汽车有辆.
4.运行如图所示的伪代码,则输出的结果S为.
5.函数sin(2(ϕω+=xxf0(>ω的部分图像如图所示,若5=AB,则ω的值为.
6.若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为.
7.抛物线xy42
=的焦点到双曲线
19
162
2=-yx渐近线的距离为.8.已知矩形ABCD的边4=AB,3=BC若沿对角线AC折叠,使得平面DAC⊥平面BAC,则三棱柱ABCD-的体积为.
9.若公比不为1的等比数列}{na满足13(log13212=⋯aaa,等差数列}{nb满足77ab=,则
1321bbb+⋯++的值为.
10.定义在R上的奇函数(xf满足当0≥x时,bxaxxf+-++=1(2(log(2(a,b为常数,若12(-=f,则6(-f的值为.
11.已知2||||==OBOA,且1=⋅OBOA,若点C满足1||=+CBOA,则||OC的取值范围是.12.已知函数⎩⎨
⎧<-≥+=0
(0cos2(xxaxxxxxf,若关于x的不等式π<(xf的解集为2,(π
-∞,则实数
a的取值范围是.
13.已知1,0(A,0,1(B,0,(tC,点D是直线AC上的动点,若BDAD2≤恒成立,则最小正整数t的值为.
14.设cba,,是正实数,满足acb≥+,则
b
ac
cb++的最小值为.二、解答题
15.在锐角三角形ABC中,角CBA,,的对边为cba,,,已知53sin=A,2
1tan(-=-BA,(1求Btan;(2若5=b,求c.
16.如图,在四棱锥ABCDP-中,已知底面ABCD为矩形,
⊥PA平面PDC,点E为棱PD的中点,
求证:
(1//PB平面EAC;(2平面⊥PAD平面ABCD.
17.如图,OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东0
45方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客光,拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PNPM,,且PNPM,的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,建立如图所示的直角坐标系xoy,则曲线符
合函数91(2
42≤≤+
=xx
xy模型,设xPM=,修建两条道路PNPM,的总造价为(xf万元,题中所涉及的长度单位均为百米.
O
P
A
B
C
D
E
(1求(xf解析式;
(2当x为多少时,总造价(xf最低?
并求出最低造价.
18.已知各项均为正数的数列}{na的首项11=a,nS是数列}{na的前项和,且满足:
.0(*1111NnaaaaSaSannnnnnnn∈≠=-+-++++λλ.
(1若1a,2a,3a成等比数列,求实数λ的值;(2若2
1
=λ,求nS.
19.如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:
0(122
22>>=+bab
yax的离心率21=e,左顶
点为0,4(-A,过点A作斜率为0(≠kk的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.(1求椭圆C的方程;
(2已知P为AD的中点,是否存在定点Q,对于任意的
0(≠kk都有EQOP⊥,若存在,求出点Q的坐标;若不存
在说明理由;
(3若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M,求
OM
AE
AD+的最小值.
20.已知函数]424(23
1[(2
3--++-=axaxxexfx
其中Ra∈,e为自然对数的底数(1若函数(xf的图像在0=x处的切线与直线0=+yx垂直,求a的值.
x
(2关于x的不等式x
ex
f3
4(-<在2,(-∞上恒成立,求a的取值范围.(3讨论(xf极值点的个数.
附加题部分
21.【选做题】
A.[选修4—1:
几何证明选讲](本小题满分10分
如图,PAQ∠是直角,圆O与射线AP相切于点T,与射线AQ相交于两点
BC.求证:
BT平分OBA∠.
B.[选修4—2:
矩阵与变换](本小题满分10分已知矩阵1
214A⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
求矩阵A的特征值和特征向量.
C.[选修4—4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为28sin(1303
π
ρρθ--+=,已知33(1,
(3,22
ABππ
P为圆C上一点,求PAB∆面积的最小值.
D.[选修4—5:
不等式选讲](本小题满分10分设,xy均为正数,且xy>,求证:
22
1
2232xyxxyy+≥+-+.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区......
域.
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分
如图,在直三棱柱111ABCABC-中,底面ABC∆是直角三角形,
1ABAC==,12AA=,点P是棱1BB上一点,满足1(01BPBBλλ=≤≤
.
(1若1
3
λ=
求直线PC与平面1ABC所成角的正弦值;(2若二面角1
PACB--的正弦值为2
3
求λ的值.
23.(本小题满分10分
已知数列{}na满足212111
32,(,(((1nn
anfngnfnfnaaa=-=
+++=--,*nN∈.(1求证:
1
(23g>;(2求证:
当3n≥时,1(3
gn>.
数学I参考答案及评分标准
一、填空题
1.2;
2.2i;
3.75;
4.9;
5.3π;
6.1
3
;7.
35;8.24
5
;9.26;10.4;11
.;12
.(
-∞+;13.4;14.
1
2
.
二、解答题
15.(1在锐角三角形ABC中,由3
sin5
A=
得4cos5A==,…………2分
所以sin3
tancos4
AAA=
=.……………………………………………………………4分由tantan1
tan(1tantan2
ABABAB--==-+⋅,得tan2B=.………………7分
(2在锐角三角形ABC中,由tan2B=
得sinB=
cosB=9分
所以sinsin(sincoscossinCABABAB=+=+=11分
由正弦定理sinsinbcBC=,得sin11
sin2
bC
cB==.………………14分
16.(1连接BD与AC相交于点O,连结OE.………2分
因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD中点.
P
E
因为E为棱PD中点,所以PB∥OE.………4分因为PB⊄平面EAC,OE⊂平面EAC,
所以直线PB∥平面EAC.……………………6分
(2因为PA⊥平面PDC,CD⊂平面PDC,所以PA⊥CD.…………………8分
因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD.…………………………………10分因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.…………12分因为CD⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.…………………14分
17.(1在如图所示的直角坐标系中,因为曲线C
的方程为=19yxx≤≤,PMx=所以点P
坐标为,xx⎛⎝⎭
直线OB的方程为0xy-=,……………………………………………………2分
则点P到直线0xy-=
24x==,………………4分
又PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米.则两条道路总造价为(22432(540519fxxxxxx⎛
⎫=+⋅
=+⎪⎝
⎭≤≤.…………8分(2因为22432(5405fxxxxx⎛
⎫=+⋅
=+⎪⎝⎭
所以333645(64(=51xfxxx-⎛
⎫'-=⎪⎝
⎭,………………………10分
令(0fx'=,得4x=,列表如下:
所以当4x=时,函数(fx有最小值,最小值为(232454304f⎛
⎫=+=⎪⎝
⎭.……13分
答:
(1两条道路PM,PN总造价(fx为232(5fxxx⎛
⎫=+⎪⎝
⎭(19x≤≤;
(2当4x=时,总造价最低,最低造价为30万元.……………………14分
(注:
利用三次均值不等式223232(5553022xxfxxxx⎛⎫⎛⎫
=+=++⨯⎪⎪⎝⎭⎝⎭
≥,
当且仅当
2
32
22xxx==,即4x=时等号成立,照样给分.
18.(1令1n=,得22
1aλ
=+.
令2n=,得23322323aSaSaaaaλ--=+,所以((
324
121aλλλ=
+++.…………2分
由2
2
13aaa=,得((2
2241121λλλλ⎛⎫
=⎪
⎝⎭
++++,因为0λ≠,所以1λ=.………4分(2当12λ=
时,11111
2
nnnnnnnnaSaSaaaa++++--=+,所以
11111112nnnnnnSSaaaa++++--=+,即111112
nnnnSSaa++-=++,………………………6分所以数列1nnSa⎧⎫⎨⎬⎩⎭
+是以2为首项,公差为12的等差数列,
所以
(11
212
nnSna=-⋅++,……………………………………………………8分即3122nnnSa⎛⎫
=⎪⎝⎭
++,①
当2n≥时,113122nnnSa--⎛⎫
=⎪⎝⎭
++,②
①②得,132
22
nnnnnaaa-=
-++,……………………………………………10分即((112nnnana-=++,所以(1221
nnaa
nnn-=++≥,………………………12分
所以2nan⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
+是首项为13是常数列,所以(123nan=+.……………………14分
代入①得2351226nnnnnSa+⎛⎫
=-=⎪⎝⎭
+.……………………16分
19.(1因为左顶点为(40A-,
所以4a=,又1
2
e=,所以2c=.…………………2分又因为22212bac=-=,
所以椭圆C的标准方程为
22
11612
xy+=.………………………………………4分(2直线l的方程为(4ykx=+,由22
11612(4,
xyykx⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消元得,22[(4]11612xkx++=.化简得,22(4[(431612]0xkxk+++-=,
所以14x=-,2221612
43
kxk-+=+.……………………………………………………6分
当22161243
kxk-+=+时,222161224(44343kk
ykkk-+=+=++,
所以222161224,4343(
Dkkkk-+++.因为点P为AD的中点,所以P的坐标为2221612,4343(kk
kk-++,则3
(04OPkkk
-=≠.…………………………………………………………………………8分
直线l的方程为(4ykx=+,令0x=,得E点坐标为(0,4k,假设存在定点(,(0Qmnm≠,使得OPEQ⊥,则1OPEQkk=-,即3414nkkm
--
⋅=-恒成立,所以(41230mkn+-=恒成立,所以412030mn+=⎧⎨-=⎩,,即30mn=-⎧⎨=⎩
因此定点Q的坐标为(3,0-.…………………………………………10分(3因为OMl,所以OM的方程可设为ykx=,
由22
11612xyykx
⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
得M
点的横坐标为x=12分
由OMl,得
2DAEADA
MM
xxxxxxADAEOMxx-+--+==
2221612
8k-++…………………………………………………14分
≥
=
即k=时取等号,
所以当k=ADAEOM
+
的最小值为…………………………16分20.(1由题意,321(e3xfxxxaxa⎛⎫
'=-+-⎪⎝⎭
…………………………………………2分
因为(fx的图象在0x=处的切线与直线0xy+=垂直,
所以(0=1f',解得1a=-.……………………………4分
(2法一:
由4(e3xfx<-,得3214e2(424e33xxxxaxa⎡⎤
-++--<-⎢⎥⎣⎦
即326(312680xxaxa-++--<对任意(2x∈-∞,恒成立,……………………………6分即(32636128xaxxx->-=-对任意(2x∈-∞,
恒成立,因为2x<,所以((322
612812323
xxxaxx-++>=----,……………………………8分
记(2
1(23
gxx=-
-,因为(gx在(2-∞,
上单调递增,且(20g=,所以0a≥,即a的取值范围是[0+∞,
.………………………………………10分法二:
由4(e3xfx<-,得3214e2(424e33xxxxaxa⎡⎤
-++--<-⎢⎥⎣⎦
即326(312680xxaxa-++--<在(2-∞,
上恒成立,……………………………6分因为326(312680xxaxa-++--<等价于2(2(4340xxxa--++<,
①当0a≥时,22434(230xxaxa-++=-+≥恒成立,
所以原不等式的解集为(2-∞,
满足题意.…………………………………………8分②当0a<时,记2(434gxxxa=-++,有(230ga=<,所以方程24340xxa-++=必有两个根12,xx,且122xx<<,
原不等式等价于12(2((0xxxxx---<,解集为12((2xx-∞,,,与题设矛盾,
所以0a<不符合题意.
综合①②可知,所求a的取值范围是[0+∞,
.…………………………………………10分(3因为由题意,可得321(e3xf'xxxaxa⎛⎫
=-+-⎪⎝⎭
所以(fx只有一个极值点或有三个极值点.………………………………………11分
令321(3
gxxxaxa=-+-,
①若(fx有且只有一个极值点,所以函数(gx的图象必穿过x轴且只穿过一次,即(gx为单调递增函数或者(gx极值同号.
ⅰ当(gx为单调递增函数时,2(20g'xxxa=-+≥在R上恒成立,得1a≥…12分ⅱ当(gx极值同号时,设12,xx为极值点,则12((0gxgx⋅≥,
由2(20g'xxxa=-+=有解,得1a<,且21120,xxa-+=22220xxa-+=,所以12122,xxxxa+==,
所以3211111(3
gxxxaxa=-+-211111(23
xxaxaxa=--+-
11111(233xaaxaxa=---+-[]12
(13axa=--,
同理,[]222
((13gxaxa=--,
所以(([][]121222
(1(1033gxgxaxaaxa=--⋅--≥,
化简得2
21212(1(1(0axxaaxxa---++≥,所以22(12(10aaaaa---+≥,即0a≥,所以01a<≤.
所以,当0a≥时,(fx有且仅有一个极值点;…………………14分②若(fx有三个极值点,所以函数(gx的图象必穿过x轴且穿过三次,同理可得0a<;综上,当0a≥时,(fx有且仅有一个极值点,
当0a<时,(fx有三个极值点.…………………16分
数学Ⅱ(附加题参考答案及评分标准
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题........,并在相应的答题区域内作答............,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21A.连结OT.
因为AT是切线,所以OTAP⊥.………………………2分
又因为PAQ∠是直角,即AQAP⊥,所以ABOT,
所以TBABTO∠=∠.…………………………………5分又OTOB=,所以OTBOBT∠=,…………………8分所以OBTTBA∠=∠,
即BT平分OBA∠.…………………………………10分
21B.矩阵A的特征多项式为f(l)=l-11-2=l2-5l+6,……………2分l-4由f(l)=0,解得l1=2,l2=3..…………………………………………4分ìx-2y=0,当l1=2时,特征方程组为íîx-2y=0,é2ù故属于特征值l1=2的一个特征向量a1=êú;………………………………7分ë1ûì2x-2y=0,当l2=3时,特征方程组为íîx-y=0,é1ù故属于特征值l2=3的一个特征向量a2=êú.…………………………10分ë1û21C.圆C的直角坐标方程为x2+y2+43x-4y+13=0,即(x+232+(y-22=3.………………………………………………4分又A(0,-1,B(0,-3,所以AB=2.……………………………………………6分P到直线AB距离的最小值为23-3=3,………………………………8分所以DPAB面积的最小值为´2´3=3.…………………………………10分22.以A为坐标原点O,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系12O-xyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0,B(1,0,0,C(0,1,0,A1(0,0,2,B1(1,0,2,P(1,0,2l.……………………………………………1分uuuruuuuruuur21
(1)由l=得,CP=(1,-1,,A1B=(1,0,-2,AC=(0,1,-2,133uuurìïn1×A1B=0,ìx1-2z1=0,设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1,由íuuuu得írïîn1×A1C=0,îy1-2z1=0.不妨取z1=1,则x1=y1=2,从而平面A1BC的一个法向量为n1=(2,2,1.……………………………………3分设直线PC与平面A1BC所成的角为q,·11·
uuuruuurCP×n122r则sinq=|cos
(2)设平面PA1C的法向量为n2=(x2,y2,z2,A1P=(1,0,2l-2,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为uuuurìïn2×A1C=0,ìy2-2z2=0,由í得íuuurïîn2×A1P=0,îx2+(2l-2z2=0.不妨取z2=1,则x2=2-2l,y2=2,所以平面PA1C的法向量为n2=(2-2l,2,1.……………………………………7分则cos
(1)由题意知,an=3n-2,g(n=,…………1分anan+1an+2an2111111691++=++=>.a2a3a447101403
(2)用数学归纳法加以证明:
当n=2时,g(2=①当n=3时,g(3=……………2分1111+
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