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数模竞赛完整
房价问题的数学建模
目录
一.问题重述
二.问题分析
三.模型建立与求解
3-1问题模型假设与符号说明
3-2问题模型建立
3-3问题模型求解
四.结果分析
4-1问题结果分析
4-2问题结果讨论
五.参考文献
附录
一.问题重述
房价问题事关国计民生,对国家经济发展和社会稳定有重大影响,一直是各国政府大力关注的问题。
我国自从取消福利分房制度以来,随着房价的不断飙升,房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一,从国家领导人、地方政府官员,到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点,但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题,至今尚未形成统一的认识。
请根据中国国情,收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据,选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析;根据分析结果,进一步探讨使得房价合理的具体措施,以及可能对经济发展产生的影响,并进行定量分析。
二.问题分析
通过分析找出了影响房价的主要因素,建立一个城市房价的数学模型,讨论房价价格的形成变化与各个数据之间的数学关系,做出相关的假设,建立出模型。
影响房价的因素主要有,地价、地价指数、营业税、综合成本、利润、土地交易契税税率、容积率、土地贷款年利率、土地贷款年限、人均收入,并且其中相关量与房价有直接已知的线性关系,因此可以做出相关假设,最终建立模型研究主要变量因素与房价之间的关系。
其次,对国家政策以及二手房市场走向,二手房房租与房价的关系进行数据分析,并进行相关拟合,得出相关结论。
最后通过对影响房价主要因素的分析以及国家宏观调控政策与市场变化对房价影响的分析,得出房价变化的原因,使房价更加合理的措施以及其对经济变化的影响。
三.模型建立与求解
3-1.问题模型假设与符号说明
模型假设;首先,所调查的城市中,各类型的房价差异很大,如工业房价,商用房价,民用商品房价,考虑到所研究问题的针对性,因此民用商品房价应为我们此次研究与分析的对象。
其次,影响房价的因素有市场因素与非市场因素。
由房屋自身因素和环境因素组成的非市场因素在对于房价总影响中所占比重较小,且相对较为稳定,可忽略其对房屋价格涨落的影响;市场因素是房价的主要决定因素,其中主要包括政治因素、经济因素、性质因素和社会因素。
目前的中国,社会局势相对稳定,故政治因素与社会因素的影响便可以忽略,而经济因素中的土地成本价格和人们收入水平是目前的主导因素。
在行政因素中主要是国家地区通过颁布法令调节税率来影响房价以达到目的,。
按国家的规定,营业税为商品房售价的3%,土地交易契税税率为3%,设定土地贷款年利率为十年7.38%。
最后,房地产对于利润的追求即利润是形成房价的主观原因。
在地价指数中,利润被设定为商品房售价的15%。
符号说明:
假设地价指数为g,地价为G,房价指数为h,房价H,营业税R,综合成本C,利润S,容积率V,土地交易契税税率Q,土地贷款年利率T,贷款年限t,人们收入x。
3-2问题模型建立
在模型中,通过对已知地价指数的算法和由搜集得到的数据拟合,模拟出房价与地价、人们收入以及税率、综合成本之间的一个数学关系。
式中地价指数满足关系式g=[H-R-C-S]*α*V/[1+Q+T*t]……
(1)
式中α=666.67/100000;
首先在计算房价与地价指数的关系中,根据国家相关规定得出,Q=H*3%,T=H*7.38%,t=10.故一式中分母为一个常数设其为β。
另外假设A=α/β;R=H*3%;V=0.8;由调查可知,上海地区的综合成本在3000--4000元,可先假设其为3500元。
通过查得的地价与地价指数的数据,利用软件做出拟合,得出二者之间的数学关系,代入
(1)式并可以得到地价对于房价的影响;
因此由一式可以得出H1=A/V*g+S+C+R......
(2);
假设各变量相互独立。
其次,研究人们收入对房价的影响时,可先将地价对房价的影响设定为一个常数,通过查得的人们收入与房价数据进行拟合,得出二者之间的数学关系,再与第一步以及房屋价格、土地价格和人均收入的实际查得的数据,确定出常数M;
最后,根据综合地价,人均收入,各年政府经济调控政策以及市场需求变化,用数学模型解决有关房价的问题,以及对调控房价应采取的措施。
3-3模型求解
由以上分析以及上式有g=[H-R-C-S]*α*V/[1+Q+T*t]……
(1)
式中α=666.67/100000;
H1=A/V*g+S+C+R......
(2);
且各个变量相互独立
表一数据为地价与地价指数
地价与地价指数
地价(G)
2209
2275
2339
2385
3279
3640
3800
4280
地价指数(g)
100
100
100.8
102.5
103.7
105.1
109.3
111.7
做出拟合图形如下,记为G-g图;
由拟合出的图形以及数据得出以下线性数学关系:
G=P+Q1*g+Q2*g*g
式中由计算得出关于
P=-1.4803e5
Q2=-10.00
Q1=2700
将以上四式联立可得出g的计算公式
g2={-2700-[2700*2700-4*-10*(-1.4803e5-G)]1/2}/(-20)
或g1={-2700+[2700*2700-4*(-10)*(-1.4803e5-G)]1/2}/(-20)…(3)
因为g2所得解时G与实际不符,故舍去。
将(3)式代入
(2)式可得,
H1=P/V*{-2700+[2700*2700-4*-10*(-1.4803e5-G)]1/2}/(-20)+S+C+R……(4)
由之前的假设可以得出,
R=H1*3%;S=H1*15%;V=0.8;C=3500
代入可得,
H1=3.0468*e7-1.1283*e4*(13.688*e5-40G)1/2………(5)
接下来求解人均收入与房价之间的关系:
表二为X(人均收入)与H2’(房价)
人均收入(X)
11578
13250
14867
16683
18645
20668
24399
27650
房价(H2’)
4578
4121
5118
6385
6698
8500
11289
16238
做出拟合图形如下,记为X-H2’图:
由拟合出的图形以及数据得出以下线性数学关系:
H2’=A+K1*X+K2*X*X
其中K1=-1.2382;K2=-4.1364*e-5;
由H2=H2’+M-A和H=H1+H2整合得出:
H=3.0468*e7-1.1283*e4*(13.688*e5-40G)1/2-1.2382*X-4.1364*e-5*X*X+M………….(6)
根据表三(地价、房价、人均收入)数据:
年份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
地价(G)/元
2209
2275
2339
2385
3279
3640
3800
4280
房价(H)/元
4578
4121
5118
6385
6698
8500
11289
16238
人均收入(X)/元
11578
13250
14867
16683
18645
20668
24398
27650
由(6)式得:
M=H-{3.0468*e7-1.1283*e4*(13.688*e5-40G)1/2-1.2382*X-4.1364*e-5*X*X}………(7)
由表三得出M在不同年份的值,如表四:
年份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
M/元
5348.25
5274.16
5336.35
5684.24
5129.86
5688.54
5432.62
5324.19
平均值/元
5402.276
将M值代入(6)式,得:
H={3.0468*e7-1.1283*e4*(13.688*e5-40G)1/2-1.2382*X-4.1364*e-5*X*X}+5402.276………(8)
由此,我们得出地价、房价、人均收入之间的关系.
接下来,我们利用已知年份地价及人均收入求出个年份房价计算值,得出数据如表五:
年份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
H实际值/元
4578
4121
5118
6385
6698
8500
11289
16238
H计算值/元
4608
4285
5109
6299
6598
8523
11199
16248
比较H计算值与H实际值可知误差范围较小,故拟合程度较高。
从拟合结果来看,影响房价的重要因素是地价和人均收入,地价与人均收入的增长会促进房价的增长,而两者之间,地价占较大比重。
通过模型和已知数据,可得时间与地价、人均收入的数据,如表六:
年份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
地价(G)
2209
2275
2339
2385
3279
3640
3800
4280
人均收入(X)
11578
13250
14867
16683
18645
20668
24398
27650
拟合可得如下图像:
地价-年份图像:
拟合可得公式:
G=285.71*t-569863.8571…………………………(9)
(t为时间)
人均收入-年份图像:
拟合可得公式为:
X=2214.2857*t-4423212.143…………………….(10)
(t为时间)
四.结果分析
4-1问题结果分析
预测:
当t=2010时,将t=2010代入(9)(10)式求出G=4413.2429;
X=27502.114;并将G、X代入(8)式,可得:
H=43333.62;
而实际上2010年上海平均住宅房价H’=45230;
实际误差为:
1896.38元
百分误差为:
4.19%
由此可得该模型具有分析预测的实际意义,可以作为讨论影响房价因素的工具。
4-2问题结果讨论:
因此,根据模型可以看出,地价与人均收入水平是影响房价的主导因素。
随着地价与人均收入的上涨,房价也随之上升。
另外,通过查找资料相关数据有,2008年上半年营业税与土地贷款年利率比下半年个多出0.9%和和0.6%,且房价上半年房价均价为13500元,而下半年为12800元。
因为,模型(8)式在将一系列利率和贷款年限作为一个定值求得的,而现实生活中,贷款利率与土地价格与房价的周期性变化以及国家的宏观政策都有一定的关系,且利率越大房价也会越高。
因此,国家通过出台相关宏观政策,控制贷款利率,贷款年限,土地价格,营业税等来控制房价,可以达到调整房价的目的。
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