二次函数经典习题自编1010.docx
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二次函数经典习题自编1010
二次函数经典习题(自编)20171010
1.小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象(如图)中观察得出了下面五条信息:
①c<0;
②abc>0;③a-b+c>0;④2a-3b=0;⑤c-4b>0.你认为其中正确的信息是( )
A、①②③⑤B、①②③④C、①③④⑤D、②③④⑤
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若M=4a+2b+c,N=a-b+c,P=4a+2b则( )
A、M>0,N>0,P>0B、M>0,N<0,P>0
C、M<0,N>0,P>0D、M<0,N>0,P<0
3、如上右图是抛物线
和一次函数
的图象,观察图象写出
时,
的取值范围________.
4、某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为________ m2.
5、若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是________.
6.如图,已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A(﹣1,0)和点B(0,﹣5).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标.
7、进价为每件40元的某商品,售价为每件50元时,每星期可卖出500件,市场调查反映:
如果每件的售价每降价1元,每星期可多卖出100件,但售价不能低于每件42元,且每星期至少要销售800件.设每件降价x元(x为正整数),每星期的利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(2)若某星期的利润为5600元,此利润是否是该星期的最大利润?
说明理由.
(3)直接写出售价为多少时,每星期的利润不低于5000元?
8、一种进价为每件40元的T恤,若销售单价为60元,则每周可卖出300件,为提高利益,就对该T恤进行涨价销售,经过调查发现,每涨价1元,每周要少卖出10件,请确定该T恤涨价后每周销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大?
9、如图,矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.
10.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在
(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?
若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
答案
1.【答案】A
【解答】①因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知,c<0,故此选项正确;
②由函数图象开口向上可知,a>0,由①知,c<0,
由函数的对称轴在x的正半轴上可知,x=->0,故b<0,故abc>0;故此选项正确;
③把x=-1代入函数解析式,由函数的图象可知,x=-1时,y>0即a-b+c>0;故此选项正确;
④因为函数的对称轴为x=-=,故2a=-3b,即2a+3b=0;故此选项错误;
⑤当x=2时,y=4a+2b+c=2×(-3b)+2b+c=c-4b,
而点(2,c-4b)在第一象限,
∴⑤c-4b>0,故此选项正确.
其中正确信息的有①②③⑤.
故选:
A.
2.【答案】D
【解析】【分析】由于当x=2时,y=4a+2b+c<0,因此可以判断M的符号;
由于当x=-1时,y=a-b+c>0,因此可以判断N的符号;
由抛物线的开口向上知a>0,对称轴为x=->1,得2a+b<0,然后即可判断P的符号;
【解答】∵当x=2时,y=4a+2b+c<0,
∴M<0,
∵当x=-1时,y=a-b+c>0,
∴N>0,
∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
而对称轴为x=->1,
得2a+b<0,
∴P=4a+2b<0.
故选D.
3、—2
x
1
【解答】观察图象可知道二次函数和一次函数有两个交点,交点的横坐标为—2和1,及当—2
x
1时,存在
.
【分析】本题关键数形结合,当
时一次函数的图象在二次函数图象的上方部分对应的自变量的取值.
4、【答案】75
【解答】解:
设垂直于墙的材料长为x米,
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x,
则总面积S=x(30﹣3x)=﹣3x2+30x=﹣3(x﹣5)2+75,
故饲养室的最大面积为75平方米,
故答案为:
75.
5、【答案】k≤3,且k≠0
解:
∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点,
∴b2﹣4ac=36﹣4×k×3=36﹣12k≥0,且k≠0,
解得:
k≤3,且k≠0,
则k的取值范围是k≤3,且k≠0,
故答案为:
k≤3,且k≠0.
【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0,进而求出k得取值范围即可.
6.【解答】解:
(1)根据题意,得
(2分)
解得
(3分)
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5.(4分)
(2)令y=0,得二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象与x轴
的另一个交点坐标C(5,0);(5分)
由于P是对称轴x=2上一点,
连接AB,由于
,
要使△ABP的周长最小,只要PA+PB最小;(6分)
由于点A与点C关于对称轴x=2对称,连接BC交对称轴于点P,则PA+PB=BP+PC=BC,根据两点之间,线段最短,可得PA+PB的最小值为BC;
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点;(8分)
设直线BC的解析式为y=kx+b,
根据题意可得
解得
所以直线BC的解析式为y=x﹣5;(9分)
因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组
的解,
解得
所求的点P的坐标为(2,﹣3).(10分)
7.解:
(1)依题意,得y=(50﹣40﹣x)•(500+100x)=﹣100x2+500x+5000,
∵
,
∴3≤x≤8;
(2)y=﹣100x2+500x+5000=﹣100(x﹣
)2+5625,
∵x为整数,
∴当x取2或3时,有最大值,为5600,
∴5600是最大利润.
(3)令y=﹣100(x﹣
)2+5625≥5000,
解得0≤x≤5时,
即当售价在45到50元时,月利润不低于5000元.
8.解:
根据题意得y=(x﹣40)[300﹣10(x﹣60)]
=﹣10x2+1300x﹣36000,
∵x﹣60≥0且300﹣10(x﹣60)≥0,
∴60≤x≤90,
∵a=﹣10<0,
而抛物线的对称轴为直线x=65,即当x>65时,y随x的增大而减小,
而60≤x≤90,
∴当x=65时,y的值最大,
即销售单价定为65元时,每周的销售利润最大.
9.解:
(1)∵S△PBQ=
PB·BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,
∴y=
(18-2x)x,即y=-x2+9x(0 (2)由 (1)知,y=-x2+9x,∴y=- + , ∵当0 时,y随x的增大而增大, 而0 即△PBQ的最大面积是20cm2. 10.解: (1)设抛物线的解析式为: y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式: y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为: y=kx+b,则有: , 解得 ; 故直线BC的解析式: y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)•3=﹣(m﹣)2+ (0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为 .
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