最新全国初中数学联赛江西省初赛试题含答案.docx
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最新全国初中数学联赛江西省初赛试题含答案
2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
2___2
1、设a为质数,并且7a+8和8a+7也都是质数,若记x=77a+8,y=88a+7,则在以下情况中,必定成立的是().
(A卜x,y都是质数;(B)、x,y都是合数;
(C卜x,y一个是质数,一个是合数;(D卜对不同的a,以上各情况皆可能出现.
答案:
A.
解:
当a=3时,7a2+8=71与8a2+7=79皆为质数,而x=77a+8=239,
y=88a+7=271都是质数;
当质数a异于3时,则a2被3除余1,设a2=3n+1,于是7a2+8=21n+15,
_2
8a+7=24n+15,它们都不是质数,与条件矛盾!
2、化简£2号一笆反的结果是().
1712.2.17-12.2
(A卜历;(B)、-&;(C12;(D)、-2.
答案:
D.
解:
3+272=(72+1)2,3-272=(72-1)2;
17+12石=(3+272(,17-12^2=(3-2722,
1111
因此,原式=1一1.--^=1:
=二二一一一=—2.
322.3-22212-1
20112011
3、2+3的末位数字是().
(A)、1;(B)、3;(C)、5;(D)、7.
精品文档
答案:
C
解:
2n的末位数字按2,4,8,6的顺序循环,而3n的末位数字按3,9,7,1的顺序循环,
因为2011是4k+3形状的数,所以22011的末位数字是8,而32011的末位数字是7,
所以22011+32011的末位数字是5.
4、方程Jx+3—4jx—1+Jx+8—6我二?
=1的解的情况是().
(A)、无解;(B卜恰有一解;(C)、恰有两个解;(D卜有无穷多个解.
答案:
D.
解:
将方程变形为7h/X-^-2)2+7(Vx^i-3)2=1…①,分三种情况考虑,
若JX二1之3,则①成为(JXW—2)+(JX^1—3)=1,即JX二?
=3,得x=10;
若jx』E2,则①成为(2—jx二1)+(3—JT=1)=1,即"^=2,得x=5;
若2<3,即5 这是一个恒等式,满足5 解是满足5WxW10的一切实数,即有无穷多个解. 5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形,则图中全体正三角 形的个数是(). (A卜24;(B卜36;(C)、38;(D)、76.C*XX) 答案: C.1XX7 解: 分类计算: 设正六边形的边长为2,那么,边长为1的正三角 形有24个,边长为2的正三角形有12个,边长为3的正三角形有2个, 共计38个. 6、设a,b为整数,并且一元二次方程x2+(2a+b+3)x+(a2+ab+6)=0有等根a, 而一元二次方程2ax2+(4a-2b-2)x+(2a-2b-1)=0有等根P; 那么,以%P为根的整系数一元二次方程是(). (A卜2x2+7x+6=0;(B)、2x2+x-6=0; 22 (C卜x+4x+4=0;(D)、x+(a+b)x+ab=0. 答案: A. 解: 由两个方程的判别式皆为0,有(2a+b+3)2—4(a2+ab+6)=0,以及 (4a-2b-2)2-8a(2a-2b-1)=0,即: (b+3)2=12(2-a)以及(b+1)2=2a,消去a得,7b2+18b—9=0,其整根为b=-3, 于是a=2;因此两个方程分别是: x2+4x+4=0及4x2+12x+9=0, 前一方程的等根为口=-2,后一方程的等根为3,易得,以5P为根的整系数一 2 元二次方程是2x2+7x+6=0. 二、填空题(每小题7分,共28分) 1、直角三角形AABC的三条边长分别为3,4,5,若将其内切圆挖去,则剩下部分的 面积等于. 答案: 6-二. 1 解: MBC的面积为S=—M3M4=6,又设其内切圆的半径为r,则由 2 1 S=-r(3+4+5)=6r,所以r=1,因此内切圆面积为冗,故剩下部分的面积为6—n. 一-32_32 2、右x+5x—7x-3=(x—4)+a(x-4)+b(x-4)+c, 则(a,b,c)=(). 答案: (17,81,113). 解: 3232 (x-4)+a(x-4)+b(x-4)+c=x+(a-12)x+(b-8a+48)x+(16a-4b+c), 由a—12=5,b—8a+48=—7,16a—4b+c=—3,解得,a=17,b=81,c=113;因此(a,b,c)=(17,81,113). 3、如图,正方形ABCD的边长为1,E是CD边外的一点, 满足: CE//BD,BE=BD, 精品文档 则CE= 答案: 6-'、2. 2 解: BE=BD=应,设CF=x,则BF=Jl+x2,DF=1—x, 即有电: J1+x_: -x_,所以>-J1+x=Jx1x21-x21 再由 段二CF,即强=y="=垦1,所以ec=里亚 BDDF21-x3-122 数都可以多次出现在圆周上),若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数,用S 表示圆周上所有十二个数的和,那么数S所有可能的取值情况有种. 答案: 9种. 解: 对于圆周上相邻的三个数(ak,ak+,ak_2),ak+ak4+ak也可以是7,或14,或21, 例如,当三数和为7时,{a,ak41,ak_2}可以取{1,2,4}或{1,1,5}或{2,2,3};又对于圆周上任意相邻的四数,若顺次为ak,ak由,ak%,ak右,由于ak+ak++ak也和ak书+ak攵+a. 都是7的倍数,那么必有7ak43-ak,于是ak与ak^3或者相等,或者相差7; 又在圆周上,1与8可互换,2与9可互换;现将圆周分成四段,每段三个数的和皆可 以是7,或14,或21,因此四段的总和可以取到{28,35,42,49,56,63,70,77,84}中的任 一个值,总共九种情况. (其中的一种填法是: 先在圆周上顺次填出十二个数: 1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4,其和 为28,然后每次将一个1改成8,或者将一个2改成9,每一次操作都使得总和增加7, 而这样的操作可以进行八次). 、(20分)试确定,对于怎样的正整数a,方程5x2-4(a+3)x+a2-29=0有正整数 解? 并求出方程的所有正整数解. 所以, 同理有, OE.ROF.R 20' 25' =1一,=1一, BEBECFCF 代入①得,f1--)+f1)+'1--L1…② lAD八BE八CFJ 1112以++=—. ADBECFR 三、(25分)设k为正整数,证明: 1、如果k是两个连续正整数的乘积,那么25k+6也是两个连续正整数的乘积; 2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积,那么k也是两个连续正整数的乘积. 证明: 1、如果k是两个连续正整数的乘积,设k=n(n+1),其中n为正整数,……5' 则25k+6=25n(n+1)+6=25n+25n+6=(5n+2)(5n+3)为两个连续正整数的乘 积;10' 2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积,设25k+6=m(m+1),其中m为正整数, 22 贝U100k+25=4m+4m+1=(2m+1)…①15' 一一,,,、,,2m1-…,2m1 于是,2m+1是5的倍数,且是奇数;设=2n+1,由①得, 55 因此, 2 4k=(2n+1)-1=2n(2n+2),即k=n(n+1),它是两个连续正整数的乘积.……25'
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