双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法.docx
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双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法
P点到0;;:
X*
t
双缝干涉条纹间距公式的推导
相干光经双缝后再次在/开上相遇互相叠加,形成了稳定的明暗相间的干涉条纹,理论利实验都证明:
在两狭缝间的距离和狭缝与屛问的距离不变的条件下,单色光产生的干涉条纹间距跟光的波长成止比,现简要推导如下:
如图,0是Sls2的中垂线与加的交点:
d是S1、S2的距离:
I是缝与屏的距离:
X是.■i点的距离;r1、r2是刖上P点到s1.s2的距离:
设sVs2到P点的路程差为6=r2-r1,山图可知
打至1+(X-—
(2)*
2
(1)-
(2)可得:
心
.■日.d,r*=(x+—J(x-—)-2dx*-22
即1(“+r:
)(心—竺)=2dx*="由于1»dl»xJIS此r;+r:
Q2N
~.d*,d所以:
Vr产一X即:
6=—xd
11
当S等于光波波长入的整数倍时>两列波在P点同相加
强/出现亮条纹3
Rna
1
则x=k—A
d
(k=0>±19±2J±31—)
(k=0>±1J±2J±3>—)V
所以円一xk
111
=(k+1)—入—k—A=—A3
ddd
1
即Ax=—入
d
(4)2
当5等于光波半波长2的奇数倍时>两列波在P•点反
2
相減弱“出现暗条鎮:
7
(k=0・±l,±2,±3,
则皿“L占
d2
(k=O.±l>±2f±3>—)
所以Ax=Xk■xk=(2id3)—(2kH)—•
d2d
即△龙=—Ad
根据(4)、(5)两式町知:
相邻两条明纹(或暗纹)间距离均为△x=1/dA,而I、d和入都为定值,所以屏上的干涉条纹是等间距的。
[应用]相干光经双缝产生干涉现象,半发生如下变化时,干涉条纹如何变化?
(1)屏幕移近;
(2)缝距变小;(3〉波长变长;
[分析]由公式Ax=1/d入可知,相邻两条明纹(或暗纹)间距离△X与I、入成正比,与d成反比。
(1)若屏幕移近,则I变小,因此条纹间距Ax变小,条纹变得密集。
(2)若缝距d变小,则Ax变大,条纹变得稀疏。
(3)若波长入变长,则从变大。
因此若入射光为口光,则中央明纹(白色)的两侧,出现彩色条纹,且靠近中央明纹的是紫光。
另外在研究干涉现象时,一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少,这是因为从光的能量角度讲,从明条纹到暗条纹衔接处,是连续变化的,没有分界线。
双缝干涉条纹间距公式的推导
■>
x
如图建立直角坐标系,其
轴上横坐标为d的点与-的点为两波源。
这两个波源的振动情况完全相同,则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离
22
差为波长整数倍
(零除外)
的双曲线簇。
其中
2,0、
-,0为所有双曲线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为:
2
用直线
I去截这簇双曲线,直线与双曲线的交点为加强的点。
将
yI代入双曲线簇的方程,有:
n
~2
I2d22
解得:
f|2
(4d2n22
上式中,d的数量级为10
为107m。
故d2
n2
2d2,x的表达式简化为:
xnJ4・
Vd2
其中I的数量级为10°m,
d的数量级为
104m。
故
匸
d2
104,x的表达式简化为:
可见,交点横坐标成一等差数列,公差为
—,这说明:
d
(1)条纹是等间距的;
(2)相邻两条纹的间距为
至此,证明了条纹间距公式:
杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的?
海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期
在杨氏双缝干涉实验中,在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹(或者暗纹)中心间距为:
Ax=LZd,其中L为双缝与屏的间距,d为双缝间距,对单色光而
言,其波长入为定值,所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹,但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此,如图
我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的,但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。
问题到底出在哪里呢?
2。
S1
首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释,如图
设定双缝S、S的间距为d双缝所在平面与光屏P平行。
O为双缝Si、S2的中点,双缝Si、S2的连线的中垂线与屏的交点为S2发出的光到达屏上Pi点的光程差Ar为
双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点Pi,设定点Pi与双缝S、S的距离分别为ri和「2,
Po,设Pi与Po的距离为X,为了获得明显的干涉条纹,在通常情况下L>>d,在这种情况下由双缝Si、
SM=「2—r1—dsin0,
(1)
其中0也是OPo与0P1所成的角。
因为d< x sin0Pan0=l x 因此Ar-dsin0刚] x 当Ar-d]=±k入时,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2, x1 当Ar~d]=±(k+2)入时,屏上表现为暗条纹,其中是 k=0,1,2, (3’) 我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。 L 当x=±kd入时,屏上表现为明条纹,其中k=0,12,… (4) 1L 当x=±(k+2)d入时,屏上表现为暗条纹,其中k=0, 1,2,…。 (4') 我们还可以算出相邻明条纹(或者暗条纹)中心问的距离为 L A=xk+1—xk=d入。 至此我们得出结论: 杨氏双缝干涉条纹是等间距的。 问题就在于以上的推导过程中,我们用过两次近似,第1次是在运用公式 丄0P1,因此/P0OP1=/S2S1M,如果要保证/S1P1S很小,只要满足d< 第2次近似是因为d< 下面我们通过表1来比较sin0与tan0的数值。 表1 Ar=r2-r仟dsin0的时候,此式近似成立的条件是/SiPiS>很小,因此有SiM丄S2Pi,SiM 0 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° sin0 0.017452 0.034899 0.052359 0.069756 0.087155 0.104528 0.121869 tan0 0.017455 0.034920 0.052407 0.069926 0.087488 0.105104 0.122784 0 8° 9° 10° 11° sin0 0.139173 0.156434 0.173648 0.190808 tan0 0.140540 0.158384 0.176326 0.194380 tan0-sin0 从表1中我们可以看出当0=3°时,一^ 疋0.6%。 因此当0为°时,相对误差就超过了0.6%,因此我们通常说sin0=an0成立的条件是0<5°,当0>5°时, sin0利anB就不再成立。 而在杨氏双缝干涉实验中,0条纹是等间距的。 而当x较大时,也就是光屏上离Po较远的点所对应的0角也较大,当0为°时,sin0列an0就不再成立,上述推导过程也就不完全成立了, 很小所对应的条件应该是x< (2)式就不能再用了。 x 此时sin0=,= JL2x2 所以〜r~dsin0=頁十=±k入,屏上表现为明条纹,其中 k=0,1,2,・・ dx1 &疋dsin0=2==±(k+T)入,屏上表现为暗条纹,其中 2 k=0,1,2,…。 因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为 x=±亠 =,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,… 22 1 L(k-) x=± (2,屏上表现为暗条纹,其中k=0,1,2,…。 L-/11\22 jd(k2) 则相邻的明条纹中心问距为 Zx明=Xk+1明—一Xk明= L(k1) Jd2(k1)22 Lk Td2k22 邻暗条纹中心间距为 /X暗=Xk+1暗一■Xk暗= 1 L(k12) (k12)22 1 L(k-) /2122 Vd(k2) 由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了,这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。 下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。 例1: 用氦氖激光器(频率为4.74X1014Hz)的红光照射间距为2mm的双缝时,试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。 解: 因为 &=dsin0=k入,所以 dsin0 Vsin0=c 4.74X1014x2X10-3Xsin5° 3.0X108
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