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多项式除法示例
多项式除以多项式的一般步骤:
多项式除以多项式一般用竖式进行演算
(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.
(2)用被除式的第一项去除除式的第一项,得商式的第一项.
(3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.
(4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式
的次数时为止.被除式=除式×商式+余式
如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除
多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式,一般可用竖式计算,方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下:
例1计算(x2
9x20)(x4)
规范解法
∴
(x2
9x
20)
(x4)
x
5.
解法步骤说明:
(1)先把被除式
x2
9x
20与除式x
4分别按字母的降幂排列好.
(2)将被除式x2
9x
20的第一项x2
除以除式x
4的第一项x,得x2
x
x,这就是商的第一项.
(3)以商的第一项
x与除式x
4相乘,得x2
4x,写在x2
9x
20的下面.
(4)从x2
9x
20减去x2
4x,得差5x
20
,写在下面,就是被除式去掉
x2
4x后的一部分.
(5)再用5x
20的第一项5x除以除式的第一项
x,得5xx
5,这是商的第二项,写在第一项
x的后
面,写成代数和的形式.
(6
)以商式的第二项
5与除式x
4相乘,得5x
20,写在上述的差
5x
20的下面.
(7
)相减得差
0,表示恰好能除尽.
(8
)写出运算结果,(x2
9x
20)
(x4)
x5.
例2计算(6x5
9x4
7x2
20x
3)(2x2
x5).
规范解法
∴(6x5
9x4
7x2
20x3)(2x2
x5)
3x3
3x2
6x
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x2.
注①遇到被除式或除式中缺,用0位或空出;②余式的次数低于除式的次数.
另外,以上两例可用分离系数法求解.如例2.
∴(6x5
9x4
7x2
20x3)(2x2
x5)
3x3
3x2
6x
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x2.
8.什么是合除法
由前面的4
我知道两个多式相除可以用式行,但当除式一次式,而且它的首系数
1,情
况比特殊.
如:
算(2x3
3x
4)
(x3).
因除法只系数行,和
x无关,于是算式
(1)就可以化成算式
(2).
可以再化.方框中的数
2、6、21和余式首系数重复,可以不写.再注意到,因除式的首系数是
1,所
以余式的首系数6、21与商式的系数重复,也可以省略.如果再把代数和中的“+”号省略,除式的首系数也
省略,算式
(2)就化成了算式(
30的形式:
将算式(3)改写成比较好看的形式得算式(4),再将算式(4)中的除数-3换成它的相反数3,减法就化为
了加法,于是得到算式(5).其中最下面一行前三个数是商式的系数,末尾一个数是余数.
多项式相除的这种算法,叫做综合除法,它适合于除式为一次式,而且一次项系数为1.
例1用综合除法求x4
3x3
3x2
3x12除以x
1的商式和余式.
规范解法
∴
商式
x3
2x2
x
2,余式=10.
例2
用综合除法证明
2x5
15x310x2
9能被x3整除.
规范证法
这里x3
x
(3),所以综合除法中的除数应是-3.(注意被除式按降幂排列,缺项补0.)
因余数是0,所以2x5
15x3
10x2
9能被x
3整除.
当除式为一次式,而一次项系数不是
1时,需要把它变成1
以后才能用综合除法..
例3求2x3
x
7除以2x
1的商式和余数.
规范解法
把2x
1除以2,化为x
1
,用综合除法.
2
但是,商式
2x2
x
3
,这是因为除式除以
2,被除式没变,商式扩大了
2倍,应当除以
2才是所求的商
2
式;余数没有变.
∴商式
x21
x
3
,余数
7
3
.
2
4
4
为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下.
用2x3
x
7除以x
1
,得商式2x2
x
3
,余数为7
3
,即
2
2
4
∴
2x3
x3
x
1
2x2
x
3
73
2
2
4
2x1x2
1x
3
73.
2
4
4
即
2x3
x3除以2x
1的商式
x2
1x
3
,余数仍为
73
.
2
4
4
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容,它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x),(g(x)0)得商式
q(x)及余式r(x)时,就有下列等式:
f(x)
g(x)
q(x)
r(x)。
其中r(x)的次数小于g(x)的次数,或者r(x)
0。
当r(x)0时,就是f(x)能被g(x)整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求2x4
14x
47x3除以x
2所得的商和余式。
2
7
0
14
42
解:
4
6
12
4
8
2
3
6
2余式
商的各项的系数
∴(2x4
14x
47
x3)
(x
2)的商是2x3
3x2
6x2,余式是8。
上述综合除法的步骤是:
(1)把被除式按降幂排好,缺项补零。
(2)把除式的第二项-2变成2,写在被除式的右边,中间用一条竖线隔开。
(3)把被除式的第一项的系数2移到横线的下面,得到商的第一项的系数。
(4)用2
乘商的第一项的系数
2,得4,写在被除式的第二项的系数
-7的下面,同
-7相加,得到商的第二项系数-3。
(5)用2
乘商的第二项的系数
-3,得-6,写在被除式的第三项的系数
0的下面,
同0
相加,得到商的第三项的系数
-6。
(6)用2
乘商的第三项的系数
-6,得-12,写在被除式的第四项的系数
14的下面,
同14相加,得到商的第三项系数
2。
(7)用2
乘商的常数项2,得
4,写在被除式的常数项4的下面,同
4相加,得到
余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为
1的一次式的情形。
如果除式是一次式,
但一次项系数不是
1,能不能利用综
合除法计算呢
例2、求(3x3
10x2
23x16)
(3x2)的商式Q和余式R。
解:
把除式缩小
3倍,那么商就扩大
3倍,但余式不变。
因此先用x
2
3倍
去除被除式,再把所得的商缩小
3
即可。
331023162
2810
3
3312156
145
∴Q=x24x5,R=6。
下面我们将综合除法做进一步的推广,使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余
式。
例3、用综合除法求
(3
x
4
7
x
3
11
2
10
x
4)(
x
2
3
x
2)
的商Q和余式R。
x
3
7
11
10
4
3
2
9
6
6
4
解:
3
2
3
2
3
2
1
∴Q=3x2
2x
5,R=3x2。
二、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。
它是法国数学家裴蜀(1730~1783)发现的。
余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理:
多项式
f(x)除以x
a所得的余数等于
f(a)。
略证:
设f(x)
Q(x)(x
a)
R
将x=a代入得f(a)
R。
例4、确定m的值使多项式
f(x)
x5
3x4
8x3
11x
m能够被x-1整除。
解:
依题意f(x)含有因式x-1,故f
(1)
0
。
∴1-3+8+11+m=0。
可得m=-17。
求一个关于x的二次多项式,它的二次项系数为
1,它被x-3
除余1,且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。
解:
设f(x)
x2
axb
∵f(x)被x
3
除余1,∴f(3)
9
3a
b
1
①
∵f(x)被x
1
除和x2
除所得的余数相同,∴
f
(1)f
(2)即1ab42ab②
由②得a
3,代入①得b1
∴f(x)x2
3x
1。
注:
本例也可用待定系数法来解。
同学们不妨试一试。
即:
2
(
1)(
)
(
2)(
)
(
3)(
)1
xaxb
x
x
x
xp
xmR
xnR
由(x1)(xm)
R
(x
2)(x
n)
R,可得m
2,n1
再由(x
2)(x
1)R(x
3)(x
p)
1,解得p
0。
∴f(x)
x2
3x
1。
练习:
1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。
(1)(3x4
4x3
5x2
6x
7)(x
2);
(2)(x5
6x4
9x3
14x
8)(x
4);
(3)(x3
(a
b
c)x2
(ab
bc
ca)x
abc)
(x
a);
(4)(9x4
5x2y2
8y4
8xy3
18x3y)(3x
2y);
(5)(2x4
7x3
16
x2
15x
15)
(X2
2
x
3);
(6)(x6
x5
12x3
7x)(x3
3x2
5x
2)
2、一个关于x的二次多项式
f(x),它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以被
x+1整
除,求f(x)。
3、一个整系数四次多项式
f(x),有四个不同的整数
1,2,
3,
4,可使f(
1)1,f
(2)1,
f(3)
1,f(
4)
1,求证:
任何整数
都不能使f(
)
1。
綜合除法:
當除式g(x)=x
a時,我們介紹綜合除法去求商式、餘式。
【範例】:
設f(x)=2x4+x25x,g(x)=x2,求f(x)除以g(x)的商式、餘式。
解:
2x4+x2
3
2
5x=(2x+4x
+9x+23)(x–2)+46
綜合除法的原理:
2
0
1
5
0
2
設f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0,g(x)=xb,若存在商式
()
4
8
18
46
q(x)=c2x2+c1x+c0,餘式r(x)=d。
由除法的定義:
(a3x3+a2x2+a1x+a0)=(c2x2+c1x+c0)(x
b)+d
2
4
9
23
46
a3
c2
c2
a3
商
式,
餘式
a2
c2bc1
c1
a2
c2b
經比較係數可得:
c1bc0
c0
a1
c1b
a1
a1
a0
a0
f(x)
a3
a0
a2
c0bd
d
c0b
c1b
c0b
b
()
c2b
上面的關係可寫成以下的形式:
a3
a2
c2b
a1c1b
a0
c0
b
q(x)
c2
c1
c0
d
r(x)
當f(x)除以g(x)=ax+b時,我們也可利用綜合除法求餘式r(x)、商式q(x)。
由除法的定義:
f(x)=(ax+b)
b
)[aq(x)]+r(x)可先利用綜合除法求出
b
q(x)+r(x)=(x+
f(x)除以(x+)的商式q/(x)=aq(x)與餘式
a
a
1
q/(x),餘式r(x)不變。
r(x),而所要求的商式
q(x)=a
餘式定理、因式定理
除法原理:
f(x)=g(x)
q(x)+r(x),degr(x) 餘式定理: 多項式 f(x)除以x a的餘式等於f(a)。 有關f(a)的求值我們可以利用綜合除法得到。 餘式定理推廣: 多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f( b )。 a f(a)的雙重意義: (1)多項函數f(x)在x=a的函數值。 (2) 多項式f(x)除以xa的餘式。 範例: 二次式ax2+bx 4以x+1除之,得餘式3,以x1除之,得餘式1,若以x 2除之,所得的餘式為 。 解: f(x)=ax2+bx 4,f(-1)=3且f (1)=1由此解得a與b,再求f (2)=18即為所得。 範例: 試求115 4 114 7211356112+1511+7之值為 。 解: f(x)=x5 -4x 4 -72x 3 -56x 2 +15x+7 利用綜合除法求 f(11)=51 範例: 設二多項式f(x),g(x)以2x2 3x2除之,餘式分別為3x+2, 4x+7,則f(x)+g(x)以2x+1除之,其餘式為何 Ans: 19 2 解: f(x)=(2x2 3x 2)×p(x)+(3x+2) 2 3x 2)×q(x)+(-4x+7) g(x)=(2x 2 3x2)(p(x)+q(x))+(-x+9) f(x)+g(x)=(2x =(2x+1)(x-2)(p(x)+q(x))+(-x+9) 11 F(x)=f(x)+g(x),F()=-( 22 19 )+9=2 範例: f(x)=2x4+3x3+5x26,求2x1除f(x3)的餘式。 解: 可令g(x)=f(x 3),再利用餘式定理。 Ans: 113 2 範例: 求多項式(x2 +3x+2) 3被x2 +2x+3除之餘式為何 解: x2 +3x+2=(x 2 +2x+3)+(x-1) 2 3 2 3 (x +3x+2)=((x+2x+3)+(x-1)) =(x2+2x+3)3+3(x2+2x+3)2(x-1)+3(x2+2x+3)(x-1)2+(x-1)3 求多項式(x2 +3x+2) 3被x2 +2x+3除之餘式 =求多項式(x-1)3被x2+2x+3除之餘式 =10x+14 範例: 試求下列各小題: (1)求多項式f(x)=x750x5+8x45x3 19x2+41x+6除以(x 1)(x 7)之餘式。 (2)設多項式f(x)不低於 2次,以x 1除之餘2,以x+2 除之餘 1,則以(x1)(x+2) 除f(x)的餘式為何 (3)設多項式f(x)不低於 3次,以x 1除之餘3,以x+1 除之餘1,以x 2除 之餘 2,則求以(x 1)(x+1)(x 2)除f(x)的餘式。 解: (1) f(x)=x7 50x5+8x4 5x3 19x2+41x+6除以(x 1)(x 7) 也就是f(x)=x7 50x5+8x4 5x3 19x2+41x+6除以x2-8x+7 我們可得餘式 11x-29 (2)f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b
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