二次函数图像与系数关系含答案.docx

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二次函数图像与系数关系含答案

二次函数图像与系数关系

一．选择题（共9小题）

1．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：

①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣

；④3≤n≤4中，

正确的是（　　）

A．

①②

B．

③④

C．

①④

D．

①③

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

专题：

计算题；压轴题．

分析：

①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；

②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；

③根据两根之积

=﹣3，得到a=﹣

，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；

④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=

c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．

解答：

解：

①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，

∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），

∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．

故①正确；

②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．

∵对称轴x=﹣

=1，

∴b=﹣2a，

∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．

故②错误；

③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），

∴﹣1×3=﹣3，

∴

=﹣3，则a=﹣

．

∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），

∴2≤c≤3，

∴﹣1≤﹣

≤﹣

，即﹣1≤a≤﹣

．

故③正确；

④根据题意知，a=﹣

，﹣

=1，

∴b=﹣2a=

，

∴n=a+b+c=

c．

∵2≤c≤3，

∴

≤

c≤4，即

≤n≤4．

故④错误．

综上所述，正确的说法有①③．

故选D．

点评：

本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

2．（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：

①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（

，y2）是抛物线上两点，则

y1＞y2．其中说法正确的是（　　）

A．

①②

B．

②③

C．

①②④

D．

②③④

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

专题：

压轴题．

分析：

根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．

解答：

解：

∵二次函数的图象的开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0，

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，

∴﹣

=﹣1，

∴b=2a＞0，

∴abc＜0，∴①正确；

2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．

∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），

∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：

y=4a+2b+c＞0，∴③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，

∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），

根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，

∵

＜3，

∴y2＜y1，∴④正确；

故选C．

点评：

本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

3．（2013•十堰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：

①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（　　）

A．

5个

B．

4个

C．

3个

D．

2个

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

专题：

压轴题．

分析：

由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；

由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；

由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；

由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；

由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．

解答：

解：

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），

∴c=1，a﹣b+c=0．

①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣

＞0，

∴a与b异号，∴ab＜0，正确；

②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，

∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；

④∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵ab＜0，∴b＞0．

∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，

∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，

∴0＜b＜1，正确；

③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，

∴a+b+c=2b＞0．

∵b＜1，c=1，a＜0，

∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，

∴0＜a+b+c＜2，正确；

⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，

由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；

综上所述，正确的结论有①②③④．

故选B．

点评：

本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．

4．（2012•沙坪坝区模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）

A．

abc＜0

B．

a+c＜b

C．

b＞2a

D．

4a＞2b﹣c

考点：

二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．4946047

专题：

压轴题．

分析：

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：

解：

A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣

＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误；

B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误；

C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣

＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确；

D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误．

故选C．

点评：

本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与不等式的关系，难度中等．

5．（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：

①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤

．

你认为其中正确信息的个数有（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

专题：

压轴题．

分析：

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：

解：

①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．

∵对称轴x=﹣

=﹣

，∴b=

a＜0，

∴ab＞0．故①正确；

②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．

故②正确；

③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，

∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，

∴b+2c＞0．

故③正确；

④如图，当x=﹣

时，y＞0，即

a﹣

b+c＞0．

∴a﹣2b+4c＞0，

故④正确；

⑤如图，对称轴x=﹣

=﹣

，则

．故⑤正确．

综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．

故选D．

点评：

本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

6．（2013•德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：

①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．

其中正确的个数为（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

专题：

压轴题．

分析：

由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．

解答：

解：

∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，

∴b2﹣4c＜0；

故①错误；

当x=1时，y=1+b+c=1，

故②错误；

∵当x=3时，y=9+3b+c=3，

∴3b+c+6=0；

③正确；

∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，

∴x2+bx+c＜x，

∴x2+（b﹣1）x+c＜0．

故④正确．

故选B．

点评：

主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

7．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：

①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．

3个

B．

2个

C．

1个

D．

0个

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

专题：

压轴题．

分析：

首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣

，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c=0，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．

解答：

解：

根据图象可得：

a＞0，c＜0，

对称轴：

x=﹣

＞0，

①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），

∴对称轴是x=1，

∴﹣

=1，

∴b+2a=0，

故①错误；

②∵a＞0，

∴b＜0，

∵c＜0，

∴abc＞0，故②错误；

③∵a﹣b+c=0，

∴c=b﹣a，

∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4（b﹣a）=2b﹣3a，

又由①得b=﹣2a，

∴a﹣2b+4c=﹣7a＜0，

故此选项正确；

④根据图示知，当x=4时，y＞0，

∴16a+4b+c＞0，

由①知，b=﹣2a，

∴8a+c＞0；

故④正确；

故正确为：

③④两个．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．

8．已知：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：

①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b≠m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

1个

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

分析：

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：

解：

①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，

∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，

∵对称轴为x=﹣

＞0，

∴a、b异号，即b＜0，

又∵c＜0，∴abc＞0，

故本选项正确；

②∵对称轴为x=﹣

＞0，a＞0，

﹣

＜1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0；

故本选项错误；

③当x=1时，y1=a+b+c；

当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；

故本选项错误；

④当x=1时，a+b+c=0；

当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；

∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0，

∴（a+c）2=b2

故本选项错误；

⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；

当x=1时，a+b+c=0，

∴a+c=1，

∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；

故本选项正确；

综上所述，正确的是①⑤有2个．

故选：

A．

点评：

本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：

开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；

（2）b由对称轴和a的符号确定：

由对称轴公式x=﹣

判断符号；

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：

交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：

2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0，没有交点，b2﹣4ac＜0．

9．（2013•莒南县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．

其中正确的结论有（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

专题：

压轴题；数形结合．

分析：

观察图象：

开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c＜0，即a+c＜b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=﹣

=1得到a=﹣

b，而a﹣b+c＜0，则﹣

b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．

解答：

解：

开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；

当x=﹣1时图象在x轴下方，则y=a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确；

对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；

x=﹣

=1，则a=﹣

b，而a﹣b+c＜0，则﹣

b﹣b+c＜0，2c＜3b，所以④正确；

开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．

故选B．

点评：

本题考查了二次函数图象与系数的关系：

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=﹣

，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．

二．填空题（共1小题）

10．（2013•柳林县一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：

①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③3a+c＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的是　①③④　（把正确的序号都填上）．

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

分析：

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：

解：

根据图象可得：

a＜0，b＞0，c＞0．

则abc＜0，故①正确；

当﹣1＜x＜3时图象在x轴的上方，且有的点在x轴的下方，故②错误；

根据图示知，该抛物线的对称轴直线是x=1，即﹣

=1，则b=﹣2a．那么当x=﹣1时，y=a﹣b+c=a+2a+c=3a+c＜0，故③正确；

当x=﹣1时，y=a﹣b+c一定在x轴的下方，因而a﹣b+c＜0，故④正确．

故答案是：

①③④．

点评：

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

　（2013•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：

①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣

；④3|a|+|c|＜2|b|．

其中正确的结论是　①③④　（写出你认为正确的所有结论序号）．

考点：

二次函数图象与系数的关系．4946047

专题：

压轴题．

分析：

分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．

解答：

解：

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，

对称轴x=﹣

＞1，﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确；

∵﹣b＜2a，∴b＞﹣2a＞0＞a，

令抛物线解析式为y=﹣

x2+bx﹣

，

此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为

和2，

则

=﹣

，

解得：

b=

，

∴抛物线y=﹣

x2+

x﹣

，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，

对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能），

故②选项错误；

∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2，

∴抛物线对称轴为：

x=﹣

＞1，

＞2，m+n

，故选项③正确；

当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，

∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，

∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），

∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确．

故答案为：

①③④．

点评：

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．