全国二卷理科数学高考真题及答案解析.docx

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全国二卷理科数学高考真题及答案解析

2016年全国高考理科数学试题全国卷2

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知z=（m+3）+（m–1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）

A．（–3,1）B．（–1,3）C．（1,+∞）D．（–∞,–3）

2、已知集合A={1,2,3}，B={x|（x+1）（x–2）<0，x∈Z}，则A∪B=（）

A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{–1,0,1,2,3}

3、已知向量a=（1,m），b=（3,–2），且（a+b）⊥b，则m=（）

A．–8B．–6C．6D．8

4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=（）

A．–B．–C．D．2

5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

A．24B．18C．12D．9

6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A．20πB．24πC．28πD．32π

7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）

A．x=–（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=–（k∈Z）D．x=+（k∈Z）

8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）

A．7B．12C．17D．34

9、若cos（–α）=，则sin2α=（）

A．B．C．–D．–

10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1,y1），（x2,y2），…，（xn,yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）

A．B．C．D．

11、已知F1、F2是双曲线E：

–=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=,则E的离心率为（）

A．B．C．D．2

12、已知函数f（x）（x∈R）满足f（–x）=2–f（x），若函数y=与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），...（xm,ym），则

（）

A．0B．mC．2mD．4m

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分

13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=___________．

14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。

（3）如果α∥β，m?

α，那么m∥β。

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有____________________（填写所有正确命题的编号）。

15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：

“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：

“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．

16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=__________．

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本题满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。

记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．

（1）求b1，b11，b101；

（2）求数列{bn}的前1000项和．

18、（本题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：

元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0

1

2

3

4

≥5

保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

[]

一年内出险次数

0

1

2

3

4

≥5

概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=．

（1）证明：

D'H⊥平面ABCD；

（2）求二面角B–D'A–C的正弦值．

20、（本小题满分12分）已知椭圆E：

+=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

（1）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

21、（本小题满分12分）

（1）讨论函数f（x）=ex的单调性，并证明当x>0时，（x–2）ex+x+2>0；

（2）证明：

当a∈[0,1）时，函数g（x）=（x>0）有最小值。

设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

22、（本小题满分10分）[选修4–1：

几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

（1）证明：

B，C，G，F四点共圆；

（2）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

23、（本小题满分10分）[选修4–4：

坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=，求l的斜率．

24、（本小题满分10分）[选修4–5：

不等式选讲]已知函数f（x）=|x–|+|x+|，M为不等式f（x）<2的解集．

（1）求M；

（2）证明：

当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．

参考答案

1、解析：

∴m+3>0，m–1<0，∴–3

2、解析：

B={x|（x+1）（x–2）<0，x∈Z}={x|–1

3、解析：

向量a+b=（4,m–2），∵（a+b）⊥b，∴（a+b）·b=10–2（m–2）=0，解得m=8，故选D．

4、解析：

圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：

（x–1）2+（y–4）2=4，故圆心为（1,4），d==1，解得a=–，故选A．

5、解析一：

E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B．

解析二：

由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C条路，再从F处到G处最短共有C条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C·C=18条，故选B。

6、解析：

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．

由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：

l==4，S表=πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π，故选C．

7、解析：

由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位得y=2sin2（x+）=2sin（2x+），则平移后函数的对称轴为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，故选B。

8、解析：

第一次运算：

s=0×2+2=2，第二次运算：

s=2×2+2=6，第三次运算：

s=6×2+5=17，故选C．

9、解析：

∵cos（–α）=，sin2α=cos（–2α）=2cos2（–α）–1=，故选D．

解法二：

对cos（–α）=展开后直接平方

解法三：

换元法

10、解析：

由题意得：

（xi,yi）（i=1，2，3，...，n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中

由几何概型概率计算公式知=，∴π=，故选C．

11、解析：

离心率e=，由正弦定理得e====．故选A．

12、解析：

由f（–x）=2–f（x）得f（x）关于（0,1）对称，而y==1+也关于（0,1）对称，

∴对于每一组对称点xi+x'i=0，yi+y'i=2，

∴

，故选B．

13、解析：

∵cosA=，cosC=，sinA=，sinC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，

由正弦定理：

=，解得b=．

14、解析：

对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为

，所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.

15、解析：

由题意得：

丙不拿（2,3），若丙（1,2），则乙（2,3），甲（1,3）满足；若丙（1,3），则乙（2,3），甲（1,2）不满足；故甲（1,3），

16、解析：

y=lnx+2的切线为：

y=·x+lnx1+1（设切点横坐标为x1）

y=ln（x+1）的切线为：

y=·x+ln（x2+1）–，∴

解得x1=，x2=–。

∴b=lnx1+1=1–ln2．

17、解析：

（1）设{an}的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，∴d==1，∴an=a1+（n–1）d=n．

∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2．

（2）记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000]．

当0≤lgan<1时，n=1，2，...，9；当1≤lgan<2时，n=10，11，...，99；当2≤lgan<3时，n=100，101，...，999；

当lgan=3时，n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893．

18、

（1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P（A）=1–P（）=1–（0.30+0.15）=0.55．

（2）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P（B|A）===．

⑶解：

设本年度所交保费为随机变量X．

X

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

P

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a，

∴平均保费与基本保费比值为1.23．

19、解析：

（1）证明：

如下左1图，∵AE=CF=，∴=，∴EF∥AC．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H．

∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|2=|OH|2+|D'H|2，∴D'H⊥OH．

又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD．

（2）方法一、几何法：

若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=，AD=AB=5，∴DE=5–=，

∵EF∥AC，∴====，∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4–3=1，

∵HD’=DH=3，OD’=2，∴满足HD’2=OD’2+OH2，则△OHD’为直角三角形，且OD’⊥OH，

即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高．

底面五边形的面积S=×AC·OB+=×6×4+=12+=，

则五棱锥D’–ABCFE体积V=S·OD’=××2=．

方法二、向量法。

建立如下左2图坐标系H–xyz．B（5,0,0），C（1,3,0），D'（0,0,3），A（1,–3,0），

∴向量AB=（4,3,0），AD'=（–1,3,3），AC=（0,6,0），

设面ABD'法向量n1=（x,y,z），由得，取，∴n1=（3,–4,5）．

同理可得面AD'C的法向量n2=（3,0,1），

∴|cosθ|===，∴sinθ=。

20、解析：

（1）当t=4时，椭圆E的方程为+=1，A点坐标为（–2,0），则直线AM的方程为y=k（x+2）．

联立椭圆E和直线AM方程并整理得，（3+4k2）x2+16k2x+16k2–12=0。

解得x=–2或x=–，则|AM|=|–+2|=·。

∵AM⊥AN，∴|AN|=·=·。

∵|AM|=|AN|，k>0，∴·=·，整理得（k–1）（4k2–k–4）=0，

4k2–k+4=0无实根，∴k=1．

所以△AMN的面积为|AM|2=（·）2=．

（2）直线AM的方程为y=k（x+），

联立椭圆E和直线AM方程并整理得，（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2–3t=0。

解得x=–或x=–，

∴|AM|=|–+|=·，∴|AN|=·

∵2|AM|=|AN|，∴2··=·，整理得，t=．

∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即>3，整理得<0，解得

21、解析：

（1）证明：

f（x）=ex，∴f'（x）=ex（+）=。

∵当x∈（–∞,–2）∪（–2,+∞）时，f'（x）>0，∴f（x）在（–∞,–2）和（–2,+∞）上单调递增。

∴x>0时，ex>f（0）=–1，∴（x–2）ex+x+2>0。

（2）g'（x）===，a∈[0,1）。

由

（1）知，当x>0时，f（x）=ex的值域为（–1,+∞），只有一解．使得·et=–a，t∈（0,2]。

当x∈（0,t）时g'（x）<0，g（x）单调减；当x∈（t,+∞）时g'（x）>0，g（x）单调增

h（a）===。

记k（t）=，在t∈（0,2]时，k'（t）=>0，∴k（t）单调递增，∴h（a）=k（t）∈（,]．

22、解析：

（1）证明：

∵DF⊥CE，∴Rt△DEF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，=。

∵DE=DG，CD=BC，∴=。

∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B，C，G，F四点共圆．

（2）∵E为AD中点，AB=1，

∴DG=CG=DE=，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．

23、解：

（1）整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0，

由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0．

（2）记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0，

由垂径定理及点到直线距离公式知：

=，即=，整理得k2=，则k=±．

24、解析：

（1）当x<–时，f（x）=–x–x–=–2x，若–1时，f（x）=2x，若f（x）<2，

（2）当a，b∈（–1,1）时，有（a2–1）（b2–1）>0，即a2b2+1>a2+b2，则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，则（ab+1）2>（a+b）2，即|a+b|<|ab+1|，

证毕．