上海高考数学理科试题及答案.docx

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上海高考数学理科试题及答案

.

2012年上海高考数学（理科）试卷

一、填空题

（本大题共有14题，满分56分）

1.计算：

3

i

=

（i为虚数单位）.

1

i

2.若会合A

{x|2x

10}，B{x|x

12}，则AB=

.

3.函数f（x）

2

cosx

.

sinx

的值域是

1

4.若n

（

2,1）是直线l的一个法向量，则

l的倾斜角的大小为

（结果用反三角

函数值表示）.

5.在（x

2）6

的二项张开式中，常数项等于

.

x

6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,,Vn,，

则lim（V1

V2

Vn）

.

n

7.已知函数f（x）

e|xa|

（a

为常数）.若f（x）在区间[1,+）上是增函数，则

a的取值范围

是

.

8.若一个圆锥的侧面张开图是面积为

2的半圆面，则该圆锥的体积为

.

9.已知y

f（x）

x2

是奇函数，且

f

（1）1.若g（x）f（x）

2，则g（

1）

.

10.如图，在极坐标系中，过点

M（2,0）的直线l与极轴的夹

l

角

6

.若将l的极坐标方程写成

f（

）的形式，则

O

M

x

f（

）

.

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛

.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两

人选择的项目完好相同的概率是

（结果用最简分数表示

）.

12.在平行四边形ABCD中，∠A=3

边AB、AD的长分别为

2、1.若M、N分别是边BC、

CD上的点，且满足

|BM|

|CN|，则AM

AN的取值范围是

.

|BC|

|CD|

13.已知函数y

f（x）的图像是折线段ABC，若中A（0,0），B（21

5），C（1,0）.函数

y

xf（x）（0x

1）的图像与x轴围成的图形的面积为

.

'.

.

14.如图，AD与BC是周围体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则周围体ABCD的体积的

最大值是

.

二、选择题（本大题共有

4题，满分

20分）

15.若1

2i是关于x的实系数方程

x2

bxc0的一个复数根，则

（

）

D

C

B

A

（A）b2,c3.（B）b2,c3.（C）b2,c1.（D）b2,c1.

16.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（）

（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能够确定.

17.设10x1x2

x3

x4104

，x5

105

.

随机变量

1取值

x1、x2、x3、x4、x5的概

率均为0.2，随机变量

2取值x1

2

x2

、x2

2

x3

、x3

2

x4、x4

2

x5

、x5

2

x1

的概率也为

0.2.若记D1、

D2分别为1、

2的方差，则

（）

（A）D1>D2.

（B）D1=D2.

（C）D1

（D）D1与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.

18.设an

n1sinn25，Sn

a1a2

an.在S1,S2,

S100中，正数的个数是

（）

（A）25.

（B）50.

（C）75.

（D）100.

三、解答题（本大题共有

5题，满分

74分）

19.如图，在四棱锥

P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.

已知AB=2，AD=2

2，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面积；（6分）

P

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

E

A

D

B

C

'.

.

20.已知函数f（x）lg（x1）.

（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g（x）f（x），求函数

yg（x）（x[1,2]）的反函数.（8分）

21.海事救援船对一艘失事船进行定位：

以失事船的当前地址为原点，以正北方向为

y轴正

方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失

y

事船的正南方向

12海里A处，如图.现假设：

①失事船的搬动路径

P

可视为抛物线y

1249x2；②定位后救援船立刻沿直线匀速前往救

援；③救援船出发

t小时后，失事船所在地址的横坐标为7t.

O

x

（1）当t0.5时，写出失事船所在地址P的纵坐标.若此时两船恰好

会合，求救援船速度的大小和方向；

（6分）

A

（2）问救援船的时速最少是多少海里才能追上失事船

?

（8分）

'.

.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:

2x2y21.

（1）过C1的左极点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成

的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：

OP⊥OQ；

（6分）

（3）设椭圆C2:

4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：

O

到直线MN的距离是定值.（6分）

'.

.

23.关于数集

X{

1,x1,x2,

xn}，其中0

x1x2

xn，n

2，定义向量集

Y{a|a

（s,t）,s

X,t

X}.

若关于任意a1

Y，存在a2

Y，使得a1

a20，则称X

拥有性质P.比方X

{

1,1,2}

拥有性质P.

（1）若x>2，且{

1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X拥有性质

P，求证：

1X，且当xn>1时，x1=1；（6分）

（3）若X拥有性质

P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,

xn的通项公式.（8

分）

'.

.

2012年上海高考数学（理科）试卷解答

一、填空题

（本大题共有14

题，满分

56分）

1.计算：

3

i=

1－2i

（i为虚数单位）.

1

i

[解析]

3

i

（3

i）（1

i）

3

14i

1

2i.

1

i

（1

i）（1

i）

2

2.若会合A

{x|2x

1

0}，B

{x|x1

2}，则A

B=（21,3）.

[解析]

A（21,

），B（1,3），A∩B=（21,3）.

2

cosx

25,23].

3.函数f（x）

1

的值域是[

sinx

[解析]

f（x）

2

sinxcosx

2

21sin2x

[25,23].

4.若n

（

2,1）是直线l的一个法向量，则

l的倾斜角的大小为

arctan2（结果用反三角

函数值表示）.

[解析]

方向向量d（1,2）

，因此kl

2，倾斜角=arctan2.

5.在（x

2）6的二项张开式中，常数项等于

－160.

x

1）r

C6rx6

r2r

xr

（1）rC6r2rx6

2r

[解析]

张开式通项Tr

1

（

，令6－2r=0，得r=3，

故常数项为

C63

23

160.

6.有一列正方体，棱长组成以

1为首项，

21为公比的等比数列，体积分别记为

1

2

n

V2

Vn）

8

V,V,,V,，则lim（V1

7.

n

[解析]

易知V1,V2,,Vn,是以

1为首项，3为公比的等比数列，因此

lim（V1

V2

Vn）

V1

1

8.

n

1

8

7

7.已知函数

f（x）

e|xa|（a为常数）.若f（x）在区间[1,+

）上是增函数，则

a的取值范

围是

（－,1].

[解析]令g（x）|x

a|，则f（x）

eg（x）

，由于底数e

1，故f（x）↑

g（x）↑，

由g（x）的图像知f（x）在区间[1,+

）上是增函数时，a≤1.

8.若一个圆锥的侧面张开图是面积为

2的半圆面，则该圆锥的体积为

3

.

3

[解析]

如图，21

l2

2

l=2，又2r2=l=2

r=1，

P

P

l

l

h

3，故体积V

31

2

h

3

因此h=

r

3

.

rO

2r

9.已知y

f（x）

x2

是奇函数，且

f

（1）

1.若g（x）

f（x）

2，则g（

1）

－1.

[解析]

y

f（x）

x2

是奇函数，则f（

1）（

1）2

[f

（1）

12]

4，因此f（

1）

3，

1.

M（2,0）的直线l与极轴的夹角

l

10.如图，在极坐标系中，过点

6.若将l的极坐标方程写成

f（）的形式，则

f（

）

1

）.

O

M

x

sin（

6

[解析]

M（2,0）的直角坐标也是

（2,0），斜率k

1，因此其直角坐标方程为

x

3y

2，

3

化为极坐标方程为：

cos

3sin

2，（21cos

23sin

）1，

'.

.

sin（6

）1

，

1

，即f（）

1

.（或f（）

1

）

sin（6）

sin（6

）

cos（

3）

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有

两人选择的项目完好相同的概率是23（结果用最简分数表示）.

[解析]设概率p=kn

，则nC32C32C3227，求k，分三步：

①选二人，让他们选择的

项目相同，有C32种；②确定上述二人所选择的相同的项目，有

C31种；③确定另一

人所选的项目，有

C21种.因此k

C32

C31C21

18

，故p=2718

32.

12.在平行四边形

ABCD中，∠A=

3,边AB、AD的长分别为

2、1.

若M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足|BM|

|CN|，则AM

AN的取值范围是

[2,5].

|BC|

|CD|

y

A（0,0），B（2,0），D（21,23

），C（25,

23）.

[解析]如图建系，则

D

N

C

设|BM|

|CN|

t

[0,1]，则|BM|

t，|CN|

2t

，

M

|BC|

|CD|

A

B

x

因此M（2+2t,

23t

），N（52－2t,

23

），

故AM

AN=（2+2t）（25－2t）+

3t

3

t

2

2t

5

（t

1）

2

6

f（t），

2

2=

由于t

[0,1]，因此f（t）递减，（AM

AN）max=f（0）=5，（AM

AN）min=f

（1）=2.

[评注]自然从抢分的战略上，

可冒用两个特别点：

M在B（N在C）和M在C（N在D），而本

案正是在这两点处获取最值，蒙对了，又省了时间

!

出题大虾太给蒙派一族面子了

!

13.已知函数y

f（x）的图像是折线段

ABC，若中

A（0,0），B（21

5），C（1,0）.

函数yxf（x）（0

x

1）的图像与x轴围成的图形的面积为

45.

y

y

10x,

0

x

1

5

B

5

[解析]如图1，f（x）

2

，

M

10

1

x

1

P

10x,2

2

0x

1

A

C

x

O

N

因此y

xf（x）

10x

2

，

1

D1

x

10x2

10x,21

x

1

图1

图2

易知，y=xf（x）的分段解析式中的两部分抛物线形状完好相同，可是张口方向及极点

地址不相同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形

1

5

5

ODMP的面积S=2

2

4.

[评注]关于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少

的，而关于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。

D

14.如图，AD与BC是周围体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为

E

常数，则周围体ABCD的体积的最大值是32ca2

c2

1.

C

B

A

[解析]作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，因此CE⊥AD，

由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且

BE、CE都

D

垂直于焦距AD，因此BE=CE.取BC中点F，

E

C

1

EF

BE

2

1，

B

A

连接EF，则EF⊥BC，EF=2，SBEC2BC

'.

.

周围体ABCD的体积V

1

ADSBEC

2c

BE

2

1，显然，当

E在AD中点，

3

3

即

B是短轴端点时，BE有最大值为

b=

a

2

c

2

，因此Vmax

2c

a

2

c

2

1.

3

[评注]

此题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思想的考生打击甚大

!

自然，作为填空押轴题，

区分度还是要的，但是，就抢分而言，胆大、灵便的考生也简单找到打破点：

AB=BD（同时AC=CD），从而致命一击，逃出生天

!

二、选择题（本大题共有

4题，满分20

分）

15.若

1

2i

是关于

x的实系数方程x2

bx

c

0

的一个复数根，则

（

B

）

（A）b

2,c

3

.

（B）b

2,c

3

.

（C）b

2,c

1.（D）b

2,c

1.

[解析]

实系数方程虚根成对，因此

1

2i也是一根，因此－

b=2，c=1+2=3，选B.

16.在

ABC中，若sin2A

sin2

B

sin2C，则

ABC的形状是

（

C

）

（A）锐角三角形.

（B）直角三角形.

（C）钝角三角形.

（D）不能够确定.

[解析]

由条件结合正弦定理，得

a

2